基于Comsol的夾芯板聲學特性仿真分析

董 鵬，龔 強

(1.海軍裝備部裝備項目管理中心，北京 100071；2.中國船舶研究設計中心，湖北 武漢 430064)

0 引 言

為靈活調控聲波的透射和損耗，在單層板、雙層板、加筋板的基礎上，多層均勻材料復合結構受到廣泛關注，研究其聲反射和透射特性具有重要意義。

對于板結構的聲學計算，學者們已提出了多種方法，包括模態分析法、統計能量分析法、波傳遞法等[1]。此外，傳遞矩陣方法也是研究多層介質聲學特性的一種主要理論方法[2 – 4]，以上這些方法對于結構形式簡單的平板結構是方便可行的，但也存在局限性，如板結構的外形變得復雜或者邊界條件有了改變時，以上這些方法很可能不再適用。近年來，隨著計算機技術的迅速發展，數值方法得到廣泛應用，即采用有限元法和邊界元法計算板結構的聲學特性。趙洪等[5]利用數值解法研究了由彈性薄板、彈性板及消聲材料組成的多層復合結構，在斜入射時反射系數、透射系數的頻率響應和角分布特性。使用數值方法計算板結構的聲學特性具有很多優點，對于結構外形與邊界條件適用性很強，并且能夠同時考慮多個因素對聲學參數的影響規律等[6 – 7]。仿真方法也存在不足，對于大型結構，當計算頻率較高時耗時過長，但隨著計算機技術的發展，關于計算效率的問題已不是一個主要的障礙[8]。

1 基本理論

1.1 聲學有限元仿真

對于彈性體的聲學分析是一個流固耦合問題，彈性體在流體載荷作用下將會發生變形和運動，與此同時固體的形變等反過來也將對流體產生影響。在流體域中，聲壓的分布滿足下式：

式中：c0c0為流體中的聲速；pp 為聲壓；?為梯度算子；為梯度算子的轉置。

式(1)稱為Helmholtz積分公式，是求解結構聲學特性的理論基礎。根據變分原理，上述連續計算域可被離散為多個小的計算域，也就是完成了單元離散，此時原有的積分公式被轉換為了線性方程組，通過數值方法求解表征結構聲學特性的各個參數。

在彈性結構中，位移及其導數也需要滿足結構的振動方程：

式中：{FS} 和{FP}分別為固體結構受到的機械激勵載荷與流體作用載荷；{δ}為結構位移矢量，包含3個方向分量；[Ms]和[Ks]分別為結構的整體剛度矩陣和整體質量矩陣，可通過單元剛度矩陣、單元質量矩陣組裝得到。

其中：ρs為材料密度；[D]為彈性矩陣，反映了材料的本構關系；[Bδ]為應變矩陣，表示應力和應變之間的關系；[Nδ]為位移插值形函數矩陣。此外，在流體和結構的交界面存在連續性條件，包括結構法向應力與流體聲壓大小相等，以及法向質點位移連續。最后，在本問題中切向應力與位移都為0。

1.2 基于無限大平板的反射透射系數

對于無限大平板問題（厚度為d，密度為ρ，楊氏模量為E，泊松比為σ），平板兩側為2種不同的流體，分別為流體1和流體2，其中流體1的密度和聲速可表示為ρ1和c1，流體2中則為ρ2和c2。當平面聲波從流體1向平板入射時（入射角為θ1），平板的反射系數R和透射系數T此時都為復數，如下式：

其中：G和H為傳遞矩陣中相應的元素；Z1和Z2分別為流體1和流體2的阻抗，Zc為板中的縱波阻抗，Zb為板中的橫波阻抗，Zc=θc為板中縱波的折射角；θb為板中橫波的折射角。

1.3 有限元模型驗證

在計算聲學問題時，利用Comsol中的聲學模塊，可以模擬聲學物理場的狀態，將壓力聲學與結構力學2個物理場進行耦合，準確地模擬出彈性體聲學分析的流固耦合力學問題，再利用Comsol聲學模塊中壓力聲學模塊的頻域接口對Helmholtz方程進行求解，得到反射聲壓pra和透射聲壓pta，進一步根據反射系數與透射系數的定義式(6)和式(7)求得反射透射系數。

本文利用Comsol進行計算分析，為了驗證本文計算所使用的計算模型以及有限元軟件的有效性，將利用Comsol對單層金屬板聲強透射系數計算結果與理論解進行對比驗證。有限元計算模型中平面波沿Y軸負方向入射，其結構如圖1所示。該單元從上至下被分為5層，最上層為完美匹配層（PML層），其厚度設置為10 mm；第2層為厚度為20 mm的水域，第3層為厚度為30 mm的鋁板，第4層同樣為厚度為20 mm的水域，最下層為厚度為10 mm的PML層。其中水域的密度設置為1000 kg/m3，聲速設置為1500 m/s。鋁板的材料參數為：泊松比σ=0.34，楊氏模量E= 6.58×108Pa，密度為ρ= 2.7×103kg/m3。在二維模型的x方向的邊界上設置周期性邊界條件，模擬無限大平板的情況。由圖2可知，2種方法得到的結果吻合度較好，驗證了本文計算所使用的計算模型以及有限元軟件的有效性，表明本文計算的準確性較高。

圖1 驗證模型結構示意圖Fig.1 Schematic Diagram of the verification model’s structure

圖2 鋁板聲強透射系數仿真結果與解析結果對比Fig.2 Comparison between simulation and theoretical results

圖3 夾芯板計算模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of the sandwich plate′s compute model

2 數值結果

利用Comsol對于無限大三明治夾芯板的聲學反射以及透射系數進行仿真計算，夾芯板計算模型的結構與有限元模型結構相似，僅僅將鋁層替換為夾芯板。夾芯板的結構見圖1，包括3層：厚度為30 mm的中間芯層，以及芯層兩側厚度為5 mm的面板。各層的材料參數如表1所示，其中E1,ρ1,μ1,η依次表示芯層材料的楊氏模量、密度、泊松比和損耗因子，E2,ρ2,μ2表示夾芯板蒙皮材料的模量、密度、泊松比。

表1 夾芯板各層材料參數Tab.1 Sandwich plate′s material parameters

本文主要探討夾芯層的厚度、材料屬性的變化對于夾芯板反射透射特性的影響規律，這主要是考慮到夾芯層的改變對于整體特性的影響較大。從芯層厚度與材料屬性2個方面給出夾層板聲學特性（反射與透射）的仿真結果，從中可見2個要素的影響規律。

2.1 芯層厚度的影響

研究夾芯層厚度的改變對于結構的反射透射系數的影響，芯層厚度分別取為20 mm，30 mm和40 mm。從圖4可以看出，隨著夾芯層厚度的增加，夾芯結構的透射系數在0~20 kHz頻段下有明顯下降，且隨著芯層厚度的增加，結構透射系數峰值對應的頻率不斷向低頻移動且幅值有明顯增加。從圖5可以看出，隨著夾芯層厚度的增加，在0~20 kHz頻段下夾芯結構的反射系數會逐漸增大，且隨著芯層厚度的增加，結構反射系數峰值對應的頻率不斷向低頻移動且幅值逐漸降低。對這種現象的解釋，可以類比考慮均勻中間層的情況，根據已有結論，最大透射發生時其入射波波長正比于中間層的厚度，也就是說中間層厚度增加，其對應的入射波波長也增加，或者說對應頻率將下降。

圖4 不同夾芯層厚度下的透射系數Fig.4 The transmission coefficient under different thickness of the core

圖5 不同夾芯層厚度下的反射系數Fig.5 The reflection coefficient under different thickness of the core

2.2 芯層材料彈性模量的影響

研究夾芯層材料楊氏模量改變對于結構的反射透射系數的影響。從圖6可以看出，隨著夾芯層材料楊氏模量的增加，結構透射系數峰值對應的頻率不斷向高頻移動且峰值逐漸降低。從圖7可以看出，隨著夾芯層材料楊氏模量的增加，結構反射系數的峰值對應的頻率不斷向高頻移動且峰值逐漸升高。芯層的材料彈性模量變化主要通過楊氏模量的改變，這里楊氏模量分別取為0.45 GPa，0.55 GPa和0.65 GPa。對這種現象的解釋，同樣可以類比考慮均勻中間層的情況。因為當中間層發生最大透射時，其波數與厚度乘積為一常數，所以當中間層的厚度不變，而改變材料屬性進而影響縱波波速時，為保持波數不變，其對應的頻率將發生相應改變。楊氏模量增加導致波速增加，此時對應的峰值頻率也要增加。

圖6 不同夾芯層楊氏模量情形下的透射系數Fig.6 The transmission coefficient under different Young′s modulus of the core

圖7 不同夾芯層楊氏模量情形下的反射系數Fig.7 The reflection coefficient under different Young′s modulus of the core

2.3 芯層材料損耗因子的影響

研究夾芯層材料損耗因子的改變對于結構反射透射系數的影響，芯層材料的損耗因子分別取為0.05，0.1，0.2，得到結構的透射和反射系數分別如圖8和圖9所示。從圖8可以看出，隨著夾芯層材料損耗因子的增加，結構透射系數峰值不斷降低，而對應頻率未發生明顯改變。從圖9可以看出，隨著夾芯層材料損耗因子的增加，結構反射系數峰值不斷升高，對應頻率未發生明顯改變。對于這種現象的解釋，仍然可以類比考慮均勻中間層的情況，結構的損耗因子增大，會對結構的共振產生抑制，從而導致峰值的改變，而損耗因子的改變對共振頻率的影響不大，故曲線峰值對應頻率未發生明顯偏移。

圖8 不同夾芯層損耗因子情形下的透射系數Fig.8 The transmission coefficient under different loss factor of the core

圖9 不同夾芯層損耗因子情形下的反射系數Fig.9 The reflection coefficient under different loss factor of the core

3 結 語

本文針對三明治夾芯平板結構，根據平面波正入射基本理論，利用有限元軟件Comsol開展聲學特性仿真分析，研究三明治夾芯平板在聲波正入射下的結構聲學特性，具體包括反射系數與透射系數。首先通過與單一平板結構理論解的對比，驗證了該仿真模型的準確性；討論了正入射條件下，平板厚度與平板材料參數等變化對于三明治夾芯平板反射性能與透射性能的影響。該方法同樣適用于斜入射的情況，相關研究將在后面的工作中開展，總之，聲學有限元方法對于研究結構的聲學特性是方便可行的。