APOS理論對中學數學教學的啟示

朱怡祺 喻平

摘 要：APOS理論的一個基本假設是，數學知識的心理建構需要經歷操作、過程、對象和圖式四個階段。這四個階段不是一種線性關系，而是一個循環系統。APOS理論主要是針對概念學習的。從教學的角度看，四個階段之間的轉化機制比四個階段本身更有意義。由此，在中學數學教學中，教師應當采取適當的策略促進學生四種心理狀態之間的轉化，具體包括：用活動促進內化，用概括實現壓縮；用新知促進解壓，用系統生成圖式。

關鍵詞：中學數學；APOS理論；概念教學；轉化機制；圖式

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本文系喻平教授團隊的“數學學習心理學研究及其教學啟示”（中學）系列文章之十六。

APOS理論是美國學者杜賓斯基等基于皮亞杰的“反思抽象”觀點提出的一種建構主義的數學學習理論。他們認為，人們透過心智結構使學習的數學概念產生意義，而教學的目的就在于幫助學生建立適當的心智結構。再讀APOS理論，可以看到它對中學數學教學很有指導價值。

一、 APOS理論概述

APOS理論主要涉及四個概念：操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）和圖式（Schema）。［1］具體地說，操作、過程、對象和圖式是數學學習中的一種心理結構。對某一數學對象實施操作，這種操作經過內化成為過程，過程可以被壓縮為一個完整的對象，整個系統成為圖式。［2］

（一） APOS理論的基本假設

APOS理論的一個基本假設是：數學知識是個體在解決所感知的數學問題的過程中獲得的，在這個過程中個體要進行心理建構，這種建構需要經歷四個階段。在學習過程中，學生對教師提供的外部信息進行辨認，將其轉換為一系列操作，通過親身體驗，感受直觀背景和數學概念之間的關系，這是操作階段。學生經過多次操作和反思后，便能通過想象執行一系列指令，抽象出概念的本質特征，在大腦中進行一種內部的心理建構，即形成一種過程模式。［3］這種模式使得操作呈現出自動化的表現形式，而不再借助于外部的不斷刺激，學生從依靠外在的提示轉向依靠內部的調控，這是過程階段。而學生意識到轉換可以運用于整體，并且實際可以建構這樣的轉換時，就達到了對象階段。在這一階段，給抽象出的本質特征賦予形式化的定義和符號，也就是說，學生把過程看作一個整體，并對它進行轉換和操作時，過程也就凝聚成了對象。

包括操作、過程、對象在內的整個認知系統即為圖式。杜賓斯基指出，任何圖式的開發都涉及三個階段：圖式內部、圖式之間、圖式遷移。圖式內部階段的特點是，個體只注意離散的操作、程序和對象，而把具有類似性質的其他知識點隔離開來；在圖式之間階段，個體注意到各個圖式中蘊涵的知識點之間的關系和銜接，從而能把這些知識點組成一個整體；在圖式遷移階段，個體徹底清楚知識點之間的關系，建構出這些點之間的內部結構，形成一個大的圖式，最終能判斷哪些問題存在于這個圖式，哪些問題超出了這個圖式的范圍。［4］

（二） 對APOS理論的幾點認識

其一，四個階段不是一種線性關系，而是一個循環系統。如圖1，操作階段通過將外部信息轉化為內部信息，逐漸脫離相對具體的情境，轉變上升為心理上的操作，不再完全依賴具體的被操作對象和實際問題。經過多次操作之后，進入過程階段，這就是內化。這時，學習者得到了一堆關于知識的信息，就需要去除一些枝節，梳理出最精華的成分，從而進入對象階段。從過程階段到對象階段，需要將內化的心理操作簡約和抽象（形成直覺），這就是壓縮。［5］只有當個體嘗試對過程進行壓縮時，才有可能將動態的結構轉化為可以應用的靜態結構；只有當個體意識到過程可以作為整體時，才能形成對象。當然，也存在這樣一種情況，即簡單的操作或達到高度自動化的操作可以直接形成對象。過程被壓縮成心理對象之后，還可以在需要引發時解壓為潛在的過程。經過解壓機制，個體能將對象還原為先前的過程。兩個對象在分別解壓為先前的過程后，可能相互協調并重新被壓縮為一個新的對象。逆轉則是建構新對象的另一個心理機制。某一過程在逆轉機制的作用下形成的新過程，將被重新壓縮為新的對象。［6］

其二，APOS不是一種教學模式，而是學習數學的一種心理結構。教學模式包含的基本要素是理論基礎、教學目標、教學程序、教學策略以及教學評價。顯然，APOS框架不具有這些屬性，因而不屬于教學模式。當然，從操作、過程、對象、圖式四個階段來看，確實體現了一種知識學習的“程序”，或者說學習者對信息的加工過程。可以根據這個心理過程設計相應的教學步驟，但是，這個心理結構的描述本身不能稱為教學模式。

其三，并非所有數學知識的學習都能用這個結構來解釋。杜賓斯基提出這個理論，主要針對的是概念學習，諸如大量的命題學習、思想方法的學習等，難以用這種心理結構來描述。事實上，許多數學概念本身就具有“過程”與“對象”的雙重性。斯法德提出，數學中的許多概念（特別是代數概念）在具有過程性的同時，又表現出對象性；過程性指具備可操作的法則，對象性指概念的結構。［7］例如，加法既代表兩個集合中的元素合并或添加起來的過程，又代表合并或添加起來的結果；軸對稱既代表圖形關于指定直線翻折的過程，又代表圖形之間具有的特定性質或位置關系；數列極限既代表數列變化趨勢的過程，又代表變化趨勢的結果。因此，概念的雙重性決定了學習心理也會表現出這兩個特性。

其四，經歷四個階段，就是對知識的建構過程。所謂建構性學習，是指學習者通過對一類事物的認識，結合已有的知識、經驗，概括出一類事物本質屬性來形成知識，并與同伴交流、協商使知識精確化的過程。學生經歷的操作、過程、對象、圖式四個階段恰好是知識建構的各個環節（當然，主要是個人建構，缺少社會建構），整個學習過程體現出建構主義思想和知識建構的基本理路。

二、 對中學數學教學的啟示

從教學的角度看，四個階段之間的轉化機制比四個階段本身更有意義。在圖1中可以看到，內化、壓縮、解壓、協調、逆轉等就是要素之間轉化的心理機制。APOS理論的價值不在于依據四個階段設計教學，而在于如何干預內化、壓縮、解壓等心理機制，使從操作到過程到對象再到圖式的轉化得以實現。因此，研究如何實現心理狀態之間的轉化，才有真正意義上的教學論價值。

（一） 用活動促進內化，用概括實現壓縮

在APOS循環中，要實現從操作到過程的過渡需要內化。而內化的實現，需要個體主動地反復操作實施相應的活動。因此在中學數學教學中，教師應當合理設計操作環節，讓學生通過活動促進內化。這里的“活動”一是指動手操作的外顯活動，二是指頭腦中的思維活動，因此與通常所說的“做數學”含義相同。“做數學”是學生在教師的指導下，利用一定的工具（實物或軟件），通過動手操作、觀察思考、歸納抽象等過程建構數學概念、驗證數學結論、探索數學規律、解決數學問題的一種學習方式。可以看到，“做數學”的過程能夠充分激發學生的思維，促進行為的內化。

另一方面，從過程到對象的心理機制是壓縮。壓縮的隱喻是擠出事物的水分，使其瘦身，本質是拋棄無關信息，找出一類事物的共同特征和本質屬性。因此，教師要引導思維方向，清除思維障礙，讓學生通過概括來實現壓縮。概括是指人腦在比較和抽象的基礎上，把抽象出來的事物的共同本質特征綜合起來，并推廣到同類事物上去的過程。

這里，教師預計學生在函數概念的理解中可能出現的問題，由此設計一系列涉及多個知識點、綜合性較強的變式練習，從而促使學生通過解壓回到過程階段，還原先前的探究操作，再進一步協調，重新壓縮得到新的對象。

杜賓斯基指出，個體對概念理解的深度和復雜性，取決于他在構成這個概念的心理結構之間建立聯系的能力。這些聯系構成了圖式的基礎，而圖式的連貫性對個體理解與概念相關的數學情境的能力至關重要。圖式是對事物的綜合性表征，它是命題網絡、表象表征和線性排序的組合。［9］加涅概括了圖式的三個特征：（1） 圖式含有變量；（2） 圖式可以按層級組織起來，也可以嵌入另一個圖式之中；（3） 圖式能促進推論。［10］圖式含有變量是指，圖式中的許多屬性是允許改變的。例如，函數的本質是數集到數集的映射，但它的表現形式是多樣的：解析式表征、圖像表征、表格表征等。函數圖式按層級組成指的是，一些特殊的函數作為一般函數的子圖式，而函數本身又是映射的子圖式。圖式的第三個特征主要指，一級圖式的許多性質可由上一級圖式直接推出。例如，指數函數必然有定義域、值域和對應關系，這些信息沒有必要在定義指數函數y=ax（a>0）時給出，因為作為子圖式，指數函數嵌入函數圖式之中，具有函數的所有特征。

幫助學生形成圖式的基本方法有：

第一，對學過的知識進行梳理，可以用具有層次的概念圖作為輔助工具進行表達，從而厘清知識的來龍去脈（縱向發展）；同時，還要找出知識之間的橫向聯系。當然，除了建立章節或單元內部的知識網絡，還應打通章節或單元之間的知識聯系。

參考文獻：

［1］ S.Lerman.Encyclopedia of Mathematics Education［M］.Dordrecht：Springer Netherlands，2014：89.

［2］ 鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009：96.

［3］ A.Ilana，Jim Cottrill，Ed Dubinsky，et al.APOS Theory：A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education［M］.New York：SpringerVerlag，2014：526.

［4］ 喬連全.APOS：一種建構主義的數學學習理論［J］.全球教育展望，2001（3）：1618.

［5］ 李士锜.PME：數學教育心理［M］.上海：華東師范大學出版社，2001：114.

［6］ 馬曉丹.APOS理論探索的反思與超越［J］.教學與管理，2020（33）：7477.

［7］［8］ A.Sfard.On the dual nature of mathematical conception，Reflections and objects as different sides of the same coin［J］.Educational Studies in Mathematics，1991（1）：136，136.

［8］ A.Sfard.On the dual nature of mathematical conception，Reflections and objects as different sides of the same coin［J］.Educational Studies in Mathematics，1991（1）：136.

［9］ 喻平.數學教育心理學（第三版）［M］.南寧：廣西教育出版社，2015：61.

［10］ E.Gagne.The Cognitive Psychology of School Learning［M］.Boston：Litlle，Brown ａｎｄ Cｏｍｐａｎｙ， 1985：81.