融會貫通深入本質

劉向權 劉子嶺

摘要：通過兩道經典的“姊妹習題”的教學，從系統的角度審視數學，置散亂知識于系統之中，著眼于數學知識間的緊密聯系和內在規律，以及數學思想方法的滲透，在融會貫通的過程中，透過紛繁復雜的現象，深入數學的本質。

關鍵詞：習題教學 聯系規律 思想滲透

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）在“課程實施”之“教學建議”部分明確指出：教學內容是落實教學目標、發展學生核心素養的載體。在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。基于上述觀點，懷揣著對數學教研孜孜不倦的熱情，筆者對滬科版八年級上冊數學教材中兩道“姊妹習題”進行了認真挖掘與剖析，并嘗試在融會貫通中深入并揭露數學的本質。本文將這兩道習題的教學設想、教學實施和教學思考對讀者加以分享，旨在為廣大初中數學教育同行提供教學參考，以求拋磚引玉。

一、習題呈現

習題1：已知，如圖1，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于點D。

求證：∠B=∠B′。

習題2：已知，如圖2，AB∥A′B′，BC∥B′C′，B′C′交AB于點D。

求證：∠B+∠B′=180°。

這兩道習題源自滬科版八年級上冊數學教材第85頁第13章第2節“命題與證明”節末習題13.2中第7題、第8題。為便于敘述，本文分別將第7題、第8題稱為“習題1”“習題2”。因這兩道習題在教材中連續出現且關系特殊，可共同抽象、歸納得到一個重要數學命題，故稱它們為“姊妹習題”。

二、教學設想

“命題與證明”是初中生正式學習幾何證明的起始章節，通過翻閱滬科版八年級上冊數學教材可以發現，本節教材的教學內容約需5個課時完成，而整節教材僅安排了9道習題，足見題目數量之少。因此，如何才能最大限度地發揮每道習題的教學價值與效益，無疑是對數學教師教學智慧的一大考驗。讀者若能細細品味習題1、習題2的編排順序與邏輯關系，教材編寫者的深刻意圖和巧妙設想便可見一斑。在本節兩道“姊妹習題”的教學中，如果僅停留在“完成證明”的膚淺層面，這無異于坐失良機。基于此，筆者試圖依托兩道“姊妹習題”的教學，引導學生縱深挖掘數學知識之間的微妙聯系和內在規律，進而將散亂的數學知識系統化，讓學生在融會貫通中，透過紛繁復雜的外在現象，認識事物的內在本質，進而領悟數學的真諦。

三、教學實施

（一）引導分析，證明習題

教師：請同學們結合習題1的條件和圖1進行思考，這兩個角離得比較“遠”，要證明∠B=∠B′，該怎么辦呢？

學生1：可以利用平行線的性質，先證明∠B和∠B′都等于∠A′DC（或∠BDB′）。

教師：具體說說怎么書寫證明過程吧！

學生1選擇利用“兩直線平行，同位角相等”這一性質（在實際教學中，也可能會有同學選擇利用“兩直線平行，內錯角相等”這一性質）口述證明過程，其余同學補充如下：

證明∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，（已知）

∴∠B=∠A′DC，∠B′=∠A′DC。（兩直線平行，同位角相等）

∴∠B=∠B′。（等量代換）

教師：在這里，∠A′DC就像一座“橋”，建立了∠B和∠B′之間的聯系，這個思路很巧妙！我們接著分析習題2，哪位同學來談談自己的想法？

學生2：這道題也可以類似地通過∠ADB′這座“橋”將∠B與∠B′聯系起來。

教師：請說說具體怎樣聯系。

學生2：利用平行線的性質，先證∠ADB′+∠B′=180°，再由“兩直線平行，同位角相等”可證∠B=∠ADB′，從而得到∠B+∠B′=180°這一結論。

此題可先讓學生嘗試證明，再逐步規范證明過程，具體如下：

證明∵AB∥A′B′，（已知）

∴∠ADB′+∠B′=180°。（兩直線平行，同旁內角互補）

∵BC∥B′C′，（已知）

∴∠B=∠ADB′。（兩直線平行，同位角相等）

∴∠B+∠B′=180°。（等量代換）

教師要善于鼓勵學生從不同角度分析問題，嘗試用不同方法解決問題，只要思路清晰合理，方法得當，均應予以肯定。

（二）自然聯想，整合歸納

教師：對于習題1，在不改變題目條件的前提下，如果教材未給出圖形，你能通過聯想，畫出與圖1不同的圖形嗎？

學生3與同學充分交流討論，結合圖1聯想得到圖3。

教師：那么，對于習題2，如果將題目中的“B′C′交AB于點D”改為“BC交A′B′于點D”，其他條件和所要證明的結論不變，你還能畫出與圖2不同的圖形嗎？

學生4先自主嘗試畫圖，再與同學進行必要的交流討論，聯系圖2得出圖4。

在引導學生嘗試畫出圖3、圖4時，個別同學可能只是簡單地將圖1、圖2中的∠B′平移，便誤以為得到了新圖形，若遇此情況，教師需引導學生對前后所畫圖形加以比較分析，在不挫傷學生積極性的前提下予以明確否定，以免對其他同學造成誤導。

教師：接下來，我們能不能想辦法將上面四個圖形整合成一個圖形呢？

經學生交流討論后畫出草圖，教師引導學生對草圖進行適當調整，做出標注得到圖5。

教師：結合整合后的圖5及習題1、習題2的證明，你能嘗試著歸納出結論嗎？

學生5：如果兩角的兩邊分別互相平行，那么這兩個角相等或互補。

學生的語言未必簡潔精煉，教師應注意引導學生對語言進行梳理和推敲。

（三）梳理升華，發掘聯系

教師：但是，兩角何時相等，何時互補呢？

此時，若學生感到有難度，可審時度勢引導學生從“兩組平行邊的射線方向”這一角度進行思考分析。

學生6：當兩組平行邊的射線方向全部相同（圖5中∠B和∠1）或全部相反（圖5中∠B和∠3）時，這兩個角相等。

學生7：當兩組平行邊的射線方向一同一反（圖5中∠B和∠2，∠B和∠4）時，這兩個角互補。

學生6和學生7的回答未必如此準確精練，只要大意正確，再加以引導和完善，師生便可逐步達成共識。

教師：如果我們將兩組平行邊射線方向相同的關系規定為“正”，方向相反的關系規定為“負”，進而將兩角相等的關系規定為“正”，互補的關系規定為“負”，那么，剛才兩位同學梳理總結出的結論，可以怎樣描述呢？

學生8：“正、正”得“正”，“負、負”得“正”，“正、負”得“負”，“負、正”得“負”。

教師：還能描述得更簡潔一些嗎？

學生8（回顧并聯系有理數乘、除法法則，與同伴進行深入交流討論后回答）：“同號”得“正”，“異號”得“負”。

教師：原來，這和有理數乘、除法的符號法則竟然有如此微妙的聯系！

（四）平移直線，深化聯系

教師：如果我們試著平移圖5中的直線EF，使它與射線BA所在的直線重合，得到圖6。大家對這個圖形熟悉嗎？

學生9：在七年級下冊第10章學習“平行線的性質”時，經常見到與圖6類似的圖形。

教師：你說得很好，也很具體！由于在圖6中仍然有∠ABC=∠1，∠ABC=∠3，∠ABC+∠4=180°，因此上述關系分別是對“兩直線平行（GH∥BC），同位角相等（∠ABC=∠1）”、“兩直線平行（GH∥BC），內錯角相等（∠ABC=∠3）”和“兩直線平行（GH∥BC），同旁內角互補（∠ABC+∠4=180°）”這幾個性質的生動詮釋。

學生恍然大悟，用目光相互交流，思維得到碰撞，并向縱深發展。

教師：在圖6的基礎上，如果我們再將直線GH平移，使其與射線BC所在的直線重合，得到圖7。這個圖中又蘊含了哪些我們熟悉的數學知識呢？

學生10：兩角相等的定義。

學生11：平角的定義。

學生12：（鄰）補角的定義。

學生13：對頂角相等。

學生的回答未必如此全面、有序，也可能會有變化，必要時需稍作引導，逐步完善，進而達成共識。

教師：由此看來，數學知識之間的聯系，有時竟如此讓人意想不到，卻又那么合情合理。

至此，數學知識之間的聯系又得到深化，學生的心靈被徹底震撼，他們已深深折服于數學的無窮魅力。

（五）透過現象，揭露本質

教師：從對兩道“姊妹習題”的證明開始，一路走來，摸爬滾打，我們發現兩角相等的定義、平角的定義、（鄰）補角的定義、對頂角相等、平行線的性質這些看似散亂的數學知識原來包括在同一個結論（如果兩角的兩邊分別互相平行，那么這兩個角相等或互補）之中。或者說，它們原本就屬于同一個系統。由此可見，要學好數學，我們就應該善于透過現象……

學生：（齊答）看本質！

教師總結點題，在幫助學生簡化記憶數學結論、自主建構數學知識體系的同時，數學課堂也得到了升華，彰顯至高的教學境界。

四、教學思考

（一）從解決問題到問題解決

解題教學的最低境界是“為解題而解題”，解完一道再來一道，下課了，一節課自然也就結束了——這是低效甚至無效的解題教學，顯然沒有真正解決問題，更沒有實現問題解決。解題教學要引導學生“從最近聯想到優化思維，從優化思維到借題發揮，從借題發揮到解決問題，從解決問題到問題解決”這樣一個螺旋生長的思維鏈中去進行解題訓練。本節課，就兩道“姊妹習題”的教學而言，若僅以學生會證明兩道習題為目標，教學效率固然會顯得很高，但教學效果則會大打折扣，教學效益也遠未得到深入挖掘；若教師順勢引導學生由圖1、圖2分別聯想到圖3、圖4，通過整合圖形優化思維，并借題發揮總結結論，再舉一反三運用結論，基本上就能算作解決問題了；而如果能在解決問題的基礎上，努力發掘數學知識之間的內在聯系，并將微妙的聯系逐步引向縱深，進而將看似散亂的知識納入同一個系統中，便能稱得上問題解決了。

（二）從知識碎片到結構體系

例題教學唯有立足當下，承前啟后，一以貫之，既有必要的縱向延伸，又有適當的橫向拓展，學生的數學知識才能獲得自然生長。例題教學是這樣，習題教學也是如此。筆者以為，對于上述兩道“姊妹習題”的教學，大致可分為以下3個層次（或3種教學境界）。層次1：教師帶領學生依次完成兩道習題的證明后，再對證明思路和方法做簡評或互評。層次2：在完成兩道習題證明后，教師進一步啟發學生思考：這兩道習題之間有何內在聯系？通過習題證明，你能歸納出一個怎樣的數學結論？層次3：在習題證明、點評完畢后，教師先引導學生抽象歸納數學結論，再進一步鼓勵學生展開適當聯想，啟發、引導他們對習題1、習題2的原圖（前文中的圖1、圖2）加以變換、整合，從而建立起“兩角相等”“平角”“（鄰）補角”“對頂角”“平行線的性質”這些數學知識之間的聯系，構建完整的數學知識體系，揭示數學的內在規律與本質。

顯然，教學層次1充其量只算完成了習題證明，僅停留在單純利用“平行線的性質”這一知識點解決數學問題的層面，數學知識無疑被嚴重碎片化了。而從教學層次2到數學層次3，則逐步揭示了數學知識之間的聯系，實現了前后貫通。縱觀這3個不同的教學層次，還會發現，數學知識已實現由“點”到“線”、由“線”到“面”的飛躍，碎片化的數學知識已逐漸形成嚴謹的結構體系。

（三）從觀察現象到深入本質

因圖1和圖2中都有“兩角相等”“平角”“（鄰）補角”“對頂角”“平行線性質”的“影子”，且在證明兩道“姊妹習題”時主要用到了這些數學知識，而這些數學知識又分散在滬科版七年級數學教材上、下冊不同的章節中。故教師引導學生完成習題證明后，順便帶領學生復習回顧這些知識內容，這一做法不僅有用而且很有必要。但問題是，如果教師走馬觀花式地帶領學生將這些數學知識“過一遍”，這樣的處理方式不僅過于膚淺、粗糙，數學課堂也會顯得索然無味。其實，只有教師真正做到了對數學知識方法的高位理解，才能讓學生體會到數學知識之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強學生發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。在此前提下，教師與學生一起將相關數學知識“理一遍”，便能撥開籠罩在數學課堂上的“團團迷霧”，化“觀察現象”為“深入本質”。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]卜以樓.生長數學：卜以樓初中數學教學主張[M].西安：陜西師范大學出版總社，2018.

[3]劉向權.承前啟后一以貫之[J].中學數學教學參考（中旬），2020（5）：4345.

責任編輯：唐丹丹