數概念建構中直觀想象的運用

鐘燕 劉君

摘 要：數的概念比較抽象，需要借助直觀的圖形來理解。數概念建構中直觀想象的運用一般包括三個層次，即量的感知、形的理解、“系”的架構。基于此，《小數的意義》一課的教學，可以引導學生經歷如下三個環節：借直觀之形，理解量之間的關系，初步形成小數的表象；借關聯之形，理解數之間的關系，建構小數的本質內涵；借結構之形，理解數的整體性，獲得小數的系統認識。

關鍵詞：小學數學；直觀想象；數概念；數形結合；小數的意義

一、直觀想象與數的認識

直觀想象是連接直觀與抽象的重要過程，也是探索形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。數是對數量的抽象化表達，數量是對現實生活中事物量的抽象。“在認識數之前首先要認識數量，并在認識數量的同時認識數量之間的關系，在認識數的同時認識數之間的關系。數量之間最基本的關系是多與少，與此對應，數之間最基本的關系是大與小。”［1］數的概念是數學的基礎（尤其是數的運算、數量關系的基礎），也幾乎是所有學科的基礎。數的認識是小學數學的重要內容，涉及整數、小數、分數、百分數等的認識。

數的認識過程是一個從直觀到抽象的遞進過程。從具有現實意義的具體數量開始，如糖果的顆數、房子的幢數、車子的輛數等，在數數的過程中達成量與物的一一對應，在腦海中完成對數的構造，這一過程離不開實物的模型支撐。然后，在多與少的感受中，逐漸抽象成利用圖形對應表征具體數量，把同等數量的不同事物對應于同一類圖像，漸而形成數的模型——特別是基于心理數軸實現空間與數量的融合［2］。最后，將圖形符號化來表示數。

對小學生來說，數的概念比較抽象。在教學中，教師需要引導學生借助能夠顯示數的直觀材料，利用實物、圖形等載體進行數學想象和思考，從而明確形與數的聯系，建立數的直觀模型，把握數的意義，由此讓規定性的數學內容轉化為理解性的數學知識，讓數看得見、摸得著。

二、策略要義

縱觀小學數學教材的編排，多以直觀想象的借形理解策略引導學生對數的概念進行建構。但是，在實際教學中，直觀想象的過程常被簡化。實際上，使用借形理解策略幫助學生建構數的概念，應以“形”為載體積累表象，推動學生直觀感知、分析、建構或拓展相應的認知結構，讓學生經歷完整的直觀想象過程。具體來說，一般要經歷以下三個層次：

第一，借助實際的具體數量，理解數的現實意義。基于學生的原始經驗展開數概念的學習。原始經驗可能來源于生活經驗，也可能是之前的學習經驗。教學時，可以根據現實意義創設情境，引導學生利用已有的經驗表征數，如借助具象實物，通過擺一擺、10個一堆等行為，感知數所表示的具體量；同時，通過畫圖圈一圈等方式，從實物到圖形，對表象進行抽象，理解數量是一種對現實世界中與量有關的事物的抽象。

第二，借助圖形的多樣變化，理解數的抽象意義。數概念的理解是一次次抽象的過程，借形的要義在于關聯與想象。要引導學生在圖形之間、圖形要素之間尋找關系，產生關聯與想象，通過圖形的多樣變化，理解數的位值概念以及數位之間的進率關系，感知數中不同位值的大小關系，從而幫助學生更清楚地看到數的本質關系。

第三，借助數系的內涵拓展，理解數形的互鑒意義。數概念的學習是一次次數系拓展的過程，數系的形成是一個越來越抽象的過程。在此過程中，學生需要不斷地借助直觀的數軸進行豐富的想象，才能形成對數的完整理解、立體認知。在借形理解的過程中，數形關系的互通是建構數概念體系的重要過程。

三、實踐案例

現以人教版小學數學四年級下冊《小數的意義》一課為例，具體闡述數概念建構中直觀想象運用的借形理解策略。

本課是學生在認識了整數以及初步認識了分數和小數的基礎上，進一步學習小數的意義，為后續學習小數的四則運算打基礎。學生在學習整數的過程中，對位值記數法、“滿十進一”有著豐富的經驗，能在具體情境中，借助十進分數理解小數表示的意思。但是，前測發現，學生對一個抽象的小數做圖示化的意義解讀，存在一定的困難。張奠宙先生認為：“小數的本質在于‘位置記數法的拓展，而不在‘十分之幾的表述。小數是將個、十、百、千等不斷擴大的位置計數方式，朝著另一個方向（‘不斷縮小的位置計數方式）加以延伸，是整數的延續。”［3］由此，本課應當強化小數與整數的關聯，引導學生通過十進位置制記數法的拓展理解小數的意義。借形理解策略可以在這樣的學習目標引導下逐漸展開，助力學生立體建構小數的概念。

（一）借直觀之形，理解量之間的關系，初步形成小數的表象

【教學活動1】 畫指定長度的線段

教師先出示3、0.3、30、0.03這四個數，請學生讀一讀、認一認；再加上長度單位“厘米”，提出任務要求“在半張A4紙上畫出這四個長度的線段”，讓學生自主完成、小組討論。

這一活動，一方面立足學生的知識起點，以“計數單位”為核心，借助直觀的長度模型——線段，讓學生在具體畫線段的過程中，感知小數的意義、小數與十進分數的聯系；另一方面，利用成組出現的四個數據，建立整數和小數的聯系，促進十進位值制的遷移。

由于紙張大小以及操作精度的限制，在這個活動中，3厘米和0.3厘米容易被畫出來；而30厘米和0.03厘米一個太長，一個太短，很難被畫出來。因此，教學反饋主要分兩個層次：

一是3厘米和0.3厘米是怎么畫出來的。結合線段圖，引導學生重點理解3厘米是3個1厘米，和單位“1”建立聯系；0.3厘米是3個0.1厘米，說明把1厘米平均分成10份，其中的3份是就是0.3厘米，也即310厘米。

二是30厘米和0.03厘米畫不出來怎么辦。引導學生在想象畫線段的過程中，理解30厘米是3個10厘米，或30個1厘米；0.03厘米是3個0.01厘米，說明把0.1厘米再平均分成10份，其中的3份就是0.03厘米，也即3100厘米，或把1厘米平均分成100份，其中的3份就是0.03厘米。

畫線段活動聚焦數的大小，在紙上反映出來也就是線段的長度。基于度量情境，在畫圖、觀察、比較和說理等豐富的數學活動中，借形理解1厘米這一基本單位，感知小數概念的表象，實現小數與分數、整數的連接以及數概念教學的整體性和一致性。

（二）借關聯之形，理解數之間的關系，建構小數的本質內涵

【教學活動2】 看圖寫數

教師出示圖1，提出問題：這四幅圖表示了四個數，你認為表示的是哪四個數？怎么想的？讓學生獨立思考、同桌交流。

這一活動，引導學生建立圖形與數的關系，借助有關聯的圖形，獲取數之間的關系。教學反饋主要分三個層次：

一是把小正方體看成1。學生基于整數學習的經驗，把一個小正方體看成1，根據圖形的特點，得到10個一是10，10個十是100，10個百是1000，從而認為這四幅圖表示的數分別是1000、100、10、1。

二是把大正方體看成1。學生往另一個方向思考（退位的方向），把1個大正方體看成1，表示的數依次就變成了1、0.1、0.01、0.001。教師引導學生說明：把1平均分成10份，其中的1份就是0.1，也就是110；把0.1再平均分成10份，其中的1份就是0.01，也就是1100；把0.01再平均分成10份，其中的1份就是0.001，也就是11000。

三是把任意一個圖形看成1。在變化比較中，學生受到啟發，認識到可以把這四幅圖中的任意一個看成1，根據它們之間的十進關系，得到不同的數。

隨即，教師出示圖2，提出問題：如果把左邊的大正方體看成1，右邊的這幾幅圖合起來表示幾？學生回答后，教師追問：為什么表示0.22？引導學生認識到，這幾幅圖表示22個0.01或2個0.1加2個0.01。

以圖形化問題為載體，從圖形中獲得直觀想象的能力，即從圖中獲取合理的思維，認識從形入手，掌握從形起步，這也是借形理解的重要價值。這個環節，以正方體為載體，建立直觀模型，突出1的關鍵作用，幫助學生理解小數概念的本質：以1為基本單位，可以向大小兩個方向延伸，得到整數和小數；整數是計數單位的累加，滿足十進制；小數是計數單位的均分，滿足十分制。

（三）借結構之形，理解數的整體性，獲得小數的系統認識

在利用看得見長度、體積的線段、方塊圖，引導學生充分認識小數的意義的基礎上，再利用半抽象的計數器和數線模型，幫助學生系統建構小數的概念。

【教學活動3】 在計數器上表示數

這個活動主要分兩個層次。一是在計數器上表示0.22，交流時聚焦計數單位。二是在0.22的基礎上接著往下撥數，先一起數，計數器停在0.29時問：“再加一個0.01是幾？你是怎么寫的？”辨析得出10個0.01就是0.1。繼續問：“再撥幾個又要前進一位了？為什么？”辨析得出10個0.1就是1.0。

由此，從整數和小數聯系的角度進行小結：數數也就是數計數單位的個數，都是滿十進一。該活動借助計數器，緊緊圍繞著十進位值制，幫助學生融合小數與整數的進率與位值，建構更為完整的記數系。

【教學活動4】 在數線上表示數

教師出示圖3，布置任務：在數線上找出各個小數的位置。請學生獨立完成。

反饋時重點交流0.72和1.3是如何確定的。0.72里有7個0.1和2個0.01，基于前面的學習，學生容易正確解答。對于1.3，學生可能出現的問題是標在0.13或1.03的位置。根據學生的真實錯誤，突出小數的計數單位，在辨析過程中明確數線上的1，以及1.3里有13個0.1。

該活動借助數線模型，進一步抽象數的直觀表征，并且把小數納入有理數的體系中，化形散為神合，發現數與數線上點的一一對應關系。［4］

回顧整節課的學習，借形理解是直觀想象的典型特點：借線段之形、關聯之形和結構之形，強化小數與整數的關聯，結合十進制位值記數法的深刻認識，理解小數的意義。以“線段、立方體、計數器、數線”為載體的“形”，在助力學生理解小數的意義、感受小數的本質、建構小數概念的過程中，起到了重要的作用。

參考文獻：

［1］ 史寧中.基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013：3-7.

［2］ 吳增生.“有理數”單元教學研究：在教育神經科學視野下［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（4）：60.

［3］ 張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等.小學數學教學研究［M］.北京：高等教育出版社，2010：89-94.

［4］ 費嶺峰.三重認知，助力數概念立體建構——人教版四下“小數的意義”教與思［J］.小學數學教師，2018（7/8）：105-108.