“畫數學”：提升學生數學學習力的“形象支撐”

張艷　吳志堅

［摘? 要］ “畫數學”是學生數學學習的一種重要方式。引導學生“畫數學”，用多樣化的圖表、圖式、圖形表征數學概念、關系等，能有效地提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。在小學數學教學中，教師要引導學生“畫題意”“畫意義”“畫推理”“畫模型”等，促進數學課程的開發和學生的數學學習?！爱嫈祵W”彰顯著學生數學學習的本質力量，是學生生命實踐智慧的確證與表征。

［關鍵詞］ 小學數學；畫數學；學習力；形象支撐

數學是一門抽象化、理性化、形式化的學科，而小學生的數學思維卻是直觀的、具體形象的。如何有效地引導學生理解抽象的、形式化的數學知識？筆者在教學實踐中應用“數學畫”這樣一個形象化、直觀化的載體、媒介，助推學生的數學理解、數學建構和數學應用。在數學教學實踐中，筆者一直堅持將抽象的問題“直觀地教”，將復雜的問題“形象地教”的原則?！皵祵W畫”是學生數學學習的有益支撐，也是學生數學學習的“潤滑油”“催化劑”，能讓學生的數學學習事半功倍［１］。教師要由淺入深、循序漸進地引導學生“畫數學”。實踐證明，引導學生“畫數學”，用多樣化的圖表、圖式、圖形表征數學概念、關系等，能有效地提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

一、畫題意：讓問題得到表征

教材中的相關數學習題，往往是以“文字”“符號”等形式呈現的。對于“文字”和“符號”，小學生天生就有一種不適應的心理，這是因為文字、符號等都是抽象化、理性化、形式化的。借助于“畫數學”，將抽象的文字、符號等變為形象化、直觀化的圖形，就能促進學生對題意的理解，進而有助于學生建立題意在頭腦中的心理表征。“畫數學”是數學可視化教學的一種方式，它能讓題目的含義變得觸手可及。畫題意的方式有很多種，比如可以畫線段圖、實物圖、示意圖、思維導圖等。借助于“畫數學”，教師可以使學生的數學學習更加個性化、自主化。

“畫題意”不僅要畫出題目，而且要畫出題目中蘊含的相關知識的本質，揭示題目中蘊含的知識的關聯。比如，教學“解決問題的策略——假設”中的“雞兔同籠”問題，雞和兔一共有8只，它們的腿一共有22條，雞有幾只，兔有幾只？在這樣的一個問題中，由于未知量有兩個，對學生來說富有一定的挑戰性。教學中筆者引導學生畫圖：有學生畫了8個小圓圈表示8只小動物，然后在每一個小圓圈下面畫上兩點，表示給每只小動物裝上兩只腳，最后發現一共畫了16條腿，而題目說一共有22條腿，這樣就少畫了8條腿。那么，這8條腿是誰的呢？顯然是兔子的。由于每只兔子少畫了2條腿，而總共少畫了8條腿，所以一共就有4只兔子。這樣的一種題意表征的過程，也就是學生對題意進行深入理解的過程。在畫圖的過程中，當學生發現少畫了幾條腿時，自然會思考：“為什么會少畫？”“少畫的腿是誰的？”“一共有多少只這樣的小動物（指兔子）？”一邊畫圖，一邊理解題意，一邊展開分析，這應該是學生數學學習的常態。在這個過程中，學生找到了“假設問題”的解決策略，形成了“假設問題”的一般性的解決問題的思路。通過畫圖，題意就能以直觀、形象的方式呈現出來，問題的本質就會暴露出來，學生就能把握題目中的條件和問題之間的關聯。

“畫題意”是學生解決實際問題的第一步。在數學教學中，“畫題意”能讓題目中復雜的關系簡單化，能讓陌生的關系熟悉化，能建立起新舊知識的關聯，能打開學生的數學思維和想象之門?！爱嬵}意”能變“看不見的數學”為“看得見的數學”［２］。同時，畫圖的過程也能拓寬學生的思路。比如在上述教學中，有學生先給每只“小動物”裝上了4條腿，結果發現腿裝多了；還有學生將“先畫2條腿的方法美其名曰‘增腿法”，將“先畫4條腿的方法美其名曰‘砍足法”，等等。盡管這些方法的名稱不太準確，但卻表達了學生對這種畫題意分析問題的方法的喜愛之情。

二、畫意義：讓本質得以揭示

數學的概念是抽象的，數學的法則也是形式化的。在數學教學中，教師可以引導學生通過“畫數學”，將相關數學知識的意義、本質等揭示出來。尤其是對于一些形式化、抽象化的算法，通過畫圖能揭示其內在的算理。在數學學科中，算法解決的是“怎樣算”的問題，而算理解決的是“為什么這樣算”的問題。借助于“畫數學”，學生能深刻地理解“為什么這樣計算”。因此，在數學教學中教師應該且必須引導學生畫圖。正如數學教育家華羅庚所說，“數形結合百般好，隔離分家萬事休”［３］。

比如“分數乘分數”這部分主要內容是讓學生理解“分數乘分數的意義”，建構“分數乘分數的法則”。對于這樣的兩個內容，筆者在教學中引導學生“畫數學”。比如對于“3/4×2/3”這樣的一個乘法算式，筆者喚醒、激活學生舊知：如何用一個長方形圖表示3/4？學生紛紛畫出一個長方形表示單位“1”的量，然后將這個長方形平均分成4份，表示其中的3份，并涂上陰影。在此基礎上，筆者引導學生思考：如何表示3/4的2/3？有學生認為，應該重新將3/4看作單位“1”的量，然后將單位“1”的量再平均分成3份，表示其中的2份；有學生認為，可以直接將3/4換一個方向平均分成3份，表示其中的2份。在此基礎上，筆者引導學生在原有陰影的基礎上再涂上“陰影”。最后，在引導學生完成畫圖之后，筆者讓學生觀察圖中的“單層陰影”和“雙層陰影”，從而讓學生理解“3/4×2/3”的意義，即“將3/4平均分成3份表示其中的2份，也就相當于將原來的單位‘1的量平均分成了12份，表示其中的6份”。由此，學生自然地從“分數乘分數”的意義出發，建構了“分數乘分數”的法則。

“畫數學”的過程就是學生數學思維“可視化”的過程。當學生經歷了這樣的過程之后，數學知識抽象化的意義、法則就變得看得見、摸得著了。在小學數學教學中，借助于“畫數學”，不僅能讓數學知識變得形象化，而且能促進學生消除數學理解的障礙、困惑，突破數學知識學習的重難點等?！爱嫈祵W”是學生數學學習的有效路徑，也是學生數學學習的有效策略。

三、畫推理：讓過程得以嚴謹

學生的數學學習過程從某種意義上說，就是一個抽象、推理和建模的過程。其中，推理在學生的數學學習中占據著重要地位，具有重要的意義和價值。在小學數學教學中，教師可以引導學生“畫推理”，使學生將新舊知識進行比較，從而讓其推理思維更嚴密、更嚴謹。“畫推理”的過程，能讓學生嘗到“甜頭”［４］，也能讓學生品嘗數學思維的樂趣、數學推導的樂趣、數學探究的樂趣。

比如教學“圓的面積”這部分內容時，筆者就引導學生用“畫數學”的方式進行問題表征、推理。由于圓是一種曲線圖形，而已經學習的“多邊形面積”中的多邊形都是直線圖形，通過畫圖溝通直線圖形與曲線圖形就顯得尤為重要。教學中，筆者一方面借助多媒體課件，向學生動態展示一個圓滾動后圓面留下的軌跡；一方面引導學生將圓平均分成16份，并將每一份拼在一起形成了長方形。在此基礎上，筆者引導學生比較圓與長方形。通過比較，學生會積極主動地思考：長方形的長相當于什么？長方形的寬相當于什么？長方形的面積相當于什么？由此，學生會借助“圖”，直觀地推導：長方形的長相當于原來圓的周長的一半，長方形的寬相當于原來圓的半徑，長方形的面積相當于原來圓的面積，又因為長方形的面積等于長乘寬，所以圓的面積就等于圓的周長的一半乘圓的半徑。通過化簡，學生就能得到圓的面積計算公式。在這個過程中，教師還可以引導學生比較“圓”和他們所畫的“長方形”，進而想象：如果將圓平均分成32等份會怎樣？如果將圓平均分成64等份會怎樣？平均分成1280分呢？……通過想象，滲透、融入數學的極限思想，讓學生感悟“極限”的數學方法。這樣的一種通過“畫數學”引導學生學習的過程，能培育學生的概括、抽象、推理等多重能力。

推理的過程就是學生抽象學習對象，并進行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的本質化、數學化、形式化、公理化的過程。借助于“畫數學”，教師能有效地引導學生舍棄數學學習對象的非本質屬性，提煉數學學習對象的本質屬性。數學推理有助于發展學生的高階思維，使學生形成高階認知?！爱嬐评怼睘閷W生的數學高階思維、認知和為學生的深度探究提供了有益的支撐和支持。

四、畫模型：讓結論得以凝練

從某種意義上說，數學學科中的每一個數學知識點，包括概念、法則、公理等都是一個個小小的數學模型。數學模型是對學生數學學習對象的一種本質化、形式化、抽象化、公理化的提煉和概括。從這個意義上說，數學模型揭示了數學知識的本質屬性，反映了數學知識的本質特征。為了幫助學生理解數學的概念、法則、公理等，教師可以引導學生畫出數學模型，從而讓學生的數學學習結論得到“必要的凝聚”（鄭毓信語）［４］。引導學生畫出數學模型，不僅僅要彰顯數學模型的原生價值，更要彰顯數學模型的育人價值。

數學模型是一種符號化、形式化的數學語言，體現了數學知識的“本質美”“簡約美”“統一美”［５］。而“畫數學模型”更能彰顯出數學模型的一種內在的形象美。借助于“畫模型”，能激發學生的數學思維、催生學生的數學想象，能鼓勵學生的數學創新。可以這樣說，“數學畫”是學生個性化、情意化的一種表達。它能引導學生更加地親近數學、喜愛數學，能讓學生找尋到數學學習的內在興趣、意味等。比如，“乘法分配律”這部分內容的數學模型就是“（a+b）×c=a×c+b×c”。為了促進學生理解數學模型，教師一方面可以引導學生用日常的生活語言對數學模型進行意義賦予，比如讓學生舉出生活中應用乘法分配律的例子；另一方面可以引導學生畫出這個數學模型。比如，筆者在教學中就引導學生畫出兩個等寬的長方形，其中“a×c”表征一個長方形的面積，“b×c”表征另一個長方形的面積，而“（a+b）×c”表征整個大長方形的面積等。如此，學生就能借助長方形的面積示意圖來理解、建構乘法分配律的意義模型。這樣的“圖畫模型”能夯實學生的模型表象，讓學生深刻地認識到乘法分配律的幾何意義。將抽象的數學符號模型變成圖畫模型，能有效地培育學生的數形結合思想。

“畫模型”能有效地培育學生的數學意識，提升學生的數學能力，能讓學生形成“數學的眼光”和“數學的大腦”，進而讓學生用數學的眼光觀照生活，用數學的大腦考量世界。在小學數學教學中，引導學生“畫模型”，就是要引導學生充分經歷數學模型的建構過程，促進學生對數學模型的深度化、直觀化、形象化的理解。可以這樣說，一切抽象的知識都可以用某種深入淺出的圖形或圖示方式表達出來。正如美國教育家布魯納所說，“任何知識都可以用適當的方式教給任何年齡的任何兒童”。

畫畫是學生的一種天賦性的愛好，畫筆是學生探索未知世界的一種“武器”。同樣的，“畫數學”給學生提供了一種深入研究數學、學習數學的“秘密武器”［６］。在數學教學中，教師應當充分發揮“畫數學”的育人效應，彰顯“畫數學”的育人價值，讓學生充分地“畫數學”。通過“畫題意”“畫意義”“畫推理”“畫模型”等，促進學生數學課程的開發，也促進學生的數學學習?！爱嫈祵W”彰顯著學生的數學學習的本質力量，是學生生命實踐智慧的確證與表征。

參考文獻：

［１］ 牛佳. 利用畫圖策略培養學生解決數學問題的能力［Ｊ］. 中國教育學刊，２０１７（１１）：１０７.

［２］ 蔡寶塔. 例談幾何直觀在小學數學教學中的應用［Ｊ］. 亞太教育，２０１９（０２）：５５.

［３］ 俞正強. 種子課—— 一個數學特級教師的思與行［Ｍ］. 北京：教育科學出版社，２０１３.

［４］ 吳正憲. 吳正憲數學教學教例與教法［Ｍ］. 北京：人民日報出版社，１９９８.

［５］ 成尚榮. 學會數學地思維——小學數學教學案例解讀［Ｍ］. 南京：江蘇教育出版社，２００１.

［６］ 黃紅成. 低年級數學畫圖教學的意義及方法［Ｊ］. 教學與管理，２０１９（２３）：３５－３７.