2023年高考“數列”復習指導

【摘要】數列在新教材中是選修內容，新高考卷對數列的考查一般是一個選擇、一個填空和一個解答題，對邏輯推理、數學運算、數學建模、閱讀理解和遷移運用的能力有較高的要求. 本文通過“高考考向分析”和“知識點與試題”兩個方面，展示數列的核心知識與方法，并與相關內容融會貫通，以便后期加快提高解題能力.

【關鍵詞】高考考向分析；知識點與試題；預測

12023年高考考向分析

從2022年的高考試卷中不難發現，高考對數列的考查主要是數列的性質、通項、求和、最值、遞推式數列、數列的證明、與數列有關的大小關系比較、數列文化題，以及與相關知識的交匯題，試題具有知識點多、覆蓋面廣、綜合性強的特點.隨著新課標的出臺和新課程的實施，近幾年的高考和模考，對數列內容的考查很好地體現了新課程理念和邏輯推理、數學運算、數學建模等數學核心素養，充分顯示了能力要求和學科素養. 結合《中國高考報告2023》［1］，參考近幾年數學試題命制規律，預測2023年的高考對數列的考查應該主要體現在以下幾個方面：一是數列的函數特性；二是數列的通項公式；三是數列的求和；四是數列中的不等關系；五是新定義型數列和與相關知識的交匯.試題往往以低中檔題為主，難題較少，著重考查數列的核心知識、方法與思想，是高考經久不衰的考查內容.

2知識點與試題

2.1單選

試題1已知數列{an}是等差數列，公差d不為零，前n項和為Sn，且a2，a5，a7成等比數列，則（）.

A.a1d>0，dS6>0 B. a1d>0，dS6<0

C. a1d<0，dS6>0D. a1d<0，dS6<0

答案：D.

試題2已知等比數列{an}的公比為q，且a4=1，則下列選項中正確的是（）.

A．a2+a6≤2? B. a3+a5≥2

C. 1a1+1a7=a1+a7D. a6－2a5+1≤0

答案：C.

試題3數列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數列，是由十三世紀意大利數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數列”.該數列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和．記該數列{Fn}的前n項和為Sn，則下列結論中正確的是（ ）.

A．S2020=F2022+1B．S2020=F2022－1

C．S2020=F2021+1D．S2020=F2021－1

分析本題考查累加法.

答案：B.

試題4在等差數列{an}中， a1>0，3a8=5a13， 使Sn最大的n的值是（）.

A．21B．20C．19D. 18

答案：B.

試題5設n∈N*，xn是曲線y=x2n+1+1在點（1，2）處的切線與x軸交點的橫坐標，則xn=（）.

A．2n－12n+1? B．2n+12n－1

C．－2n+1 D．2n－1

答案：A.

試題6設數列｛an}的前n項和Sn=12n2+12n. 若bn=an+2anan+1·2n，則{bn}的前n項和Tn=（）.

A．Tn=1－1n·2n

B．Tn=1－1（n+1）·2n+1

C．Tn=1－1n·2n+1

D．Tn=1－1（n+1）·2n

分析本題一是考查數列的通項公式；二是考查拆項求和法.

答案：D.

試題7數列{an}滿足a1=1，an+1=a2n+2an，則使得an+1>2023的最小正整數n的值為（）.

A.4B.5C.6D.7

分析本題考查遞推型數列的通項，解題關鍵是取對數構造出等比數列.

答案：C.

試題8在數列{an}中，已知an>2，a1=2000，且an+1=an·ann+12. 則an與2·103n（n∈N*）的大小關系是（）.

A.an<2·103n B. an≤2·103n

C. an>2·103nD.an≥2·103n

分析本題一是考查遞推型數列的單調性；二是考查不等式的放縮；三是考查累乘法.

答案：B.

2.2多選

試題1已知數列{an}是公差不為零的等差數列，其前n項和為Sn，若對任意的n∈N*，都有Sn≤S4，則a5a6的值可能為（）.

A．2B. 12C. 13D. 34

答案：BC.

試題2設b∈R，數列{an}的前n項和Sn=3n+b，則（）.

A.{an}是等比數列

B.{an}是等差數列

C. 當b=－1時，{an}是等比數列

D. 當b≠－1時，an=3+b，n=1，

2·3n－1，n≥2.

分析本題考查等比數列的判定和通項公式.

答案：CD.

試題3數列{an}滿足：a1=1，a1+a2+a3+…+an－1=4an（n≥2），則下列結論中正確的是（）.

A.a2=14B.an+1=54an，n≥2

C.{an}是等比數列

D.a1+a2+a3+…+an=54n－1，n∈N

分析本題一是考查數列的函數特征（賦值法）；二是考查等比數列的判定；三是考查數列的求和.

答案：ABD.

試題4已知等差數列{an}滿足a21+a24=1，則a2+a3的可能取值為（）.

A.－3B.－2C.1D.32

分析本題一是考查等差數列的性質；二是考查三角代換；三是考查基本不等式.

答案：BCD.

試題5已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=2，且Sn=2Sn－1+n－1（n≥2），則下列結論中正確的是（）.

A.an>Sn－1B. {an+1}是等比數列

C. Sn<2anD. Sn2n是遞增數列

分析本題一是考查遞推數列的性質；二是等比數列和遞增數列的判定；三是考查數列關系式的大小比較.

答案：ACD.

試題6已知0＜a＜1，Sn是等差數列{an}的前n項和， 則a2Sn+1與aSn·aSn+2的大小關系可能是（）．

A.a2Sn+1>aSn·aSn+2B. a2Sn+1=aSn·aSn+2

C.a2Sn+1

分析本題考查作差比較法和分類討論法.

答案：ABC.

2.3填空

2.3.1一題一空

試題1在等差數列{an}中，a1>0，S4=S13.當n=時，Sn取到最大值.

答案：8，9.

試題2在數列{an}中，nan+1-（n+1）an=1（n∈N*），且a1=1，則通項an=.

分析本題考查遞推型數列的通項，解題關鍵是先變形為an+1－an=f（n）的形式，再累加.

答案：2n-1，N∈N*.

試題3設數列{an}的前n項和為Sn，a1=2，且3Sn=（n+t）an（n∈N，t∈R），則Sn=.

分析本題考查遞推型數列的通項，先求參數t，再用累乘法求Sn.

答案：n（n+1）（n+2）3.

試題4在數列{an}中，2an=1an－1+1an+1（n≥2，n∈N），且a2=23，a4=25，則a10=.

分析本題考查等差數列的意義.

答案： 211.

試題5已知數列{an}的前n項和Sn=2an－2n+1，若不等式2n2－3n－5<（λ－3）an對任意的n∈N*恒成立，則整數λ的最小值為.

分析本題一是考查數列的函數特性；二是考查構造等差數列法；三是考查恒成立數列不等式的參數范圍.

答案：4.

試題6數列{an}的通項公式為an=（2n－1）sinnπ2+1（n∈N），其前n項和為Sn，則S23=.

分析本題考查既非等差又非等比，但具有周期性的數列求和問題，解題關鍵是尋找其周期性變化規律.

答案：－1.

試題7某空調制造廠用若干臺效率相同的機械組裝空調. 若所用機械同時開動則需24小時完成某項任務；若一臺接一臺地開動，每相鄰兩臺啟動時間間隔都相同，那么到完成該項任務時，第一臺的工作時間是最后一臺的7倍，則最后一臺工作的時間是小時.

分析本題考查等差數列的實際應用和建模思想.

答案：6.

試題8著名科學家牛頓用“作切線”的方法求函數的零點時，給出了“牛頓數列”，它在航空航天中應用廣泛.其定義是：對于函數f（x），若數列{xn}滿足xn+1=xn－f（xn）f′（xn），則稱數列{xn}為牛頓數列．已知函數f（x）=x2－1，數列{xn}為牛頓數列，an=lnxn+1xn－1，且a1=1，xn>1，則a8=.

分析本題一是考查對新定義數列的閱讀、理解和遷移能力；二是考查運算變形水平.

答案：128.

試題9在①Sn=n2+n；②a3+a5=16且S3+S5=42;③bn+1bn=n+1n且S7=56這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并加以解答.

設等差數列{an}的前n項和為Sn，{bn}是等比數列， ，b1=a1，b2=a1a22，求數列1Sn+bn的前n項和為Tn.

分析本題屬于條件開放性問題，是新課程的亮點.其實質是要確定數列{an}，能有效考查思維的批判性、流暢性和深刻性.條件③中的bn+1bn=n+1n，顯然與{bn}是等比數列矛盾，不予考慮.只要思考①②即可.

答案：①或②；Tn=2n+1-1n+1-1.

試題10在公差為d（d≠0）的等差數列{an}中，若Sn是{an}的前n項和，則數列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數列，且公差為100d，類比上述結論，相應地在公比為q（q≠－1）的等比數列{bn}中，.

分析本題考查從等差數列向等比數列的類比，有思維深度.

答案：若Tn是{bn}的前n項和，則數列T20－T10，T30－T20，T40－T30也成等比數列，且公比為q10.

2.3.2一題兩空

試題1已知數列{an}的前n項和為Sn=3·2n+1（n∈N），則數列{a2n}的通項公式是，其前n項和為.

答案：a2n=6·4n－1，Sn=2·4n－2.

試題2已知Sn是各項均不為零的等差數列{an}的前n項和，且S2n－1=a2n（n∈N），則數列{an}的通項公式an=；若存在n∈N，使不等式1a1a2a3+1a2a3a4+1a3a4a5+…+1anan+1an+2≥14n2+12nλ成立，則實數λ的最大值是.

分析本題一是考查等差數列的性質；二是考查拆項求和法（分母是三項的積）；三是考查能成立數列不等式的參數范圍.

答案：2n－1;445.

試題3在等比數列{an}中，a27=a9且a8>a9，則公比q的取值范圍是 ；若∑ni=1（ai－1ai）>0，則n的最大值是.

分析本題一是考查等比數列的性質；二是考查恒成立不等式.

答案：0

試題4設等比數列{an}的公比為q，前n項和Sn>0（n=1，2，…）.則q的取值范圍是 ；若bn=an+2－32an+1，公比q>2，且{bn}的前n項和為Tn，則Tn與Sn的大小關系是TnSn（填>，<或=）.

分析本題一是考查等比數列求和公式和對公比q的分類討論；二是考查作差比較法.

答案：（－1，0）∪（0，+∞）；>.

2.4大題

試題1在正項數列{an}中，已知an+1=an+mann+12，且m>0. 若對任意n∈N，都有an≤nn+1成立，有且僅有一個n使等號成立，求{an}中項的最小值和m的值.

分析本題一是考查數列{an}的單調性；二是考查累加法求an滿足的不等式；三是考查數列恒成立不等式.

試題2已知數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=an+n2，其中n∈N*.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設bn=（－1）nan+2n，求數列{bn}的前2n項的和T2n.

分析 本題一是考查遞推數列的函數觀點求通項；二是考查并項求和法，注意奇偶討論.

試題3設數列{an}的前n項和為Sn，且a2n－2Sn·an+1=0，an>0（n∈N）.

（1）求an和Sn；

（2）若n≥3，證明：1S21+1S22+…+1S2n>21－12n.

分析本題一是考查遞推數列的函數觀點求通項；二是考查和式不等式的證明，注意轉化思想的運用.

試題4在正項數列{an}中，a1=1，a5=16.函數f（x）=a2n+1x－anan+2（cosx+sinx），其中n∈N，且滿足f′（0）=0.

（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列{nan}的前n項和Sn.

分析本題一是考查等比數列的意義，利用f′（0）=0得到遞推關系式；二是考查錯位相減法求和.

試題5設數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且對任意正整數n，點（an+1，Sn）都在直線2x+y-2=0上.

（1） 求數列{an}的通項公式；

（2）是否存在實數λ，使得數列Sn+λ·n+λ2n為等差數列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

分析本題一是考查遞推數列的函數觀點求通項，利用點（an+1，Sn）在直線上得到遞推式；二是考查等差數列的意義和性質，利用前三項成等差數列求出實數λ，再代回檢驗，或直接利用等差數列的充要條件an=pn+q.

試題6對于正項數列{an}，定義An=na1+2a2+3a3+…+nan（n∈N） 為{an}的期望值. 是否存在數列{bn}，其期望值是2n+2？若存在，求出數列{bn}的通項；若不存在，請說明理由.

分析本題考查閱讀理解遷移能力，從假設存在出發，探究是否能找到符合條件的數列{bn}.

試題7已知函數f（x）定義在區間（－1，1）內，f12=－1，且當x，y∈（－1，1）時，恒有f（x）－f（y）=fx－y1－xy.數列{an}滿足：

a1=12，an+1=2an1+a2n，

bn=1f（a1）+1f（a2）+…+1f（an）.

（1）求證：f（x）在（－1，1）內為奇函數；

（2）求f（an）的表達式；

（3）是否存在自然數m，使得對任意n∈N*，都有bn<14（m－8）成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由.

分析本題一是考查奇函數的定義；二是考查抽象函數中的賦值法（在抽象函數關系式中賦數列的通項an）；三是考查數列中的恒成立不等式（先求和式bn，再處理恒成立不等式）.

參考文獻

［1］中國高考報告學術委員會.中國高考報告2023[M].北京：新華出版社，2023.

作者簡介

李昭平（1963—），男，中學正高級教師（3級）， 安徽省數學特級教師，安徽省太湖中學副校長，安慶市數學會副理事長，安慶市城鎮卓越教師班（理科）導師；主要從事高中數學教育教學研究；發表論文580余篇；省內外進行名師交流講座190多場.