從一道2022年清華大學強基計劃試題談起

周志國

(江蘇省淮安市盱眙中學 211700)

2022年清華大學強基計劃第9題(下稱“題1”)為:已知a2+ab+b2=3,求a2+b2-ab的最大值和最小值．

類似地,2022年全國新高考數學Ⅱ卷第12題(下稱“題2”)為:若實數x,y滿足x2+y2-xy=1,則( )．

A．x+y<1 B．x+y≥-2

C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1

題1關于a,b對稱,我們用代換a=x+y,b=x-y,這樣可以直接將已知條件轉化為x與y的平方形式,容易確定x與y的取值范圍．

對于題2,可以用代換x=a+b,y=a-b,這樣所求式轉化為關于a,b的式子,問題的判斷變得比較簡單．

題1的解 設a=x+y,b=x-y,則3=a2+b2+ab=(x+y)2+(x-y)2+(x+y)(x-y)=3x2+y2,所以y2=3(1-x2)≥0,故0≤x2≤1．因此,a2+b2-ab=(x+y)2+(x-y)2-(x+y)(x-y)=x2+3y2=x2+9(1-x2)=9-8x2∈[1,9],故a2+b2-ab的最大值為9,最小值為1．

下面再給出利用上述代換法解題的實例．

例1(2012蕪湖一中自主招生)已知x,y是實數且滿足x2+xy+y2-2=0,設M=x2-xy+y2,求M的取值范圍．

解 設x=a+b,y=a-b,則2=x2+xy+y2=3a2+b2,所以b2=2-3a2≥0,于是因此

例2(2015年全國初中數學聯賽試題)已知實數x,y滿足xy-x-y-1=0,則x2+y2的最小值為( )．

例3(2015年全國初中數學聯賽試題)已知實數x,y滿足x2+xy+y2=3,則(x-y)2的最大值為．

解令x=a+b,y=a-b,則有3a2+b2=3,從而0≤b2≤3,于是(x-y)2=4b2≤12．因此,(x-y)2的最大值為12．

例4(2012年全國初中數學聯賽試題)已知實數a,b滿足a2+b2=1,則a4+ab+b4的最小值為( )．

例5(2021年德國數學奧林匹克試題)已知實數a,b滿足a2+b2=2,求證:3a+3b+ab≥-5．