林木果球采收機械臂動力學參數辨識及補償

趙月 劉亞秋 徐妍 劉勛 房立金 張華良

摘 要：由于林木果球采收機械臂的工作場景復雜，對機械臂控制精準度的要求越來越高，研究機械臂動力學模型對其控制精度的影響非常重要。為提升機械臂的控制精度，提出一種在優化后的激勵軌跡下基于最小二乘法和高斯混合模型（GMM）的3次迭代整體參數辨識方法。該方法以6自由度機械臂構型為例，通過建立動力學模型及QR（正交三角）分解得到最小參數集；通過軌跡優化算法得到激勵軌跡的優化參數，進而得到優化的激勵軌跡；得到軌跡后，依次對關節力矩采用迭代加權最小二乘法進行理論辨識，構建區分關節高、低速的非線性模型對機械臂非線性摩擦力進行擬合，用GMM算法來補償無法精確建模的不確定力矩分量。在COMAN R5機械臂上進行試驗測試，結果表明，所提出的軌跡參數優化方法將條件數從329減少到193，力矩殘差的平均均方根從9.53降低到6.14，從而證明激勵軌跡和辨識方案的可行性和有效性。

關鍵詞：林木果球采收機械臂；三次迭代動力學參數辨識；激勵軌跡；非線性摩擦力模型；GMM補償算法

中圖分類號：S776;TP241.3 文獻標識碼：A 文章編號：1006-8023（2023）03-0150-11

Abstract：Due to the complexity of the working scene of the forest fruit ball harvesting manipulator， the accuracy of the manipulator control is increasingly required. Considering the influence of the dynamic model of the manipulator on its control accuracy， in order to improve the control accuracy of the manipulator， a three-iterative global parameter identification method based on the least square method and GMM under the optimized excitation trajectory is proposed. This method takes the 6 - DOF manipulator configuration as an example， and obtains the minimum parameter set by establishing the dynamic model and QR decomposition. The optimization parameters of the incentive trajectory are obtained through the trajectory optimization algorithm， and then the optimized incentive trajectory is obtained. After the trajectory is obtained， the joint torque is identified by iterative weighted least square method， and the nonlinear friction force of the manipulator is fitted by constructing a nonlinear model that distinguishes high and low speed. The GMM algorithm is used to compensate the uncertain torque component that cannot be accurately modeled. Experimental tests are carried out on the COMAN R5 manipulator. Results show that the proposed trajectory parameter optimization method reduces the number of conditions from 329 to 193， and the average root mean square of torque residuals from 9.53 to 6.14， which proves the feasibility and effectiveness of the excitation trajectory and identification scheme.

Keywords：Forest ball harvesting manipulator; dynamic parameter identification of three-iterations; excitation trajectory; nonlinear friction model; GMM algorithm

基金項目：國家自然科學基金項目（61821005）;國家重點研發計劃項目（2018YFE0205802）。

第一作者簡介：趙月，碩士研究生。研究方向為機械臂動力學和運動學。E-mail： zhaoyue_0329@nefu.edu.cn

*通信作者：劉亞秋，博士，教授。研究方向為機械臂動力學和運動學、移動機器人。E-mail： yaqiuLiu@nefu.edu.cn

0 引言

林木果球采收過程需要大量的勞動力，傳統人工方式存在效率低和準確率低等問題，同時近幾年新冠疫情導致了勞動力缺失，嚴重影響林業采收產業發展。面向林木果球采收的自動化設備或大型工業機器人設備[1]研發及維護成本較高、通用性差、缺乏協作功能，因此在當前研究中采用協作操作臂進行取代。

建立精確的動力學模型對于多自由度協作機械臂的精確控制至關重要，如Xiao 等[2]提出的機器人示教方法、李智靖等[3]提出的碰撞檢測和Fu等[4]實現的準確對機械臂末端的控制，這些都是基于機器人動力學參數實現的。對于動態參數識別的研究目前有很多，如孫昌國等[5]利用物理試驗來測量各連桿的動力學參數、Armstrong等[6]通過CAD法對PUMA560動力學參數的測量、通過整體識別法[7-9]對動力學參數進行辨識。目前廣泛應用的是整體辨識方法，其大致可以分為確定動力學模型（包括摩擦力）、設計最優激勵軌跡和確定整體辨識算法。

在動力學模型中，由于多數機器人依靠有摩擦的齒輪傳動，所以摩擦模型對整體辨識至關重要。目前在線性辨識方法中摩擦力通常建模為庫侖摩擦力和線性黏性摩擦力，如Gautier[10]使用庫侖摩擦力和線性黏性摩擦力擬合摩擦。然而，一些研究表明，黏性摩擦力和關節速度之間存在非線性關系[11-12]。因此本研究提出一種改進摩擦模型，在區分關節低速和高速的基礎上，將庫侖摩擦和黏性摩擦的非線性模型結合起來，并在整體辨識中迭代確定低高速的閾值。

在整體辨識中，使用合適的激勵軌跡[13-14]會加快辨識算法的收斂速度，提高抗噪聲能力。本研究選用5階傅里葉級數作為激勵軌跡模型，回歸矩陣的條件數作為優化準則。研究表明[15]，對回歸矩陣和其子矩陣進行優化，實現對回歸矩陣內部結構的約束。Bonnet等[16]研究表明，迭代優化能夠充分激勵機器人的動態特性。因此，本研究提出一種迭代最小二乘法來同時優化回歸矩陣和子回歸矩陣，并使用變異系數法來確定子回歸矩陣的權重。

就整體辨識算法而言，目前已有的算法十分豐富，如使用神經網絡辨識參數[17]、混沌粒子群優化算法辨識[18]、基于李理群論實現參數辨識[19]和最小二乘法[8-9]等。最小二乘法是一種穩健且被廣泛使用的方法。例如，Gautier 等[20]提出了一種非線性最小二乘優化算法來估計二自由度機器人的SCARA（Selective Compliance Assembly Robot Am，選擇順應性裝配機器手臂）、韓勇[21]提出了基于迭代的加權最小二乘法。本研究基于迭代加權最小二乘法，對連桿的慣性和關節摩擦模型進行估計。但在整體參數辨識過程中，一些不確定的分量無法通過建模來辨識，使得擬合效果始終達不到預期效果，本研究針對這部分通過擬合剩余力矩來補償，鑒于這部分的困難和非線性等性質，運用高斯混合（GMM）統計模型[22]實現擬合。

綜上，本研究提出一種基于3次迭代的協作機械臂動力學模型辨識及補償算法。辨識算法使用區分低速庫侖摩擦和黏性摩擦的非線性摩擦模型，結合加權迭代最小二乘法和擬合非線性殘差部分的GMM算法，完成協作機械臂的參數辨識及補償。為使結果更加準確，使機械臂在優化后的激勵軌跡下運動并且使激勵軌跡充分激發動力學特性，提出一種基于分塊回歸矩陣的迭代最小二乘的激勵軌跡參數優化算法。該算法利用迭代最小二乘法優化回歸矩陣，使用變異系數法確定子回歸矩陣的權重，從而得到最優激勵軌跡。進而提高辨識結果的準確性和魯棒性。

1 建立機器人動力學模型

1.1 建立線性動力學模型

1.1.1 牛頓-歐拉動力學模型

基于牛頓-歐拉方程，若機械臂各關節位置、速度和加速度已知，并給定機器人運動學參數和各連桿質量分布特征，那么引起剛體產生上述運動的理論力矩值可通過牛頓-歐拉迭代法[23]求得。機械臂關節力矩公式為

式中：M（q）∈Rn×n和n分別為正定對稱慣性矩陣和關節數；C（q，q·）∈Rn×n和G（q）∈Rn×1分別為科里奧利離心力矩陣和重力力矩矢量；q，q·，q¨分別為 n×1的關節角位移、角速度和角加速度矢量；τ∈Rn×1和τf∈Rn×1分別為關節的驅動力矩和摩擦力矩；J（q）T為機械臂的雅可比矩陣；fext為作用在機械臂末端的外力項矢量。

1.1.2 線性化模型

由于外力項與機械臂動力學參數本身無關，所以本研究不考慮外力項，式（1）改為

從式（2）中可以看到摩擦力在動力學模型中有著至關重要的影響，目前廣泛使用的摩擦模型是庫侖黏滯摩擦模型[24] ，該模型的描述為

式中，kc和kv分別為庫侖摩擦系數和黏性摩擦系數。

但這種單一的線性模型不能準確表示真實的摩擦現象，為此本研究使用下述的摩擦力模型，該模型在設計時考慮擬合低速時的負斜率現象并與庫侖黏性模型相結合

式中，λ是關節速度的閾值。

公式中的黏性摩擦模型kv（q·）改為

式中，kv3、kv2和kv1是實系數。

在本研究提出的模型中，庫侖摩擦在正方向和負方向都有表現。當機器人關節向不同方向運動時，重力以與重力相反的方向施加到關節上。因此，式（4）中使用2個庫侖摩擦系數方向相反的kc。另一方面，準確定義靜摩擦和低速摩擦是一個巨大的挑戰，與式（3）相比，式（4）中設置合適的閾值λ，使得關節的低速運動和高速運動更加平滑。此外，在計算中考慮關節的速度平方和速度立方，以保證摩擦模型的準確性。

式（2）中機械臂動力學模型是非線性的，但參數辨識算法一般要求模型為線性的。因此需要對式（2）進行線性化，轉換為下面的線性形式[25]

式中：τ為機械臂各關節力矩組成的向量；H（q，q·，q¨）為關于q，q·，q¨的非線性函數矩陣，即動力學參數回歸矩陣，其中包括連桿動力學部分回歸矩陣Hlink和摩擦力部分回歸矩陣Hf；δ為動力學的標準參數集向量，其中包括連桿標準動力學參數向量δlink和摩擦力動力學參數向量δf。

由于式（6）中的連桿動力學回歸矩陣存在整列為零和某些列線性相關的問題，需要重新整理待辨識的機械臂動力學參數，得到基本連桿動力學參數。當前廣泛使用的方法是QR（正交三角）分解[26]，QR分解將矩陣Hlink和機械臂標準動力學參數向量δlink都分成2部分，動力學方程改為

式中：Hlink，b為矩陣Hlink中nb個線性無關列組成的子矩陣；Hlink，d為Ηlink中剩余nd個列組成的子矩陣；δlink，b為基本連桿動力學參數組成的列向量；δlink，d為連桿動力學模型中不起作用參數組成的列向量;τlink為由連桿動力學（不含摩擦力）產生的力矩。

綜上，將線性化后的參數集進一步簡化，得到僅包含基本動力學參數的動力學方程

因此，機械臂的動力學模型為

式中：H=Hlink，bHf（Hf為摩擦力部分對應的回歸矩陣）；π=δTlink，bδTfT（其參數數目p=nb+6n）。

1.2 建立非線性動力學模型

在伺服系統中，諧波環節和力矩傳遞存在誤差，摩擦力建模存在誤差，加速度測量波動較大以及濾波產生誤差，這部分慣量產生的力矩無法精確建模，本研究將其融進誤差，即非線性動力學部分。這里基于傳統動力學模型得到模型力矩與實際力矩之差，對這部分進行分析，對動力學模型的線性部分和非線性部分進行統一建模

式中：τlink為不包含摩擦力部分的連桿動力學力矩；τm為關節電流驅動力矩，是真實情況下控制關節力矩，可由電流和換算系數直接獲得；τf為摩擦力矩；τerr為無法建模力矩包含一部分摩擦力和上述諧波誤差等不精確分量力矩的合力矩。

2 基于迭代的激勵軌跡優化算法

本研究使用基于有限項傅里葉級數的激勵軌跡模型為設計目標，提出了基于分塊回歸矩陣的迭代最小二乘的參數優化算法，充分激發機器人動力學特性并使得回歸矩陣的條件數達到理想數據。

2.1 基于有限傅里葉級數的軌跡模型

激勵軌跡的確定為無限維泛函問題，很難得到解析解，因此對激勵軌跡參數化，從而將無限維泛函問題轉變為有限維的優化問題。本研究通過有限項的傅里葉級數對激勵軌跡參數化，有限項傅里葉級數表示激勵軌跡如下

式中：qi（t）、q·i（t）、q¨i（t）分別為關節i在t時刻下的關節位置、速度和加速度；N為傅里葉級數的階數；ωf為頻率；ci為關節i位置的常數項，al，i，bl，i為關節i的正余弦函數的幅值，因此al，i、bl，i、ci為待優化參數；則每個關節的待辨識參數為2N+1個。

2.2 基于分塊觀測矩陣條件數的優化目標

針對激勵軌跡參數的優化問題，已存在多種優化指標，如條件數法、行列式法和協方差矩陣法等，本研究選取矩陣條件數作為衡量激勵軌跡優劣的指標。對于任意給定矩陣A，其條件數的定義為

式中，σmax（A）和σmin（A）分別表示矩陣A奇異值中的最大值和最小值。

選取條件數作為優化指標的意義為：條件數值越小，機械臂在其允許的工作空間內以較高速度和加速度盡可能地遍歷整個機器人工作空間，從而采集對參數辨識較為有用的信息。

由于激勵軌跡每個關節獨立，摩擦力的觀測矩陣存在很多0，容易造成條件數增大，所以本研究的激勵軌跡中所用的觀測矩陣不包含摩擦力部分。

對于加權最小二乘法，優化目標轉換為加權回歸矩陣H*，本研究用參考文獻[21]中的研究方法

式中，Ω為常矩陣，這里通過測量噪聲計算該矩陣。

同時，僅優化H*的條件數難以達到想要的效果，還需要對H*子矩陣進行優化約束H*的內部結構。這里主要研究重力相關列組成的回歸矩陣H*1和重力無關列組成的回歸矩陣H*2。其中H*1和H*2的權重由變異系數法確定，H*的權重為H*1和H*2權重之和。用變異系數法求出基本連桿動力學回歸矩陣中每列所對應的權重，對于本研究所使用的6自由度機械臂，該矩陣包含的列數為36，因此基本連桿動力學回歸矩陣中每列對應的權重Wc=（wc1，wc2，…，wc36）。

式中：std（·）為標準差函數；mean（·）為平均值函數；H*（：，i）為回歸矩陣中第i個參數對應的矢量。

變異系數法根據統計學方法計算出系統各指標變化程度，該方法中變化差異較大的指標權重較大，變化差異較小的指標權重較小。

將重力相關列和重力無關列權重分別相加，得到H*1和H*2的權重系數wh1和wh2。

綜上所述，本研究的優化目標為

式中：α為待辨識參數向量；H*為歸一化回歸矩陣；H*1為H*子矩陣，對應重力相關列組成的回歸矩陣；H*2為H*子矩陣，對應重力無關列組成的回歸矩陣。

2.3 基于迭代方法的激勵軌跡參數優化

使用迭代方法對激勵軌跡參數進行優化，讓當前優化的激勵軌跡與前面優化的激勵軌跡形成互補，使得激勵軌跡的組合充分激發機器人動力學特性。

迭代優化過程中，H*具有以下結構：在第1次優化時，H*形狀為 6 m×nb（m為采樣點數，nb為基本動力學參數（不含摩擦力參數）的數目）；在第2次優化時，H*的形狀為12 m×nb，其中前面部分為第1次優化的結果，后面部分為本次迭代要優化的部分；在第k次優化時，H*的形狀為6×k×m×nb，其中最后6 m行為當前步驟要優化的部分。在每次優化過程中，α的起始點都隨機選取，若經過當前步驟的優化，目標函數降低，則記錄當前結果；否則重新隨機選擇起始點繼續優化；當經過15次嘗試后，目標函數未降低，則認為達到全局最優并停止優化。

最后激勵軌跡的優化公式為

式中：qi，max、q·i，max、q¨i，max分別代表各關節可運行的最大角度、最大角速度以及最大角加速度，保證了機械臂在可承受的速度和加速度下安全運行不發生碰撞。后3個等式保證機械臂的平穩啟停，其中t0和tf分別表示單個激勵軌跡周期內的起始和終止時刻。

3 基于3次迭代辨識的動力學模型辨識及補償方法

本研究提出3次迭代辨識的動力學模型辨識方法，第1層先對連桿動力學τlink進行理論辨識；第2層對摩擦力τf進行辨識；第3層基于柔性誤差來補償不確定分量τerr。

3.1 辨識基本連桿動力學參數

該部分是辨識方法的內層，根據各關節力矩噪聲大小對回歸矩陣進行加權，將多維線性回歸問題轉化為單維線性回歸問題。

使機器人沿著特定的激勵軌跡運動，以一定的采樣頻率對運動過程中機器人各個關節的關節位置q、關節角速度q·、關節角加速度q¨和關節輸出力矩τ進行采樣，且保證采樣數目m遠遠大于待辨識動力學參數的數目。這樣即可構造回歸矩陣Hm、力矩向量Γm

式中，π^為動力學參數近似值；Hm∈Rmn×p，Γm∈Rmn×1。

使用最小二乘法解式（19）的線性回歸方程組，回歸系數π的計算公式如下

為使方差達到最優，使用加權最小二乘法（WLS）。首先，計算殘差，即預測力矩和實測力矩之差

式中：R∈Rmn是殘差，其次

式中：Σjj為殘差方差矩陣Σ對角線j元素；Ej為E的第j行；var（·）為方差函數；E∈Rn×m是殘差的變形。加權最小二乘法計算回歸系數

式中：Σm∈Rmn×mn為分塊對角矩陣，其對角線上有m個Σ。在傳統辨識方法中，假設關節力矩的噪聲是相互獨立的，這里去掉相互獨立條件，則可以計算非對角協方差矩陣Ω∈Rn×n為

計算回歸系數的加權最小二乘法改為[20]

式中，Ωm∈Rmn×mn為塊對角矩陣，其對角線上有m個Ω，為提高辨識模型的精度，將迭代加權最小二乘（IRLS）方法引入用來識別基本動力學模型參數。

3.2 摩擦力辨識

對于這部分，在估計出摩擦力大小后，可尋找更準確的模型來擬合摩擦力。本研究從測量力矩中減去與摩擦不相關的力矩（即由連桿參數計算的剛體動力學的力矩）來估計摩擦力[21]，即

在式（26）估計的摩擦力基礎上，本研究外層選擇的非線性摩擦力模型如下。

式中：庫侖摩擦部分包括正反方向2個正反方向相反的參數kc;黏滯摩擦部分包括kv3、kv2和kv13個參數。因此每個關節待辨識的參數為5個，這里通過閾值λ將摩擦力辨識分為2個部分。

摩擦力辨識首先通過低速運動部分的數據，辨識低速運動部分的摩擦力參數。并且為了準確辨識參數，得到合適的λ。本研究使用修改的Lawson和Hanson的NNLS非線性最小二乘法確定λ，算法如下

式中：Festi為通過測量力矩和內層辨識確定的第i個關節的摩擦力矩；τfi為通過摩擦模型估計的第i個關節的摩擦力矩。在確定λ之后再通過高速運動部分的數據，辨識高速運動部分的摩擦力參數。

3.3 基于柔性誤差補償不確定分量

針對τerr這部分無法精確建模的力矩分量，本研究通過GMM算法進行非線性逼近，誤差力矩估計為

式中，u為輸入向量。

假設GMM中包含高斯成分的數量為Gl，定義為O=el，μl，ΣlGll=1，其中e1，e2，…，eGl是高斯成分的混合系數，并且有約束el>0和∑Gll=1el=1;μ1，μ2，…，μGl為高斯成分的均值向量;Σ1，Σ2，…，ΣGl為高斯成分的協方差矩陣。

采用GMM算法擬合數據的過程：首先，創建數據集為Z={Z1，Z2，…，Zf}（f=1，2，…，m），式中，m為數據集Z的個數;Zf=Zs，f，Zξ，f，Zs，f∈［q，q·］=u，Zξ，f∈f（u）。Z的分布由有限高斯分布的GMM表示，概率密度表示為

式中：Ol為第l個高斯成分的相關變量。

其中第l個高斯成分定義為

GMM通過期望最大化（EM）算法得到GMM參數，再使用高斯混合回歸（GMR）復合期望函數f（·），在給定數據u的情況下，f（u）的條件概率也滿足高斯分布，即

3次迭代辨識算法的流程圖如圖3所示。

4 結果與分析

本研究試驗均在中科深谷的COMAN R5 6自由度機械臂上完成，代碼程序均在聯想電腦的PyCharm上開發完成，試驗的機械臂實物如圖4所示，模擬機械臂果球采收如圖5所示，機械臂修改后的D-H參數見表1。

4.1 激勵軌跡求解

對于激勵軌跡的求解，根據變異系數法求出每個參數權重的均值為

確定慣性子回歸矩陣和重力子回歸矩陣的權重比為

其中，round（·）為四舍五入取整算法。回歸矩陣H*前的系數為22。因此優化激勵軌跡的目標改為

此過程中，本研究軌跡單位為弧度，基礎頻率為ωf=2πff，激勵頻率為ff=0.1 Hz。同時，為客觀展現本研究方法與傳統最小二乘法、普通迭代最小二乘法相比的優越性，在表2中列出了不同方法的條件數。

4.2 試驗及數據

通過試驗評估3次迭代辨識的準確性。操作如下：1）采集機械臂在激勵軌跡下運動的關節角度、關節力矩值（電機電流，單位mA），采樣頻率為fs=1 kHz；2）使用五階巴特沃斯濾波器對關節角度和關節力矩進行濾波，從而降低噪聲對數據的影響；3）對關節角度進行中心差分運算，得到關節角速度和關節角加速度；4）分別使用不同的參數辨識算法，辨識動力學參數，并使用辨識出的參數進行力矩擬合，驗證結果。

關于摩擦部分，通過速度-摩擦力矩電流擬合證明摩擦模型的有效性，使用本研究提出的摩擦模型擬合摩擦力矩效果如圖6所示。

為驗證辨識算法的準確性和有效性，分別將傳統最小二乘法、迭代最小二乘法和本研究方法的力矩擬合情況展示在圖7—圖9中。從圖7—圖9中可以發現，本研究提出的算法計算的殘差相對最小，參數模型精度最高。為客觀展現本研究方法的優越性，列出使用不同識別方法的驗證噪聲殘差的均方根，其中最小二乘法表示標準最小二乘法；噪聲代表測量電流和濾波電流之間的殘差均方根。

為更好地展現加入GMM的效果，將加入GMM前和加入GMM后的測量電流和濾波電流之間殘差進行對比，如圖10所示。

上述結果表明，與傳統的最小二乘法相比，本研究提出的3次迭代辨識方案有顯著的改進，并且在幾個關節中殘差的力矩均方根值降低了30%；參數辨識精度由6個關節的平均力矩殘差均方根衡量，其中使用最小二乘法的力矩殘差平均均方根為9.53、迭代最小二乘法的力矩殘差平均均方根為9.32，本研究方法力矩殘差平均均方根為6.14。證明了本研究方法相較于傳統方法的優越性。

5 結論

針對林木果球采收協作機械臂動力學模型參數精準辨識問題，充分考慮機械臂多連桿動力學辨識誤差、非線性摩擦力和不確定噪聲力矩影響，提出一種協作機械臂動力學參數模型精準辨識及補償方法，即1次軌跡優化和3次迭代辨識過程，通過激勵軌跡優化，收集采樣機械臂在激勵軌跡下運動的關節角度/關節力矩值，3次迭代辨識及柔性補償處理，獲得了相對傳統方法的突出優化效果。

首先設計了能充分激發機械臂動力學特性的激勵軌跡。通過對比條件數為329的最小二乘法和條件數為275的迭代最小二乘法，條件數為193的本研究方法有明顯優勢。

在對協作機械臂的動力學參數辨識提出了以下2方面改進，一是使用構建區分高、低速的非線性摩擦力模型擬合機械臂動摩擦力效應；二是將GMM算法引入動力學參數辨識中，補償不可線性擬合的不確定力矩殘差部分。

通過COMAN R5六軸機械臂實機測試結果表明，該方法與傳統最小二乘法相比，使得辨識結果的殘差均方根降低了30%，模型參數辨識精度提升效果非常顯著。

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