淺談圖形與幾何教學中如何培養學生的數學推理能力

☉海 華

推理能力的培養首先需要學生牢固掌握已學的知識，在深入理解知識的基礎上，舉一反三和橫縱向對比聯系，獲得更加開闊的數學知識視野和掌握更加全面系統的數學知識。良好的推理能力有助于培養學生良好的數學思維，尤其是歸納類比能力［2］。結合平時培養學生推理能力方面的教學實踐，本文將從以下幾個方面例談如何培養學生的數學推理能力。

一、因材施教，科學制定推理題型

小學數學從啟蒙時期的數字認識到后續的計算公式、幾何圖形，知識點和學習難度逐步提升，教師在小學各個階段都要制定科學有效的推理能力培養策略，循序漸進地提升小學生的推理能力。對于低段的小學生，數學推理應該側重于簡單的判斷；到了小學中高年級，數學推理則需要引入較為復雜的公式推理等［3］。

低段的學生以簡單推理為側重點，即“非黑即白”，類似于簡單的判斷題。以圖形與幾何為例，教師為學生展示圖形，并讓學生自行分辨和判斷下一次應該出現的圖形，或者是計算不同圖形的數量。低段的數學推理，雖然沒有涉及復雜的數學知識，但也能培養小學生注重數學推理的素養，從小樹立對數學推理的認識。

［案例1］變化的圖形

小學低段的學生對幾何圖形的認知還處于比較淺層的階段，教師在進行推理訓練時，應該選擇比較簡單、容易推理的題目。例如，這道“變化的圖形”題中，讓小學生根據已經出現的四個圖形，推理接下來的圖形［4］。小學生基本上都認識前面兩個圖形，分別是三角形和長方形，雖然對后面兩個圖形不是很熟悉，但能夠發現它們的邊數更多。通過簡單地計算這四個圖形的邊數，學生們就能夠得出邊數逐漸加一的規律，也就能夠推理出下一個圖形的邊數應該是7，也就是圖形D。這種比較簡單的推理題，適合于圖形認知能力較弱的低段小學生，可以幫助他們從小樹立數學推理的意識。

有了小學低段學習的基礎，學生的學習能力有所提高，可以進行較為復雜的圖形推理，尤其是圖形面積計算公式推理。但是，教師在教學過程當中要循循善誘，循序漸進。

［案例2］梯形面積

在教學長方形和正方形的面積計算公式后，我給學生畫了一個梯形，讓他們推理梯形的面積計算公式。學生剛接觸梯形，覺得它的形狀比較怪異，邊長都不相等，而且也不是呈直角，一時間理不清頭緒。于是我在梯形的右側又補畫了一個梯形，這兩個梯形形狀大小完全一樣，組成了一個平行四邊形。這時，學生就能夠推理出梯形的面積計算公式和它的上底、下底、高相關了。根據平行四邊形的面積計算公式再除以2 就得到梯形面積計算公式了。這種推理適合于具備一定的圖形知識和聯想能力的中高年級的小學生。接著，我又畫了一個直角梯形，拼上一個相同的梯形后得到一個長方形，學生們對梯形的面積計算公式的理解更加深刻了。

二、強化驗證環節，促進合理推理

推理和驗證往往是相輔相成的，離開了驗證的推理有時會變得虛無縹緲，脫離教學主題，達不到應有的教學效果。部分數學推理還需要對比驗證，這也是幫助小學生的數學知識從猜想到確定認知的關鍵［5］。在驗證的過程中，學生能夠綜合運用數學知識。部分沒有確定答案的數學推理可以忽略驗證環節，但是能夠得到確切答案的推理如果脫離了驗證，就會讓小學生產生數學是一門感性科學的誤解。

實際上，絕大多數的數學問題都是有確切解的。這就要求教師要引導小學生做好推理驗證。即使后續的驗證結果推翻了之前的推理預期，也是數學應用能力和數學思維一次很好的鍛煉。小學生數學推理能力的培養是一項非常重要的教學目標，教師要制定科學有效的教學策略，營造出自由探索思考的學習氣氛，加上嚴謹認真的驗證環節，讓小學生的數學知識視野和數學思維進一步拓展。

［案例3］圓錐體體積計算公式

在學生學習了圓柱體的體積計算公式后，我給出了一道推理題，要求他們推理出相同規格的圓錐體的體積計算公式：已知圓錐的底面直徑d 和高h，如何求體積V？

因為學生第一次接觸圓錐體，對圓錐體的概念還不是很清楚。首先，我給大家演示了圓錐體的生成過程。圓錐體雖然也有底圓和高度，但它是由三角形旋轉生成的，而圓柱體是由圓拉伸而成。從它們二者的生成方式就可以看出，體積存在一定的差異。學生掌握了圓柱體的體積計算公式后，我讓他們推理圓錐體的體積計算公式。假設和該圓錐體底面半徑相同的圓柱體的體積計算公式為V ＝S×h，其中S 為底圓面積，可以由已知的底圓半徑計算得出。學生很快就發現圓錐體的體積比圓柱體要小，部分學生推理出圓錐體的體積是相同底圓和高度的圓柱體的1/2 或1/3。面對幾種不同的推理結果，在學生不知道準確答案或者對準確答案存在疑問的時候，我精心組織了一次推理驗證實驗。

在推理驗證環節，我準備了一個圓筒和一個錐形容器，它們的底圓半徑和高度一致，分別模擬推理題中的圓柱體和圓錐體，圓筒和圓錐里面一開始都是空的，沒有水。接下來，我讓學生先把圓錐形容器里面裝滿水，再把圓錐形容器里的水倒入圓筒中，學生發現雖然底圓半徑和高度一樣，但是，圓錐形容器里的水只填滿了圓筒的一小部分，這說明相同底圓和高度的圓錐的體積遠小于圓柱體積。但此時也無法確定倒入的水占到圓柱體體積的多少比例。接著，我讓學生又一次將圓錐體容器盛滿水并倒入圓筒中，學生們發現圓筒里的水還是不滿。很顯然，圓錐體的體積比圓柱體體積的一半要小，究竟是不是1/3 呢？我讓學生再次將圓錐體容器盛滿水，并再一次將水倒入圓筒中，這次正好把圓筒注滿了。學生一下就明白了圓錐體體積是相同規格的圓柱體的1/3，對這兩種幾何體體積的關系認知也更加深刻了。一開始還有部分同學覺得圓錐體的形狀比較奇特，很難準確得出它的體積公式，經過這次驗證試驗，徹底打消了他們心中的疑慮。我告訴學生，圓錐體是一類很常見的幾何體，在以后的中學學習中會經常遇到。許多比它更加復雜的幾何體都能夠得到準確的體積公式。但是，需要大家掌握更加復雜的數學知識。驗證環節也進一步強化了學生的嚴謹學風，在豐富學生數學知識的同時還提升了其學習興趣，可謂是一舉多得。同時，驗證環節的開展也讓學生知道了數學知識的具體應用策略。

三、肯定推理過程，保持推理興趣

小學階段的推理訓練中，推理積極性和興趣的培養往往比得到正確的推理結果更為重要。在推理圓錐體體積這一課上，經過試驗驗證得到圓錐體體積是同等規格的圓柱體體積的1/3 后，學生很開心，預測圓錐體體積是圓柱體體積的1/3 的同學更帶有明顯的成就感。我讓學生把書本翻到圓錐體這一課，再次確認了圓錐體的體積計算公式。我表揚了成功推理出體積公式的學生；對于預測失敗的同學，我也給予了鼓勵，告訴他們，小學階段還不能科學嚴謹地推導圓錐體的計算公式，推理出現錯誤是非常正常的事情［6］。許許多多的大科學家在探索未知科學問題時，一樣會出錯，包括著名的科學家牛頓。小學階段的推理不是強調結果，更加重要的是鼓勵和保護學生熱愛推理活動的興趣和積極性。一次次推理失敗，并不能說明什么問題。相反，推理活動的興趣和經驗認知會逐步提升。

［案例4］拼正方體

在學習了正方體的體積計算公式后，我給學生提了一個問題：幾個相同的小正方體能夠拼成一個大的正方體嗎？這個問題是我從小學生經常玩的魔方游戲和積木游戲中想到的。這個題目中，學生在推理過程中思維完全是開放式的，我并沒有告訴學生小正方體有多大。有學生假設小正方體的邊長為1，大正方體的邊長為2，通過計算正方體的體積，得出8 個相同的小正方體才能拼出一個大正方體；有的小學生在腦海中展開聯想，將小正方體的邊長放大一倍，就能得到一個大正方體了。他們在腦海中算出放大后的正方體包括8 個小正方體。我充分肯定了這幾種推理方式，這種推理說明小學生具備了一定的圖形認知和聯想能力。

總之，在推理訓練環節中，教師要緊密結合小學生的知識能力水平，既要有一定的推理難度，又不能超出小學生能力水平，要融入數形結合思想，拓展小學生的數學思維；強化推理驗證環節，加強學生對推理知識的認知和理解，強調過程和結果一樣重要，保護學生的推理積極性。