基于變換理論的消波結構設計

◎ 任超 黃毓，2

1.大連海洋大學海洋與土木工程學院；2.設施漁業教育部重點實驗室

1.引言

海洋一直都是人類經濟活動的重要場所，包括深水網箱養殖、海洋波浪能發電、海洋鉆井平臺等。這些設施都可能受到惡劣海洋環境的影響，削弱水波能量和控制水波傳播等成為保障海洋設施的關鍵。傳統防波堤已經被證明可以用來消散和衰減波浪，其中潛堤對海水循環和生態環境影響小，海岸景觀逐漸受到重視，現有的單列式潛堤和系列潛堤大都結構形式簡單，對于系列潛堤的研究主要集中于為針對簡單結構構型的反射系數及波浪傳播變形的數值仿真和實驗研究[1,2]。Hsu[3]等通過理論研究、實驗研究和數值分析研究了波浪傳播通過周期性三角形、矩形和余弦型潛堤的布拉格反射現象，得到相同數目的潛堤矩形反射系數最優，三角形最差。蔡力宏等[4]對波浪通過系列斜坡底床潛堤的布拉格反射現象進行了研究。Wen等[5]研究了系列潛堤的堤數、堤高、間距等結構參數對布拉格反射帶寬與最大反射系數的影響，并得到潛堤反射系數的經驗公式。將周期性的布拉格反射現象與由布拉格散射機理形成的帶隙聯系起來，對于海岸防護的設計和應用具有重大意義。

帶隙的概念來自于電磁波和聲波，當電磁波和聲波傳播通過人工設計的周期性結構時對應帶隙頻段的光波或聲波可以有效衰減。類比電磁波、聲波和水波控制方程的相似性，Zhang[6]將周期性結構設計應用于水波調控中，設計了側壁周期性起伏結構，對在0.74-0.84Hz頻段范圍內的波浪產生了布拉格散射，有效抑制了水波的傳播。Hsu[7]給出2k/kb=1處產生初級共振，其中k和kb分別為自由表面波數和底部結構物波數。近年來，超材料發展迅速，打破了原有周期性帶隙結構物設計的限制，提出了新的調控波傳播的機制。超材料是由亞波長結構組成的人造材料，基于超材料的概念許多新穎的現象和器件被提出，例如負折射率、隱身衣等，其中隱身衣是基于變換光學提出來的重要成果，它能夠使光線繞過任意形狀或大小的障礙物進行傳播，而且不產生散射，實現隱身效果。光學超材料通過設計結構不同位置特定的參數改變折射率，實現特定的折射率參數往往所需設計的結構復雜，難以直接應用于水波。2015年浙江大學Wang[8]等人基于淺水方程與二維光子晶體中TE模主方程的相似性，類比得到了線性水波的折射率與水深的1/2次方程反比的結論，即可通過底部結構漸變的水深來實現特定的折射率。平面梯度超材料[9]的提出，為設計簡單的結構提供了可能，2019年Zou[10]將梯度折射率材料（Gradient Index Metamaterials，簡寫GIM）集成到波導系統中，根據變換理論有效地定制波導的傳播特征，從理論上設計并實驗證明了一種使用GIM的水波波導斗篷，且所需GIM僅通過控制不同位置的水深便可以獲得。

本文旨在利用梯度折射率材料對水波的折射和反射作用，通過數值仿真設計新型潛堤結構的寬度、航道寬度、潛堤平臺長度等參數，在保有良好的水流交換能力和結構穩定性的同時達到優良的消波效果。

2.數值波浪水槽和GIM模型的建立

本文假設所研究的液體為無粘、無旋、不可壓縮，只受重力作用，波幅遠小于波長的線性液體表面波，可用緩坡方程[11]來描述波浪的折射-繞射聯合變形，控制方程可表示為如下形式：

其中，c為相速度；cg為群速度；k為波矢。

針對變化底面深度液體表面波中的布拉格散射問題，Ye于2003[12]年給出了一個處理方程，在近似程度上與MSE一樣都是一階近似，方程為：

其中u為液體的有效深度，ω為液體表面波的角頻率，η為液體表面的豎直位移，h為液體的實際深度。當kh＜＜1時，式（2）可化為：

式（3）即為淺水方程，適用于液體深度較淺或者頻率較低的微振幅波。淺水方程對應的色散關系為：

模型左端為流入邊界，右端為流出邊界，流入和流出邊界條件為：

入射平面波位移u0，K 為波矢量，X為位置矢量，n為指向外邊界法向矢量，波矢量k≡∣K∣。對于圖1的GIM模型[10]，水槽通道寬為M，在模型中R1區域位水槽內部深度無變化區域，水深為h；R2區域有兩平行結構，寬度為t，長度為α1，對稱放置在邊界上，對稱間距為w，以潛堤開始處為坐標原點，其高度隨x軸呈曲線變化，由0逐漸變為b1，使得水波傳播通過具有梯度變化的剖面，該區域水深最大值h變為h-b1，水深的變化產生了變化的水波折射率[13-15]。

圖1 波浪水槽GIM結構

則對應圖1中R1，R2，區域水波色散關系為：

對應R1區域任意點處的折射率為常量1。R2區域水深h2沿x方向變化，則R2區域任意點處的折射率為：

其中，n2為R2區域的折射率，h1為初始深水，假設水深最小處折射率為N1。從式（9）中可看出，R2區域的折射率n2為隨x方向變化的函數，則R2區域的折射率函數n2(x)可以表示為，

其中，α、b為待定系數。利用邊界條件水深最大時，折射率為n2(x2)=1；當R2區域水深最小時，折射率為n2(x1)=N1，求得：

則R2區域水深h2為：

3.規則波在GIM上的傳播數值模擬與分析

本文采用COMSOL Multiphysics PDE 接口通過求解方程來模擬水波通過GIM的傳播對波浪透射比的影響。

3.1 數值分析模型驗證

為了驗證本文數值模型設置的準確性，對比寬帶波導模型，GIM模型長度α1=1.78m，高度b1=0.133m，拉伸長度t=0.15m，距離w=0.9m，模擬了工作頻率為f=0.7Hz時的穩態水波場，并與文獻結果進行了對比，見圖2，本文計算得到的水波場與文獻中得到的結果一致，驗證了本文采用COMSOL軟件進行波浪對GIM結構水波傳播進行數值仿真的正確性。

圖2 波導數值模擬與文獻[10]對比

3.2 不同結構透射率比較

為了比較GIM模型與R2區域梯度無變化的結構對于消波能力的影響，本文對兩種結構進行建模仿真和分析，結構見圖3（a）。無梯度變化的模型，長度為α1，高度由0逐漸變為b1，但高度變化幅度為定值，即各點斜率相同。

圖3 （a）無梯度變化的結構和（b）GIM結構幾何模型

水波由左側入射，入射頻率為0.7Hz，模型兩端設置為吸波邊界條件，數值模擬結果如圖4所示。

圖4 （a）無梯度變化結構和（b）GIM結構對水波調控

由圖4對比發現，水波通過無梯度變化結構與經過GIM結構相比，水波經過GIM結構即被反射，并在GIM坡前形成了較強的匯聚，因而取得了良好的消波效果。為了進一步比較消波效果，將入射波幅度記為Ai，透射的波幅記為A0，入射波振幅Ai為定值，A0數值采用水波經過結構物后的穩定段λ2波幅取平均值求得。所有對透射率的計算為水波經過結構物后的穩定期間取值。無梯度變化結構數值模擬計算透射比T==0.627。

采用相同的邊界條件，GIM的計算透射率T=0.076。通過比較模擬結果可以發現，通過引入了梯度變化結構，消波效果是無梯度變化結構T=0.627的8.25倍，因此GIM結構作為水下潛堤結構在削弱波浪能量方面具有更優的表現。

4.GIM結構透射率的影響分析

4.1 水深對于GIM結構透射率的分析和選優

將入射波的入射頻率均設置為f=0.70Hz，通過改變模型初始水深，計算模型的透射率如表1所示，優化結構，找到最優的模型初始水深的數值。

表1 水深對于GIM結構透射率的影響

根據數據分析，初始水深為0.16m時，透射率最低，消波效果最優，圖5是不同水深的水波模態。從圖中可以得到水深是影響水波透射率的重要因素，當水深在0.158-0.163m時均有消波效果，當水深為0.160m時水波透射率最低，達到最優消波效果。

圖5 不同水深的水波模態

4.2 頻率對于GIM結構透射率的分析和選優

進一步探討不同頻率對模型消波能力的影響，設置初始水深為定值，改變頻率f，計算模型的透射率如表2所示，優化結構，找到最優的模型初始水深的數值。

表2 水深對于GIM結構透射率的影響

根據數據分析，入射頻率為f=0.70Hz時，透射比最低，消波效果最優，圖6 是不同頻率的水波模態。從圖中可以得到頻率也是影響水波透射率的重要因素，當頻率在0.66Hz-0.72Hz時均有消波效果，當入射頻率為0.70Hz時水波透射率最低，達到最優消波效果。

圖6 不同頻率的水波模態

5.GIM結構幾何參數對透射率的影響分析

5.1 GIM模型寬度t和航道寬度M的分析和選優

將入射波的入射頻率均設置為f=0.70Hz，通過改變GIM模型寬度t與航道寬度M，計算模型的透射率，優化結構，找到最優的模型寬度與航道寬度的數值及比例。

航道寬度M為1.2時，改變GIM模型寬度t，得到透射率如表3所示。

表3 GIM模型寬度t的影響態

GIM模型寬度t為0.15時，改變航道寬度M，得到透射比如表4所示。

表4 GIM模型航道寬度M的影響

分別繪制了f=0.68、0.7、0.72Hz三個頻率下，不同GIM模型寬度t、不同GIM模型航道寬度M對透射率的影響，如圖7、圖8所示。

圖7 f=0.68、0.7、0.72Hz三個頻率下，不同GIM模型寬度t對透射率的影響

圖8 f=0.68、0.7、0.72Hz三個頻率下，GIM模型航道寬度M對透射率的影響

根據數據分析，入射頻率為0.68 Hz 時，GIM 模型寬度t 為0.158m，航道寬度M為1.2m時透射比最低，消波效果最優；入射頻率為0.70Hz時，GIM模型寬度t為0.15m，航道寬度M為1.2m 時透射比最低，消波效果最優；入射頻率為0.72Hz時，GIM模型寬度t為0.17m，航道寬度M為1.0465m時透射比最低，消波效果最優。

5.2 GIM結構平臺長度分析和選優

為優化結構消波能力，在GIM模型后后端，加裝一平臺模型，如圖9所示平臺的長度為，為盡可能縮短整個模型長度，的取值范圍在0.1倍GIM模型長度至0.3倍GIM模型長度之間。

圖9 帶有平臺的GIM模型

將入射波的入射頻率分別設置為f=0.68、0.7、0.72Hz，通過改變GIM模型平臺延伸長度，計算模型的透射率，優化結構，找到最優的模型平臺延伸長度的數值。

入射頻率f=0.68、0.7、0.72Hz時，改變GIM模型平臺延伸長度，得到透射比如圖10所示。

圖10 f=0.68、0.7、0.72Hz三個頻率下，GIM模型平臺延伸長度對透射率的影響

根據數據分析，入射頻率為0.68Hz時，GIM模型平臺延伸長度為0.25 倍時，時透射比最低，消波效果最優；入射頻率為0.70Hz時，GIM模型平臺延伸長度為0.22倍時，時透射比最低，消波效果最優；入射頻率為0.72Hz時，GIM模型平臺延伸長度為0.25倍時，透射比最低，消波效果最優。

6.結論

本文設計并通過數值模擬驗證了一種具有梯度變化的GIM模型，得到了不同頻率下該模型對波浪的消波作用，并對GIM寬度，航道寬度和平臺長度等參數進行了分析和選優，設計得到了具有最有參數的GIM消波潛堤結構，該結構構型簡單，與梯形潛堤結構相比具有更好的消波作用，且可以應用于海岸防護和水產養殖。