自組織理論觀照下的高三數學復習課教學

劉權華　郭建華

【摘 要】自組織理論認為，要想讓包含教師、學生、教材、信息技術等要素在內的復雜系統實現學生對數學知識、方法、思想等的“耗散結構”，必須滿足系統開放等四個條件。自主、合作、探究的學習方式是教學本源的回歸。因此，高三數學復習課教學可以通過目標呈現、學習前置、任務認領、整體架構、適時點撥、促進“漲落”等策略來引發“學習動機”、實現“溫故知新”、形成“知識網絡”、搭建“思維臺階”、促進學生學業水平質變，從而形成自組織理論觀照下的復習課教學模式，讓高效復習真正發生。

【關鍵詞】高中數學；自組織；復習課；數列；數列單調性

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）20-0034-06

【作者簡介】1.劉權華，南京市教育科學研究所（南京，210002）科研員，正高級教師，南京市高中數學學科帶頭人，江蘇省“333高層次人才培養工程”中青年科學技術帶頭人；2.郭建華，南京市金陵中學（南京，210005）教師，高級教師，南京市青年優秀教師。

所謂“復習”，就是“為鞏固和加深理解，重復學習已經學過的知識”。高三數學復習課教學的關鍵是幫助學生進行“歸檔”“聯系”和“建構”，讓學生把高一、高二時所學的知識進行歸檔，建立聯系，把知識結構化、系統化；同時在對知識融會貫通的過程中，形成知識結構中的方法論系統；并通過以上活動，深化數學思想，積累數學活動經驗，使數學核心素養得到進一步培育。在這個過程中，教師要做的不僅是講題，還要“推動”和“點撥”；學生更不是簡單的“刷題”，而是通過“聯結”“遷移”讓學習“自組織”起來。

一、自組織理論觀照

德國哲學家康德最早提出“自組織”這一概念，他認為自組織是指事物內部的各部分都會為了其他部分和整體而存在，各部分會發生相關作用而構成一個有機整體。［1］教學過程中的自組織指的是不受外力強加，教學系統內部各要素之間彼此協同、相互競爭、各盡其責，逐步由無序向有序，由簡單到復雜，由量變到質變的過程。

自組織理論認為，真正意義上的學習一定是自我學習，自主、合作、探究的學習方式是教學本源的回歸。要想讓學生實現對數學知識、方法、思想等的“耗散結構”，必須滿足四個條件：教學系統要具有開放性，即教師、學生的流動，技術設備的迭代，教學內容的重組，資源信息的交換；教學體系要遠離均衡態，即教學過程中要在預設和現實之間呈現差異，尤其是思想上、認知上的差異；教學體系中要有非線性的作用，即付出與收獲之間不是簡單的線性比例關系，如教師的投入與學生的收獲之間要有非線性的比例關系；系統中要有“漲落”，如教師和學生的思維火花、優秀學生的榜樣、專業領域的技術進步等，這些都會在知識、方法、思想、經驗、素養等方面引起學生的思維起伏和思想漲落。［2］

下文以高三復習課“數列單調性的應用”的教學為例，闡述自組織理論觀照下基于學科核心素養的教學設計及思考。

二、自組織理論觀照下高三數學復習課教學實踐

學生是在外部方式的引領和組織下學習成長的，也就是說，學生的學習是需要他組織的，但具體到個體的改變，是由內而外按照自我的意愿來進行的，是對外部影響的個體塑造。而教師要做的，就是通過教學材料和教學活動來實現學生的自適應、自設計、自改造、自批判、自教育、自創生、自完善。

（一）目標呈現，引起“學習動機”

首先在學案中呈現本節課的學習目標，使學生知曉本節課的學習任務，引發思維沖突和學習動機，如在“數列單調性的應用”教學中呈現如下學習目標：

1.理解數列的單調性與函數單調性的聯系；掌握利用數列單調性求數列最大最小項的方法。

2.能利用數列的單調性求最值、不等式恒成立等問題。

3.通過應用數列單調性處理問題，體會函數思想和數形結合思想在解題中的應用。

4.培養細心觀察、嚴謹論證的思維習慣，感知從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程。

當然，這樣還不夠，因為學生對這部分內容的學習時間已久，可能淡忘，所以必須對所要復習的知識“溫故”。

（二）學習前置，引發“溫故知新”

教學過程遠離平衡態，才能使學生原有的認知狀態被遠離平衡態的刺激打破，出現“協同”或更深刻的“競爭”過程，使認知結構得到充實或改變，達到新的層次和平衡。所以，教師在課堂教學之前應該明確以下幾個方面的問題：要教給學生怎樣的知識體系；學生的認知起點是什么；學生已經掌握了什么，還要學習什么，學生在課堂上學習的動力是什么；怎樣才能把學生吸引到課堂教學體系中。為了實現這些目標，教師可以在學案中設置一些基礎性的問題，讓學生提前“自組織”地學，如在“數列單調性的應用”教學中呈現如下課前學習任務單：

（三）整體架構，形成“知識網絡”

要想學生能將所學知識納入他們的認知結構，必須對知識進行分類；要想學生能將所學知識內化，必須注重整體建構，使知識點“網絡化”“區別化”。

1.通過提問，引導學生進行知識分類

在本節課開始前，教師可以設置一個問題：“《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱‘新課標）將選擇性必修課程分為幾個主題？‘數列這個單元屬于哪個主題？”師生通過交流、研究新課標，實現系統開放，以此讓學生明白，可以把數列看作是一類特殊的函數。如此，既達到了歸類和整體建構的目的，又把學生的思維悄悄地引導至其熟悉的“函數”地帶。數列既然是一類特殊的函數，我們就可以研究它的定義域、單調性以及特殊之處，“網絡化”“區別化”悄然形成。

2.通過問題串，引導學生進行知識整體架構

布魯納認為，為了保持學生的思維處于非平衡態，教師必須不斷啟發他們自由靈活地思考問題。因此，在時間不長的課堂教學中，教師可以設計三至五個主問題，再在關鍵問題的關鍵處，根據學生的具體情況設計幾個小問題（生成追問），讓不同的學生能夠學會、學好不同的數學知識。如針對本節課可設計如下問題。

問題1：數列這一單元屬于選擇性必修課課程中哪一個主題？

【設計意圖】歸類建檔，整體建構，實現教學系統開放，引出課題。

【設計意圖】問題3學生錯誤率較高，是本節課的難點。教師通過問題設計，引出問題，突破難點，也為學習單中問題4的解決做好鋪墊。

問題5：本節課學了哪些數學知識？體驗了哪些數學思想方法？

【設計意圖】通過學生回答梳理、同學間交流補充、教師點撥分享，讓學生理清思路，形成思維體系，將新學的知識納入原有的認知結構，實現同化或順應。值得說明的是，要想取得好的效果，一定要用規范的數學語言進行表征。形式上可以是學生板書，也可以是學生講、教師板書，但板書一定要清晰、規范。

3.梳理知識網絡，引導學生建構知識

在一章或一個主題的學習前后，教師可以指導學生制作思維導圖或知識網絡圖，使學生對所學知識、方法、數學思想進行分類和識別。如在數列這章的復習中，教師引導學生自己歸納整理，建構如圖1的知識架構和方法架構。

只有整體的知識，才是真正的知識，才是拿起來就能用的知識。梳理是幫助學生實現知識內化的過程，讓學生梳理知識就是創設條件讓學生對所學知識進行“自組織”。

（四）適時點撥，搭建“思維臺階”

新課標指出，在“互聯網+”時代，信息技術的廣泛應用正深刻影響著教育；在數學教學中，信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機交流搭建了平臺，為學習和教學提供了豐富的資源。因此，教師要重視信息技術的運用，優化課堂教學，轉變教師教學和學生學習的方式，實現信息技術與數學課程的深度融合。

“漲落”帶來有序。在教學中，教師應當營造自由、民主的課堂教學氛圍，鼓勵學生大膽提出見解，引導學生深化各種各樣的想法，通過生生之間、師生之間的對話和辯論，在思維的交流與碰撞中閃現出智慧的“火花”。教師在關鍵時、關鍵處，適切點撥，讓處于“憤悱”狀態的學生頓悟，實現學業水平從量變到質變的飛躍。

三、自組織理論觀照下高三數學復習課教學思考

（一）高中數學學科教學尤其需要“自組織”

高中數學的學科特性，決定了它的教與學尤其需要自組織理論的指導。數學是一門特殊的學科，高中數學除了基礎知識、基本技能的教學外，還有等量代換、數形結合、化歸法、換元法等數學思想方法的教學，以及更為基礎的數學基本思想的教學，其中抽象、推理和模型是其三大核心要素。只有通過抽象，才能形成數學的研究對象；只有通過推理，才能有邏輯地得到研究對象的性質以及描述研究對象之間關系的命題和計算結果；只有通過模型，才能用數學所創造的語言、符號和方法描述現實實踐中的故事。［3］上述這些思想、方法的掌握需要學生長期自主的經歷、體驗和感悟，是“他組織”不能替代的。這些思想、方法是數學教學系統的序參量，最容易使學習這個子系統形成非平衡態，也決定了數學教學系統新的平衡態的生成，直接影響著教育教學的效果。所以相對于其他學科的教學，數學教學尤其需要由“他組織”走向“自組織”。

（二）高中數學學科教學如何實現“自組織”

教師必須清醒地認識到，學生是學習的主體，領會和感悟知識、訓練和提高技能、發展和提升能力始終都是學生主動同外部環境相互作用的過程。因此，教學設計應充分考慮學習者的自組織特性，為其自組織提供充分的外部條件，以促進學生的發展。然而，很多時候我們的常態課堂教學完全由教師掌控，學生學習的自我需求得不到滿足，學習的積極性和主動性被大大消解，在很大程度上導致了課堂活動無法推動學生進入“自組織”學習狀態。

筆者試圖給出一般的課堂流程圖，通過臺階搭建、情境創設、網狀建構、教材重組、整體架構、學科整合等辦法，來打破舊平衡，尋找序變量，促進學生在知識、方法和思想等方面的漲落，實現他組織向學生自組織的轉變，最終幫助學生的思想、認知等形成新的平衡，將教的演繹轉化為學的演繹。（見圖4）

（三）高中數學復習課“自組織”課堂的自覺實現

復習課的要義就是將單元知識進行歸類提高，將學科知識進行融會貫通，將學科思想方法進行提煉升華，實現知識的遷移、方法的活用和數學思想的熟練運用，最終實現零散知識的系統化和數學素養的提升。在自組織理論的觀照下，數學復習課要想實現以上要義，必須把握新課標，把準學情，進行教材重組，實現“用教材教”。在課堂實施過程中，教師可以通過收集整理、調控解疑、查漏補缺、點撥提煉和檢測評價等手段，讓學生進行知識梳理、互動交流、獨立自學、主體內化和綜合運用的自組織學習，實現學生對所學內容（包括知識、方法、思想等）的感知、理解、建構、遷移和內化。其流程大致如圖5所示。

五、結語

新的時代背景下，作為一名教師，應實現從過去單一的“線形結構”教學向“網狀結構”教學的轉變，并要進一步提煉為自組織教學法：將“教的推演”（情境刺激、問題導向、臺階構建、整體架構）服務于“學的推演”（學習前置、任務申報、學生主講、質疑補充、引導歸依）實現教與學方式的根本轉變，具體表現為教師的教從“講深講透”向“畫龍點睛”轉變；學生的學從教師“講”明白向自己“悟”出來轉變，從死記硬背、機械訓練向親身體驗、主動參與轉變，從被動接受式學會向主動獲取式會學轉變。如此，學習真正發生，學生學力持續發展，學生學科核心素養得到培養，學生的自我教育得以實現。

【參考文獻】

［1］劉權華.自組織理論觀照下的數學家常課教學——以“二項式定理”起始教學為例［J］.教學月刊·中學版（教學參考），2020（4）：14-18．

［2］李善良.自組織理論視域下的數學教學過程［J］.江蘇教育，2020（7）：22-24．

［3］史寧中.數學基本思想18講［M］.北京：北京師范大學出版社，2016：2.