融入課程思政的導數概念教學設計

黃金銘 杜蒙

［摘? ? ? ? ? ?要］? 以高等數學中導數的概念為例，旨在探究融入課程思政導數概念的教學設計。通過實際案例創設兩個問題情境：速度問題和切線問題，歸納其共性，得到導數的概念。在講解數學知識的同時，自然融入愛國情懷、唯物辯證主義等思政元素，從而達到價值引領、能力培養與知識傳授相統一。

［關? ? 鍵? ?詞］? 課程思政；導數的概念；教學設計

［中圖分類號］? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ［文獻標志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ［文章編號］? 2096-0603（2023）08-0041-04

一、引言

2020年5月，教育部印發《高等學校課程思政建設指導綱要》（以下簡稱《綱要》），指出“立德樹人的成效是檢驗高等學校教育工作是否達標的根本標準”，強調“公共基礎課程在傳授學生知識、培養學生能力的同時，應潛移默化地幫助學生構建正確的核心價值觀，提高學生的道德素養，從而幫助學生實現自我發展”[1-2]。高等數學作為一門公共基礎課程，應嚴格貫徹落實《綱要》對公共基礎課程所提出的要求，深入挖掘思政元素，在傳授專業知識的同時，自然融入課程思政，承擔好其教書育人的職責。

高等數學最主要的研究內容是微積分，而導數是微積分的核心概念之一，是微積分學中解決各種問題的工具，也是學生必須要掌握的基礎知識。為了讓學生理解并掌握導數所蘊含的思想，而不是機械地背誦記憶導數的定義，本文從課程思政的角度對導數的概念教學環節進行設計研究。本次教學設計采用“問題教學法”“啟發式教學法”等多種教學方法，結合學習通、高等數學課程思政在線課程和微信公眾平臺等多種教學平臺，由應用案例創設情境，通過設計層層遞進的問題，引出知識點，全程以問題為中心，引導學生提出問題、分析問題、解決問題，從而實現知識的掌握。

二、教學設計思路

2021年東京奧運會男子100米半決賽中，中國選手蘇炳添以9秒83的成績成功闖入決賽并打破亞洲紀錄，成為電子計時時代第一位闖入奧運百米決賽的亞洲選手[3]。本節課通過蘇炳添比賽過程中的速度問題創設情境：如何計算變速直線運動的瞬時速度？通過分析速度問題，引導學生得出平均速度與瞬時速度的關系，進而建立瞬時速度的數學模型。

高鐵是我國創新能力的一面旗幟，也是中國名片。從中國高鐵具有高穩定性的特點出發，設問：如何計算高鐵運行時所經彎道的切線斜率？引導學生從生活中發現數學并一步步探索，感悟數學在實際生活中的應用之廣泛。問題本身就是思政元素，既能思政，又引出了即將講述的課程重點知識——切線斜率。通過分析斜率問題，引導學生得出割線斜率與切線斜率的關系，進而建立切線斜率的數學模型。

最后介紹上述兩個問題的產生背景，早在十七世紀，它們就分別由數學家牛頓和萊布尼茨進行系統地研究，由這兩個問題及解決相關問題而發展起來的數學理論稱為微分學[4]。歸納兩個引例的共性，得到本節課的重點——導數的定義。本節課的教學設計堅持育人為本，將立德樹人的根本任務融入課堂教學，將思政育人貫穿始終。課前溫故知新，自主預習環節，結合微積分學發展歷程，引出本節課所學習的主要思想，體會數學家追求科學道路的艱辛，培養學生堅韌的意志，傳承科學家的奉獻精神。課中設疑啟思環節，結合運動員蘇炳添背景引出變速直線運動瞬時速度的計算，激發學生的學習興趣，增強學生的愛國意識；課中深度學習環節，通過學習導數的幾何意義，使學生認識數學來源于生活，也應用于生活。課后拓展環節引導學生思考導數思想在醫學中的應用，通過探討導數在醫學方面的應用及相關科技前沿發展動態問題，激發學生的愛國情懷，培養學生勤于思考、勇于探索的科學精神。本節課的思政融合如圖1所示。

三、教學實施

（一）教學設計

1.本節作用

導數是微積分的核心概念之一，是微積分中解決各種問題的工具，也是學生必須要掌握的基礎知識。導數是一種特殊的極限，它反映了函數變化的快慢程度。導數是求函數的單調性、極值、曲線切線以及最優化問題的工具，在各個領域都有廣泛的應用，是開展科學研究必不可少的工具。

學習導數的定義之前，學生已經學習了極限的定義，左、右極限的定義，極限與左、右極限存在的關系，十分利于本課開展單側導數的學習。同時，理解導數的定義也為下一步學習微分打下良好基礎，故本節課起到了承上啟下的作用。

2.學情分析

本次教學授課對象為醫學院校高職高專二年級學生，在以往的教學中，學生已經基本掌握了極限的相關理論：極限的定義、極限的性質、極限的計算等。通過中學時期的學習，學生已經較好地掌握了函數的平均變化率，及物理學中的平均速度、瞬時速度，積累了大量關于函數變化率的經驗。二年級的學生思維較為活躍，并具有一定的歸納、概括、類比、抽象思維能力。

3.教學目標

知識目標：了解導數產生的實際背景，理解導數的定義，理解單側導數的定義。掌握函數在一點處導數的計算方法。

能力目標：通過實例—速度—變化率的抽象過程，培養學生觀察、分析、比較、歸納與類比的數學思維能力，使學生掌握從特殊到一般，由具體到抽象的思維方法。通過觀察由平均變化率到瞬時變化率的“逼近”過程，體會極限的思想方法。

素質目標：微積分在漫長時期的發展歷程是幾代人奮斗的結果，體現了人類智慧的高度文明，反映了數學發展的辯證規律，使學生感受微積分的形成與發展，更好地把握導數的產生背景。通過介紹數學家牛頓、萊布尼茨、柯西和維爾斯特拉斯為微積分發展所作的貢獻，鼓勵學生克服困難，不斷鉆研探索。通過引入蘇炳添奧運會實例，滲透愛國主義教育，激勵學生的民族自豪感，增強學生的責任意識。通過導數概念中一系列的探究合作活動，使學生進一步認識合作學習的意義，增強學生的合作交流意識與能力。

4.教學重難點

教學重點：理解導數所蘊含的數學思想，掌握函數在一點處導數的計算方法。

教學難點：從具體實例到導數定義的提煉過程。

（二）課前預習

教師利用學習通發布本節課預習任務，學生登錄學習通平臺，接收學習資料，于課前完成任務，在線留言知識點疑難部分。

任務一：完成函數的極限，左、右極限相關測試。

任務二：自主學習，預習本課知識點并完成相應習題練習。

任務三：觀看微積分學的發展歷程相關視頻，了解微積分學的發展歷程。

（三）教學過程

1.創設情境，引入新課

引例1 變速直線運動的瞬時速度

首先播放2021年東京奧運會中國田徑運動員蘇炳添百米半決賽比賽視頻引入新課：2021年8月1日晚，蘇炳添選手在男子百米半決賽中以9秒83的個人歷史最好成績晉級決賽，創造了新的亞洲紀錄，成為史上第一個跑入奧運會男子百米決賽的黃種人！展示了中國速度！賽后數據顯示，蘇炳添選手沖線時的瞬時速度高達42 Km/h。通過視頻激發學生學習興趣的同時，引導學生思考該視頻的內涵，增強學生的“四個自信”。結合視頻，提出下列三個問題。

問題一：蘇炳添在比賽過程中是勻速直線運動還是變速直線運動？

問題二：如何計算蘇炳添比賽過程的平均速度？

問題三：如何計算蘇炳添沖線時刻的瞬時速度？

首先由學生自行解決較為簡單的問題一和問題二，蘇炳添比賽時跑步速度發生變化，因此蘇炳添選手比賽過程是變速直線運動。根據物理學知識，平均速度等于所經過的路程÷花費時間，故蘇炳添比賽過程中的平均速度為≈36.7 Km/h。關于問題三，賽后數據顯示，蘇炳添選手沖線時的瞬時速度達到42 Km/h。然而，瞬時速度是如何得出的呢？進而引出本次課的引例1——如何計算變速直線運動的瞬時速度。

設某質點作變速直線運動，設此質點的運動規律為s=s（t）.如何計算時刻t0的瞬時速度呢？首先，在直線上引入原點，使直線成為數軸。若t0為某一確定的時刻，則此質點從時刻t0運動到臨近的時刻t0 + Δt的過程中，質點運動的位移是Δs=s（t0 + Δt）-s（t0 ），因此，根據物理學知識，在時間段t0到t0 + Δt內，質點的平均速度是運動的位移與時間的比值，即v==。若Δt越小，平均速度與這一時刻的瞬時速度就越來越接近，即隨著Δt無限接近于0，平均速度v就與瞬時速度v越來越接近，即瞬時速度v就是當Δt趨于0時，平均速度的極限，v==。

通過設計由淺入深、由易到難、層層遞進的問題，啟發學生思考，逐步推進，不斷歸納概括，得出結論：變速直線運動中，某一時刻t0的瞬時速度是當t趨于t0時平均速度的極限。

引例2 曲線任意一點處的切線斜率

首先播放近年來我國高鐵飛速發展歷程的視頻：近年來，中國高鐵飛速發展，成為我國一張靚麗的名片。中國高鐵從無到有，并由“追趕者”一躍成為世界鐵路的“領跑者”，見證著中國綜合實力的飛躍。其中，高鐵的平穩運行離不開優質的軌道設計，而設計彎道時必須考慮彎道的切線斜率，那么如何計算高鐵彎道任意一點處的切線斜率呢？進而引出本次課的引例2——曲線在任意一點處的切線斜率。

中學數學將與圓只有一個交點的直線稱作切線，但是這個定義不再適用于任意的曲線。因此，首先給出切線更一般的定義：設曲線y=f（x）在點P0處作與曲線相交的割線P0 Q，當Q沿著曲線趨于點P0時割線P0 Q極限位置的直線l存在且唯一，稱l為曲線y=f（x）在P0處的切線。為了計算點P0處的切線斜率，取Q是曲線上附近的一動點，做割線P0 Q，則割線斜率為。動點Q沿曲線趨向于定點P0，從而割線也隨之變動而趨向于切線，此時割線P0 Q的斜率趨向于切線的斜率，即切線斜率就是割線斜率的極限k=。

2.追根溯源，介紹背景

16世紀初期的歐洲，科學開始萌芽，生產力迅速發展，為滿足社會需要，物理學、天文學等自然學科得到了大力發展，而這些學科與數學密不可分，因此數學也得到了大力發展。17世紀，許多科學問題亟待解決，可歸結為四大類型：（1）變速直線運動的瞬時速度問題。（2）曲線的切線問題。（3）最值問題。（4）曲邊圖形的面積問題。上述問題促進了微積分學的產生。為了解決上述問題，許多著名的數學家、物理學家等作了大量的工作。17世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國數學家牛頓從物理問題出發，德國數學家萊布尼茨從幾何問題出發，分別給出了導數的概念。接下來介紹牛頓和萊布尼茨。牛頓從運動學問題入手，建立了“正流數術”，即微分；從確定面積的變化率出發，通過反微分計算面積，發明了“反流數術”，即積分；并通過揭示微分與積分的互逆關系論述了微積分學基本定理。萊布尼茨是卓越的語言學家，他創設的微積分符號一直沿用至今。

通過介紹導數的歷史背景，讓學生了解導數的發展歷程，學習數學家不斷創新，堅持探索的精神，并明確基礎理論的重要性。

3.尋找共性，概念精講

上述兩個引例，一個來源于物理情境，一個來源于幾何情境，摒棄具體意義，尋找其在數量關系上的共性，進而得到本節課的知識點——導數的概念。

設函數y=f（x）在點x0的某鄰域U（x0，δ0）內有定義，x0 + Δx∈U（x0，δ0），相應的函數增量Δy=f（x0 + Δx）-f（x0），若=存在，則稱函數f（x）在點x0處可導，并稱此極限為f（x）在點x0的導數，記作f ′（x0）。若上述極限不存在，則稱函數f（x）在點x0處不可導[5]。

4.解決問題，培養能力

經過上面的學習，學生已經掌握了導數的背景和定義，那么如何求函數在一點處的導數呢？根據導數的定義可以將求導的步驟分為三步：

5.課堂小結，落實育人

本節課通過介紹導數的概念，將抽象的概念與生活案例相結合，培養學生自主學習能力、數學建模能力和應用導數分析問題、解決問題的能力。同時融入思政元素，中國速度蘇炳添聚焦在百米賽道，不灰心，不屈服；不拋棄，不放棄；刻苦訓練，努力拼搏，永爭第一，從2004年到2021年，一次次向生命的高地發起沖鋒，一回回刷新打破紀錄，成為百米競賽亞洲紀錄的保持者。中國名片高鐵從最初的引進吸收消化再創新，到現在走向世界，在各國基礎設施建設中大放光彩，真正發揮了高鐵其內在的價值和意義。世界高鐵強國，中國當之無愧！

6.課后拓展，推廣應用

為了讓學生感受導數在解決實際問題中的應用，體會導數思想的作用與價值，課后讓學生尋找醫學中存在的類似于導數的模型以及導數在實際生活中的其他應用，引導學生思考導數思想在醫學中的應用，通過探討導數在醫學方面的應用及相關科技前沿發展動態問題，培養學生勤于思考、勇于探索的科學精神。

四、教學反思

通過在教學中運用多種信息化教學手段，激發了學生學習數學的興趣，不但使學生的數學情操得到了熏陶，而且養成了學生關注新聞、關心國家發展的學習習慣。課中學生自主歸納總結，也體現了培養學生的團隊合作能力和人際溝通能力。秉持著“以學生為中心”的教學理念，對于較簡單的內容，可以開展翻轉課堂，提升學生的參與程度。

五、結語

本次教學通過歸納兩個引例的共性引入導數的概念，整個教學過程以案例為中心，以問題為導向，探索實際問題與導數之間的聯系，引導學生從具體到抽象，從特殊到一般，自主歸納導數的定義。通過本次教學，讓學生初步體驗科學研究的過程，掌握導數定義所蘊含的思想，培養學生的自主學習能力和應用導數知識解決問題的能力[6]。

教學過程中，講到引例1速度問題時，融入課程思政素材：東京奧運會上運動員蘇炳添取得的好成績以及由此獲得的榮譽，將枯燥的數學知識與家國情懷進行融合，激發學生的學習興趣，增強學生的“四個自信”。講到引例2切線問題時，通過引入“中國高鐵”，讓學生感受祖國的日益強大，鼓勵學生學習建設者精益求精的工匠精神，將來為祖國建設貢獻一分力量。通過介紹導數的產生背景和微積分學的發展歷程，學習數學史，增加學生對數學文化的了解；了解數學家為數學發展所作出的偉大貢獻，鼓勵學生學習牛頓、萊布尼茨等數學家堅忍不拔的意志。

參考文獻：

［1］教育部關于印發《高等學校思政建設指導綱要》的通知［EB/OL］.（2020-06-01）［2022-12-21］.http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/202006/t20200603_46 2473.html.

［2］劉璐，段澤球，鄭洲順.課程思政在“高等數學”課程教學中的實踐探索［J］.教育教學論壇，2021（52）：117-120.

［3］蘇炳添進百米決賽成中國歷史首人：9秒83破亞洲紀錄［EB/OL］.（2021-08-01）［2022-12-24］.https：//news.mydrivers.com/1/773/773353.html.

［4］劉薇，常振海，高忠社.融入課程思政元素的導數定義教學設計［J］.通化師范學院學報，2021，42（10）：29-34.

［5］同濟大學數學教研室.高等數學：上冊［M］.6版.北京：高等教育出版社，2007：77-86.

［6］廖春艷，劉春梅.可分離變量微分方程的課程思政教學設計［J］.高等數學研究，2022，25（1）：99-101，104.

◎編輯 馬花萍