數學建模方法在高中數學解題中的探究

李俊錚

【摘要】隨著教育改革的深入推進，高中數學教學活動較之以往有了很大改變.在以往的高中數學教學中，受諸多因素的影響，教師過于看重理論內容、知識點的傳授，忽視了學生數學知識實際應用能力的提升.而數學建模是解決數學問題的很重要路徑，也是學生靈活應用數學知識的表現，在近幾年的高考試題中，越來越注重學生數學建模能力考查，而學生靈活地運用數學建模方法，可以在很大程度上提高自身的數學問題處理水平，對于學生數學學習能力提升具有良好幫助.

【關鍵詞】數學建模；高中數學；解題

在新課標準中提出，數學建模是數學學習的良好方式，其可以為學生學習提供更加自主的空間，能讓學生在數學體驗中意識到數學在處理現實問題中的作用，可以強化數學學科與學生實際生活之間的關聯［1］.在高中數學解題中，通過數學建模思想的應用，能在極大程度上強化學生的數學應用意識，更容易增強數學學習興趣，能實現對學生實踐能力、創新能力的培養，促進了學生數學綜合素養的提升.

1 數學建模方法的相關概述

數學建模方法簡單來說就是利用數學語言、數學原理、數學方法來解決相應數學問題的一個過程，簡單來說數學建模方法主要是針對實際中的數學問題，對其進行提煉，抽象出特定的數學模型，然后完成模型求解，并對數學模型本身的合理性進行驗證分析，通過模型求解得出數學問題的答案［2］.數學建模的方法主要包含了以下幾個步驟：

（1）問題分析，主要是充分理解問題的實際意義，對題目中的各項信息進行收集整理分析，通過數學語言描述這些信息.

（2）模型假設，結合問題分析中的信息，簡化數學語言，抽象出相應的數學關系，并在此基礎上完成相關條件、符號的假設.

（3）建立模型，結合數學關系對數學模型進行抽象處理，利用假設條件、符號構建出特定的數學模型.

（4）模型求解，引導學生用自己學到的知識、題目中的相關數據求解出相應的模型參數解.

（5）模型分析，對模型求解的結果進行分析.

（6）模型檢驗，指引學生將求解的結果放到實際問題中，如果符合實際問題中的相關信息要求，證明模型分析是正確的；如果不符合實際情況，則表明模型需要進一步改進，應該重新構建模型進行分析.

從實際生活看，有很多問題都與數學模型相關，如果學生在解決數學問題中可以靈活地構建數學模型，借助數學模型的方法解決，往往能獲得事半功倍的效果［3］.從數學模型的整體發展情況看，在高中數學階段涉及的模型包含了以下幾類：

（1）與數量相關的模型：主要包括函數模型、不等式模型、方程模型、數列模型、概率模型等.

（2）與形狀相關的模型：主要包括平面幾何模型、立體幾何模型.

（3）與位置相關的模型：主要包括極坐標模型、幾何模型.

（4）與最值相關的模型，主要有線性規劃模型.

2 數學模型方法在高中數學解題中的應用要點

2.1 與傳統解題方法的差異

數學建模方法主要是將數學建模思想、數學建模活動融入到數學問題處理中的一種方式，與傳統的解題方法相比較，數學建模方法的特點在于：一是數學建模需要從題目全局入手，整體分析題目信息，并且要充分了解問題的背景；二是學生需要全程參與到題目分析中，探索問題的解決路徑，同時數學建模方法具有良好的解決策略時，往往會出現一題多模的情況；三是數學模型是解決數學問題的一個工具，更加關注數學模型的實際應用性，同時在數學建模方法有特定的步驟，其結構十分清晰［4］.

數學建模方法在培養學生的建模意識、數學應用意識等方面具有良好作用，在新課標中提出教師在日常教學中組織學生開展數學建模活動，關注學生的數學應用能力培養，并且在新高考中，也更加關注學生的數學建模能力考查，出現了很多開放性的問題，更強調學生的數學應用意識.因此為了滿足學生的綜合發展所需，教師在平常教學中就需要特別注重學生數學建模意識培養，引領學生能靈活地運用數學建模方法解決實際問題.

2.2 關注數學建模思維的滲透

在教學改革不斷深入的今天，教師在日常教學中必須轉變自身的教學思維觀念，要結合時代特征更新自身的教學理念，提升自身對數學建模思想的認知，靈活地運用數學建模思維來引領學生處理問題.

同時，在平常教學中，教師需要在潛移默化中融入數學建模思想，關注學生的建模方法解題能力的培養，教師在課堂上需要轉變自身過去的以“教材為核心”觀點，靈活地引入生活化內容，讓學生能通過建模思想來處理生活中的實際問題，并且要關注學生的獨立思考，讓學生能充分意識到數學學習的價值［5］.

此外，教師還可以專門組織學生開展數學建模訓練活動，讓學生在獨立思考、合作討論中充分掌握數學建模知識，熟悉數學建模方法的運用，促進學生綜合發展.

3 數學建模方法在高中數學解題中的應用

3.1 函數模型

函數模型簡單來說就是讓學生用自己學到的數學知識，對實際問題進行歸納、分析，然后進行加工，建立函數關系后，實現對問題的處理.在高中數學知識內容中，函數屬于最重要的知識之一，而關于函數的問題類型十分豐富，背景知識也特別廣泛，解題技巧更是豐富多樣，一直是高考的重難點.同時在學生的現實生活中，關于函數的知識也比較廣泛，如最低成本、最高利潤等，都是用到了函數求最值的思想方法，因此在實際教學中，教師可以結合學生的實際狀況，引領學生能靈活地運用函數模型來解決實際問題.

例1 在十一黃金周前期，某海洋館決定將水池中的水全部放掉，清洗水池，在清洗完以后，重新注入干凈的水.現有一個長、寬、高分別是30m、25m、5m的水池，工作人員將注水時間與注水量變化記錄了下來，詳見下表1.

結合上表1思考，在該水池中注水100min時，水池中的水有多少？列出水池中注水量與時間的關系式，思考多長時間能將水池注滿？

結合題目的信息可以知道，本題與長方體的體積相關，結合表1可以得出在注水時，每隔10min水池中的水會增加250m3，時間間隔相同下，水池中注水量的增加是一樣的，并且這一變量處于連續狀態，具備構建一次函數的特征.學生在解題時可以結合表1中的數據變化規律，開展圖像分析，得出更加直觀的結論，假設注水時間為x，水池中注水量為y，畫出相應的圖像，可以看出y與x的變化滿足一次函數條件，因此學生在解題中就可以構建一次函數模型y=ax+b，其中a、b都是常數.

為了求出a、b的值，可以結合表1給出的數值，通過待定系數法，得到二元一次方程組，解方程得到a、b值.如10a+b=250，20a+b=500，得出a=25，b=0，得到一次函數模型y=25x，隨后將（30，750）、（40，1000）代入一次函數模型中，驗證模型的合理性，從而得出水池中注水量與時間的關系式.

接下來是解答實際問題，當注水100min時，y=2500，也就是水池中的水量是2500m3；水池注滿水時，水池中的注水量達到最大，水池的體積是3750m3，即y=3750時，x所對應的值是150.因此150分鐘后水池會注滿干凈水，從而停止注水.最后對一次函數模型進行修正，y=25x（0＜x ≤150）.

3.2 三角模型

在處理一些復雜的數學問題時，教師可以指引學生嘗試將復雜問題轉變成示意圖，如果示意圖可以與三角形產生關系，就可以構建相應的三角模型，通過三角模型來完成問題的處理.在高中數學教材中，三角模型屬于幾何模型中最重要的模型之一，學生在初中階段就學習過很多關于三角形的模型，而在高中階段，不僅涉及各種基本三角模型的應用，還有更加復雜的三角模型，學生在求解三角模型時可以通過正余弦定理、勾股定理等知識完成.

從高中數學的整體情況看，三角模型在解題中的應用是很廣泛的，其包含了距離、路程、高度等測量問題，學生在求解三角模型的相關問題時，往往會涉及一些專業的術語，如仰角、俯角等，下面結合具體例題分析三角模型解決數學問題的方法.

例2 A觀察哨在上午11點收到通知，正西方向突發風暴，朝著正東方移動，預計在2小時來到觀察哨，并繼續向前移動.同時觀察哨發現有一艘輪船在A北偏西60°的B點，一段時間后輪船來到A觀察哨北偏東60°的C點，并且輪船保持93km/h的速度勻速前行，最后達到A觀察哨正東方5km的小島E點.如果該輪船在BC段的時間是CE段的4倍，問輪船能否在風暴達到A點前回到E？

在本題中，結合題目可以知道B、C、E三點共線，然后結合題目畫出示意圖，如下圖1所示，結合示意圖抽象出三角模型，然后計算出BE長度.

結合題目信息可以得出BC=4CE，設CE=x，

則BC=4x，BE=5x，

△ABE中，∠EAB=150°，

根據正弦定理得出sinBAE=sin∠EABBE，

sinB=12x.

在△ABC中，∠CAB=120°，

根據正弦定理得出sinBAC=sin∠CABBC，

AC=433.

在△ACE中，∠CAE=30°，AE=5，

AC=433，

依據余弦定理可以得出CE2=AE2+AC2－2AE·AC·cos∠30°，

因此得出CE=933，BE=5EC=5933，

得出航行時間t=53h，也就是輪船經過53h后來到小島E點，由于53＜2，從而得出輪船在風暴達到A點之前就可以回到E點.

高中學生在利用三角模型處理相關數學問題時，需要不斷地用到正弦定理、余弦定理等知識點，所以學生自身必須對這些知識有深層次的認知.

4 結語

總而言之，在高中數學解題中，通過數學建模方法的應用，可以讓學生充分體會到數學知識在實踐生產生活中的運用價值，更容易幫助學生理解數學理論知識，解決數學實際問題，對學生綜合發展尤為有利.在今后的高中數學解題中，教師要關注學生數學建模意識的培養，引領學生靈活地運用數學建模方法來處理各項數學問題，推動學生的綜合成長.

參考文獻：

［1］余金通.數學建模在高中數學教學中的實踐與探索［J］.中學數學：高中版，2021（8）：90-91.

［2］蒲朝云.關于數學建模在高中數學教學中的實踐與探索［J］.數理化解題研究，2022（12）：29-31.

［3］劉洋，劉春紅.高中數學建模活動和數學探究活動的實踐路徑［J］.天津教育，2022（2）：16-18.

［4］張芝悅.基于數學建模的高中數學教學策略探究——以《三角函數的應用》為例［J］.數學教學通訊，2021（24）：25-26.

［5］張興力.如何在高中數學教學中培養學生數學建模能力［J］.魅力中國，2021（10）：83.