巧用數(shù)學思想，提升解題效率

何映霞

【摘要】數(shù)學是一門抽象性與邏輯性兼具的學科，考查學生思維和計算能力.在解題中引入數(shù)學思想可簡化題目難度，提升解題效率.教師在教學中不僅要指導學生夯實基礎知識，更要指導掌握數(shù)學思想，提升解題質(zhì)量.

【關鍵詞】初中數(shù)學；數(shù)學思想；解題策略

數(shù)學作為一門重要的工具學科，其重要的教學任務是培養(yǎng)學生的思維能力和綜合素質(zhì)，推動素質(zhì)教育與核心素養(yǎng)的深入發(fā)展.在初中數(shù)學解題中巧用數(shù)學思想可幫助學生簡化解題難度，引導學生體驗不同的數(shù)學知識與解題技巧，提升解題效率.

1 運用分類討論，提升解題效率

1.1 應用分類討論解答函數(shù)問題

二次函數(shù)是初中數(shù)學考查重點，如果學生在解答函數(shù)問題時缺少技巧，必然會陷入困境，無法提升解題效率.再加上二次函數(shù)相關題目涵蓋參數(shù)，故而要求學生運用分類討論思想分析和解決問題.

例1 函數(shù)y=kx2－8x+8圖象與x軸有兩個交點，求k的取值范圍.

上述函數(shù)問題涉及參數(shù)，大部分學生在審題時會率先發(fā)現(xiàn)x軸與函數(shù)圖象有兩個交點，下意識運用Δ>0解答，列出式子Δ=（－8）2－32k＞0，得出k<2.緊接著教師提問：“該函數(shù)必然是二次函數(shù)嗎？”思維敏捷的學生已發(fā)現(xiàn)，字母k才是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)，當k有不同取值時則會對應不同函數(shù).所以，學生針對k=0與k≠0做出以下討論：①當k=0時，原函數(shù)為一次函數(shù)，解析式為y=－8x+8，該解析式圖象與x軸的交點僅有一個，不符題意.②當k≠0時，原函數(shù)為二次函數(shù)，解析式為y=kx2－8x+8，由Δ>0，解得k＜2且k≠0，所以，k的取值范圍即k＜2且k≠0.

學生在解答上述題目時較易遺忘討論函數(shù)解析式二次項系數(shù)是否為0情況，所以，教師總結(jié)道：一個函數(shù)是否為二次函數(shù)的前提條件即二次項系數(shù)是否為0，若二次函數(shù)為含有參數(shù)或參數(shù)式子則需討論是否為0.

1.2 應用分類討論解答絕對值問題

教師在解題教學中需引導學生形成良好的分類討論思想，因為分類討論有其固有原則，只有遵循原則才能避免分類缺乏條理或胡亂分類.在分類中要求每部分相互獨立且根據(jù)一個標準分類，再逐級分類.教師可選取典型或代表題目引導學生分類，絕對值問題是初中代數(shù)重難點之一，教師可選取此類問題引導學生掌握分類討論思想技巧并做出解答.

例2 已知0≤a≤4，簡化|a－2|+|3－a|.

上述題目要求對含有兩個絕對值的式子進行化簡，在0≤a≤4范圍內(nèi)會有不同化簡結(jié)果，故而需分類討論，無法直接化簡.教師設置以下問題：①當a=0，1，2，3，4時，化簡結(jié)果是否相同，若不同，為何？②哪些數(shù)會使兩個絕對值＝0？③若單對|a－2|進行化簡，請問a的取值范圍需幾種情況？④若同時對|a－2|與|3－a|進行化簡，請問需分為幾種情況？學生思考上述問題后發(fā)現(xiàn)，臨界值a=2與a=3是影響化簡結(jié)果的臨界值，所以，此兩個數(shù)將0≤a≤4分為：①0≤a≤2、②2＜a＜3、③3≤a≤4三種情況，故而，解答本題時只需討論上述三種情況即可.為提升解題效率，還可巧用數(shù)軸清晰形象地展示分類；學生在循序漸進的提問中會發(fā)現(xiàn)與絕對值有關的分類討論的切入點，為后續(xù)解答復雜抽象的絕對值分類討論問題做好鋪墊.

1.3 應用分類討論解答三角形相關問題

由于等腰三角形為特殊的三角形，導致學生在解決相關問題時陷入困境，對此，教師可指導學生運用分類討論思想掌握高效且正確的解題方式.縱觀歷年數(shù)學考試重點發(fā)現(xiàn)，壓軸題中常見的解題思路即分類討論，學生借助分類討論可高效解題，形成舉一反三思維.針對壓軸題中特殊三角形與四邊形問題都可采取分類討論方式，或運用分類討論思想解答直角三角形存在性問題，即根據(jù)直角頂點不確定性展開分類討論.

在對三角形相似存在分類討論中主要確定已知三角形特征，以等腰三角形分類討論為例，通常可分為以下類型：

1.3.1 遇邊問題可討論

例3 a，b為等腰三角形兩條邊長，且a、b滿足|a－1|+|2a+3b－11|=0，求該等腰三角形周長.

學生對于上述題目可先根據(jù)絕對值非負性列式解出a=1和b=3，隨后求解三角形周長，由于題目未明確指出底邊與腰，故而需分類討論：（1）a為底邊時，三邊分別為3，3，1，且周長為7；（2）若底邊為b，則三邊為1，1，3，且周長為5.大部分學生認為此題目答案為5或7.教師讓學生思考以下問題：上述兩種情況下的邊長是否可構(gòu)成三角形？部分思維敏捷學生已獲知，三邊為1，1，3時無法構(gòu)成三角形.從上述可總結(jié)，只有三角形兩邊之和大于第三邊才能構(gòu)成三角形.

1.3.2 遇角問題可討論

例4 已知等腰三角形一個內(nèi)角為70°，求三角形另兩個角.[HT]

上述題目并未說明已知角究竟為底角還是頂角，需采取分類討論，將已知角分為底角與頂角后再運用三角形定理與內(nèi)角和計算.

1.3.3 遇中線問題可討論

例5 一個等腰三角形腰上中線將三角形分為了兩個周長分別為9厘米與12厘米部分，求三角形腰與底.

針對上述問題需作圖分析，之后再通過分類討論明確9厘米與12厘米為等腰三角形上下哪部分；若9厘米為上部分，則假設腰與底邊為未知數(shù)并列出方程，求得腰為6厘米，底邊為9厘米，若上部分為12厘米時，則求得底邊為5厘米，腰為8厘米.

2 運用轉(zhuǎn)化思想，提升解題效率

轉(zhuǎn)化思想即在分析和解決數(shù)學問題時借助聯(lián)想、轉(zhuǎn)換、歸納等方式將未知轉(zhuǎn)為已知，簡化抽象復雜問題，促使順利解題.學生借助轉(zhuǎn)化思想不僅能提升解題效率，還可掌握處理其他問題技巧，為全面發(fā)展奠定基礎.轉(zhuǎn)化思想應用可促使學生從抗拒和厭煩解題轉(zhuǎn)至帶有興趣探究，切實體驗數(shù)學解題特有的樂趣與魅力，所以，初中數(shù)學教師可從以下方面應用轉(zhuǎn)化思想，提升解題效率.

2.1 直接轉(zhuǎn)化

所謂直接轉(zhuǎn)化，即運用對應數(shù)學理論與公式將復雜抽象題型轉(zhuǎn)至學生廣泛熟知的知識，促使其梳理解題思路.教師在教學中應著重講解數(shù)學理論與公式并指導其深入理解，并應用知識分析和解決問題.

例如 在計算圓形內(nèi)接多邊形角度題目時，數(shù)學教師先讓學生回顧之前所學相關定理與公式，如同一弦所對圓周角及圓的內(nèi)接四邊形對角和為180°，旨在讓學生轉(zhuǎn)化角度計算方式，將多邊形連接對角線并形成四邊形，最后將內(nèi)角計算轉(zhuǎn)至學生熟悉計算部分，提升解題效率.

2.2 降次轉(zhuǎn)化

學生在解答方程式問題中難免需解決高次方程組問題，部分學生因未理解和掌握解答高次項式方法而面臨較大困難，直接解答更不知從何下手，對此，教師可指導學生運用降次轉(zhuǎn)化思想，將原有方程轉(zhuǎn)至學生可計算內(nèi)容，促使學生高效運用已學知識對計算方式行降次轉(zhuǎn)化，由此一來，學生在未來解題中面臨相同題目即可采取降次轉(zhuǎn)化處理方式處理高次項式.

例6 b是方程x2－x－1=0的一個根，求b3－2b2+2021的值.

由于x2－x－1=0的根相對復雜，學生計算三次方難度較大，再加上此題考查學生是否會轉(zhuǎn)化多項式，所以，教師在解題教學中即可指導學生對題目進行降次與變形處理.具體解答如下：先將x2－x－1=0轉(zhuǎn)為x2－x=1，再將b3－2b2+2021轉(zhuǎn)為b3－b2－b2+2021，緊接著將b3－b2－b2+2021轉(zhuǎn)化為b（b2－b）－b2+2021，之后將b2－b=1代入其中可得b－b2+2021，最后將b－b2+2021轉(zhuǎn)換為－1（b2－b）+2021，代入后可順利得出結(jié)果2020.

2.3 換元轉(zhuǎn)化

初中數(shù)學解題常見方式之一即換元轉(zhuǎn)換，教師在教學中需讓學生明確換元轉(zhuǎn)換法在解題中扮演重要角色，指導學生化繁為簡，更要強調(diào)換元中的等價性，保障順利換元后不會使原式數(shù)學定義發(fā)生變化.

例7 已知，a＞b＞0，3a+2b+1a－b=0，求ab的值.

原題中并未出現(xiàn)ab，必然無法直接換元，對此，教師指導學生轉(zhuǎn)化原式并從中得出ab，為后續(xù)解題奠定基礎.如，根據(jù)3a+2b+1a－b=0條件將式子兩邊與ab（a－b）相乘，即可將式子轉(zhuǎn)化為3b（a－b）+2a（a－b）+ab=0，整理式子后得2a2+2ab－3b2=0，兩邊同時除以b2后變?yōu)?a2b2+ab－3=0，此時，式子已具備換元條件，學生看到熟悉計算式子后直接運用n=ab換元，最后圍繞題目要求解答一元二次方程式.

2.4 數(shù)形轉(zhuǎn)化

函數(shù)是初中數(shù)學重難點之一為，良好的數(shù)形轉(zhuǎn)化是教學不可缺少的組成部分，即協(xié)助學生將文字、代數(shù)轉(zhuǎn)至直觀形象圖形，再從圖形中獲取解題思路.教師在教學中指導學生將抽象復雜方程問題轉(zhuǎn)至函數(shù)圖象問題并以交點形式梳理解題思路，提升學生解題效率.

例8 圖1中的△ABC與函數(shù)y=kx均處于第一象限，△ABC與函數(shù)圖象間存在交叉重合范圍，求k的取值范圍.

上述題目對于學生而言屬于中等難度，學生在解題中可借助之前所學反比函數(shù)分析已知條件，當k>0，k值越大，函數(shù)圖象則與y軸越來越偏離，觀察圖形可知，A點位于函數(shù)圖形左邊臨界，右邊僅在BC邊與函數(shù)圖形相交才能順利解題.對此，教師可指導學生將問題從幾何圖形相交問題轉(zhuǎn)至函數(shù)交點，根據(jù)A點、B點、C點坐標獲得三角形每條邊函數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)相交方程有解問題，順利解答.

3 運用整體思想，提升解題效率

整體思想在數(shù)學解題中發(fā)揮重要作用，可以說貫穿整個數(shù)學教學，也是后續(xù)高中數(shù)學重難點.所以，中考數(shù)學命題將整體思想作為重點，更是數(shù)學教師深入剖析的數(shù)學思想之一.所謂整體思想即在解題過程中運用集中眼光對研究對象的全部或一個部分進行研究并將其視為整體，準確把握條件與問題間緊密聯(lián)系，達到高效整體化處理問題.整體思想強調(diào)全局觀念.具體應用如下.

3.1 在解答代數(shù)式求值類問題應用整體思想

歷年中考重點題型之一即代數(shù)式求值類問題，大部分學生都習慣性逐一解答后再代入求值進行解答，然而此方式計算量較大，學生十分容易因為解題過程繁瑣造成計算錯誤，降低解題效率.運用整體思想將問題條件或結(jié)論看做整體后展開等價代換，明確問題本質(zhì)，提升解題效果.

例9 當a+b=5，ab=2，求代數(shù)式3a+5ab+3b值.

解析 如果在解答上述題目時從局部解出a與b的值，之后代入求值則需解二次方程，解題過程繁瑣，計算量大，較易失誤.深入觀察該題目代數(shù)式3a+5ab+3b結(jié)構(gòu)，即可得到代數(shù)式3（a+b）+5ab，最后用整體代入計算可順利獲得答案.

3.2 在解答方程組或不等式應用整體思想

例10 某工廠預計采購A、B、C三種貨物，如果購進4件A貨物，3件B貨物，2件C貨物，花費32元；如果購進2件A貨物，3件B貨物，4件C貨物，花費28元，當前工廠預計購買A、B、C三件貨物各1件，共花費多少元？

解析 上述題目情境相對簡單，運用常規(guī)思路即可一一求出A、B、C三種貨物，但從題目提供兩個等量關系無法順利解題，可運用整體思想將A、B、C看作一個整體，即可順利解題.

4 結(jié)語

總之，數(shù)學思想是數(shù)學學科不可缺少的組成，在發(fā)展學生思維能力以及提升教學效率方面發(fā)揮著重要作用.初中數(shù)學教師指導學生掌握數(shù)學思想可簡化題目難度、梳理解題思路、提升解題效率，為更高層次數(shù)學學習奠定基礎.

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