數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之建模能力的培養(yǎng)

王玲玲

近年來隨著素質(zhì)教育的貫徹落實(shí)，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以通過引導(dǎo)的方式來鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)據(jù)和所提供的信息進(jìn)行建模，并充分地關(guān)注和了解學(xué)生建模過程中遇到的問題和困惑，及時(shí)幫助學(xué)生解答，從而在提升學(xué)生建模思維能力的同時(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量和水平。為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)建模知識(shí)的理解和建模思維的發(fā)展，教師必須注重在三維建模的過程中將學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)特點(diǎn)與教學(xué)內(nèi)容充分融合，并鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度對(duì)知識(shí)進(jìn)行探究和學(xué)習(xí)，讓所學(xué)知識(shí)不再局限于表面，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感知意識(shí)和能力。基于此，本文以蘇教版下冊(cè)七年級(jí)“生活中的不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探究初中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)策略。

數(shù)學(xué)源于人們?nèi)粘５纳钆c生產(chǎn)，不論在哪個(gè)階段都與現(xiàn)實(shí)實(shí)踐和解決現(xiàn)實(shí)問題無(wú)法分割。到如今，數(shù)學(xué)不僅是通過空間結(jié)構(gòu)和關(guān)系數(shù)量而生成的一種現(xiàn)實(shí)性抽象科學(xué)，而是已經(jīng)發(fā)展為一門具有邏輯性和應(yīng)用性的學(xué)問，對(duì)計(jì)算的嚴(yán)密性和創(chuàng)造性都有所幫助。隨著時(shí)代的進(jìn)步與科技的發(fā)展，尤其是計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)科學(xué)的有結(jié)合，數(shù)學(xué)已經(jīng)不再是單純的數(shù)字科學(xué)，而是通過以模型的形式和思想運(yùn)用在社會(huì)生產(chǎn)和人類生活中必不可少的一門學(xué)問。由此可以看出，數(shù)學(xué)與人類生活息息相關(guān)，數(shù)學(xué)建模已被納入數(shù)學(xué)教學(xué)，成為《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中五大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。在多地區(qū)的新課改過程中，數(shù)學(xué)建模也屢屢被提及。由此可見，數(shù)學(xué)建模對(duì)滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想逐漸成了數(shù)學(xué)教育改革發(fā)展的重中之重。

一、數(shù)學(xué)建模教育的育人價(jià)值

（一）符合當(dāng)前素質(zhì)教育的主流方向

以往受應(yīng)試教育的影響，教師更關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，在實(shí)際教學(xué)過程中，以課本上的學(xué)習(xí)內(nèi)容為主，對(duì)學(xué)生進(jìn)行填鴨式教育，課下要求學(xué)生做大量習(xí)題，以進(jìn)行知識(shí)的復(fù)習(xí)和鞏固。但是在素質(zhì)教學(xué)理念已經(jīng)深入人心的現(xiàn)階段，教師在教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的綜合素養(yǎng)，從思維方向?qū)W(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)完基礎(chǔ)知識(shí)后，在應(yīng)用過程中可以達(dá)到事半功倍的效果。在現(xiàn)階段的教學(xué)中，教師可以通過建模教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將學(xué)生帶入整體模型的構(gòu)建中，進(jìn)而豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，同時(shí)逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造意識(shí)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更深入，向著更高層次邁進(jìn)，這是教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)的目標(biāo)，也是當(dāng)前素質(zhì)教育的主流方向。

（二）激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力以及學(xué)習(xí)興趣

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，建模模型種類不一。不同的數(shù)學(xué)問題，需要采用不同的建模模型解決，這就要求學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)理論知識(shí)，通過獨(dú)立思考，選擇更合理的解題方法。在此過程中，學(xué)生既可以鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以提升數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。因此教師要利用建模思維，構(gòu)建高效、實(shí)用的教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的探索欲。

（三）提高學(xué)生知識(shí)理解力

初中數(shù)學(xué)的概念與公式更復(fù)雜，學(xué)生只有正確掌握概念與公式內(nèi)容，才能不斷提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。教師通過構(gòu)建建模模型，可以將概念與公式中晦澀難懂的知識(shí)直觀地呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生可以快速了解新知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的理解能力。

（四）增強(qiáng)學(xué)生獨(dú)立思考能力

在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模知識(shí)的過程中，教師要根據(jù)這類知識(shí)進(jìn)行分析和指導(dǎo)，并結(jié)合自身思維進(jìn)行思考和判斷，將題目中已知的條件、自己對(duì)題目的理解以及自己所學(xué)的各種理論知識(shí)轉(zhuǎn)化成實(shí)際的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生不僅要觀察模型是否正確、是否符合題目的實(shí)際要求，還要將其代入現(xiàn)實(shí)中，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際生活。在這種教學(xué)模式下，教師要鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，同時(shí)要鍛煉學(xué)生收集信息、處理信息以及分析信息的能力，進(jìn)而在拓寬學(xué)生知識(shí)面的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，改善當(dāng)前應(yīng)試教學(xué)模式以及教學(xué)思路，真正使學(xué)生成為課堂的主體，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、以“生活中的不等式”為例探究學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

（一）教材分析

不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間不等關(guān)系的有效的數(shù)學(xué)模型，是學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次方程等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，本章是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元一次方程和二元一次方程組的基礎(chǔ)上展開的，也是本學(xué)期代數(shù)學(xué)習(xí)的最后一章，對(duì)初二研究不等式與函數(shù)以及方程的關(guān)系有重要價(jià)值。

研究不等關(guān)系在實(shí)際生活中有重要意義，在日常生活中，人們常用不等式（組）進(jìn)行估算，如核定價(jià)格范圍、投資決策、工程預(yù)算以及生活中的支出比較等。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，也常常利用不等式的相關(guān)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題，如比較大小、求取值范圍等。

（二）學(xué)情分析

七年級(jí)的學(xué)生經(jīng)過一學(xué)期的學(xué)習(xí)，已經(jīng)有了初步的抽象思維和一定的代數(shù)分析能力。上學(xué)期已經(jīng)學(xué)過代數(shù)式和一元一次方程的有關(guān)知識(shí)，并且學(xué)生在小學(xué)階段也對(duì)數(shù)的大小比較有了一定的了解，只是未涉及含未知數(shù)的不等式，對(duì)學(xué)生來說可能有些抽象。在教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的遷移運(yùn)用，前面學(xué)過的一元一次方程表示的是等量關(guān)系，列方程的依據(jù)也是找等量關(guān)系，遷移到不等式上，不等關(guān)系是否也可以用類似的式子來表示，借助不等號(hào)“＞”“＜”“≥”或“≤”？另外，以前學(xué)習(xí)過的一些文字表達(dá)中也蘊(yùn)含著不等關(guān)系，如“非負(fù)數(shù)”表示大于等于0的數(shù)，這些關(guān)鍵詞要特別注意。

（三）設(shè)計(jì)思路與理念

教師利用生活中的簡(jiǎn)單實(shí)例，從相等關(guān)系到不等關(guān)系，從方程到不等式，自然地引出不等式的概念，再通過舉例讓學(xué)生加深對(duì)概念的理解，學(xué)會(huì)識(shí)別不等式，并能將生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，將新知識(shí)與舊知識(shí)相結(jié)合，理解“非負(fù)數(shù)”“最大”“不低于”中蘊(yùn)含的不等關(guān)系，為后續(xù)利用不等式解決數(shù)學(xué)問題打下基礎(chǔ)。

（四）教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境。

教師可以創(chuàng)設(shè)以下情境：隨著交通日益發(fā)達(dá)，越來越多的家庭有了私家車，大大方便了人們的生活和工作，但同時(shí)也存在一些交通安全問題，因此遵守交通規(guī)則，人人有責(zé)。同學(xué)們，圖中的交通標(biāo)志大家都熟悉嗎？（教師展示ppt圖片，如圖1所示，請(qǐng)學(xué)生說一說，初步感受生活中的不等關(guān)系。）

探究：請(qǐng)用適當(dāng)?shù)氖阶颖硎鞠铝懈髑榫持械臄?shù)量關(guān)系。

（1）小明的爸爸開著貨車行駛在公路上，行駛速度為vkm/h。

（2）李強(qiáng)身高170cm，王華比李強(qiáng)高，王華的身高為xcm。

（3）一輛30座的公交車載有a名乘客，途中上來3名乘客后，剛好滿載。

（4）一輛30座的公交車載有a名乘客，途中上來3名乘客后，仍有空位。

（5）長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬分別為a，5，周長(zhǎng)為20。

（6）邊長(zhǎng)為b的正方形的面積不超過10m2。

（7）y與4的和比3大。

（8）已知一個(gè)等腰三角形的頂角為m°，底角為20°。

學(xué)生回答：

（1）v≤100 （2）x＞170

（3）a+3=30 （4）a+3＜30

（5）2（a+5）=20 （6）b2＜10

（7）y+4＞3 （8）m+20*2=180

問題1：觀察上面8個(gè)式子，你能給它們分類嗎？

問題2：你分類的依據(jù)是什么？它們有什么共同特征？

問題3：你還能再舉幾個(gè)例子嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生很容易將（1）（2）（4）（6）（7）分為一類，（3）（5）（8）為一類。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考為什么這樣分類，有何依據(jù)。（3）（5）（8）是前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過的方程。今天我們就來具體學(xué)習(xí)第一種分類。

補(bǔ)充：教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系前面所學(xué)內(nèi)容，聯(lián)想三角形中三邊關(guān)系可以用不等式來表示，以及第8章中同底數(shù)冪的除法中的0次冪的規(guī)定a0=1（a≠0）對(duì)底數(shù)a的限制條件也是不等式，這樣更好地幫助學(xué)生理解不等式的意義以及在生活和數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。

2.概念生成。

定義：像v≤100、x＞170、a+3＜30、b2＜10、y+4＞3等，用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫不等式。

不等符號(hào)：除了小學(xué)學(xué)過的“＞”“＜”“≠”，還有“≥”“≤”。

教師可以適當(dāng)補(bǔ)充對(duì)比上學(xué)期學(xué)習(xí)一元一次方程的概念，同樣，只含一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不為0的不等式稱作一元一次不等式，它與一元一次方程之間既有聯(lián)系也有區(qū)別，這里作為初步了解，后面再探究。

判一判：下面哪些式子是不等式？為什么？

（1）5＜0；（2）5a＞3－a；（3）4x+6；

（4）a－1≥0；（5）S＝a2；（6）y≠3

用不等式表示下列數(shù)量之間的關(guān)系：

（1）設(shè)火車的行駛速度為vkm/h，火車提速后，最高可達(dá)350km/h。

（2）我校男子百米賽跑的紀(jì)錄是9.2s，小力今年百米賽跑的成績(jī)是xs，并打破了紀(jì)錄。

（3）a的2倍比它的倒數(shù)小。

（4）北京市今日的最低氣溫為5℃，現(xiàn)在氣溫為t℃。

（5）y的一半與5的差是非負(fù)數(shù)。

（6）某多邊形的內(nèi)角和大于1080°，多邊形的邊數(shù)是n。

3.例題解析。

例1：學(xué)校組織春游，決定分別租用45座和60座兩種型號(hào)的客車x輛，y輛，兩種客車的總載客量不超過600人，請(qǐng)列出相應(yīng)的不等式。

例2：小麗種了一棵高80cm的小樹，假設(shè)小樹平均每周長(zhǎng)高2cm，x周后這棵小樹的高度不超過100cm，請(qǐng)列出相應(yīng)的不等式。

通過兩道例題為學(xué)生展示如何根據(jù)實(shí)際問題分析并正確列出不等式，幫助學(xué)生鞏固列不等式的步驟，為后面學(xué)習(xí)用一元一次不等式解決問題做好鋪墊。

4.課堂小結(jié)。

數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題步驟：

（1）閱讀、理解所研究的實(shí)際問題；

（2）構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（3）求解模型（用數(shù)學(xué)知識(shí)解題）；

（4）反饋這四步的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，這需要學(xué)生能夠讀懂題意，明確解決問題所需要的知識(shí)，從而建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。

5.課后作業(yè)。

你能比較20202021和20212020的大小嗎？

為解決這個(gè)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先探究nn+1和（n+1）n的大小關(guān)系（n≥1，且n為自然數(shù)）。為了探索其規(guī)律，可以從n=1，n=2，n=3……這些簡(jiǎn)單的情形入手，從中觀察、比較、猜想、歸納，并得出結(jié)論。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課是概念教學(xué)，通過實(shí)例導(dǎo)入讓學(xué)生在具體情境中體驗(yàn)不等關(guān)系，知道不等關(guān)系在數(shù)學(xué)上也可以用式子來表示，并且能夠根據(jù)自身的生活經(jīng)驗(yàn)舉例，然后結(jié)合實(shí)例的特征用自己的語(yǔ)言表達(dá)什么是不等式；會(huì)根據(jù)給出的數(shù)量之間的不等關(guān)系列出不等式，恰當(dāng)使用不等號(hào)；能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型解決問題。在構(gòu)建模型的過程中，教師要注意利用模型情境，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)建模技巧，同時(shí)教學(xué)要貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的真實(shí)性。

（一）創(chuàng)設(shè)模型情境，探究建模技巧

數(shù)學(xué)建模技巧是數(shù)學(xué)模型情境中的重要內(nèi)容，對(duì)加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知和思考具有非常重要的作用。隨著多媒體信息技術(shù)的迅速發(fā)展，初中數(shù)學(xué)教師可以借助多媒體信息技術(shù)將數(shù)學(xué)情境為學(xué)生構(gòu)建出來，不僅可以有效引導(dǎo)學(xué)生共同參與數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)，而且可以有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知興趣，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力更活躍。在這個(gè)過程中，教師也可以運(yùn)用相應(yīng)的習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生思考，并結(jié)合所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，讓學(xué)生的思維感知得到充分發(fā)展，滿足學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求，讓整體數(shù)學(xué)課堂變得更高效，使學(xué)生對(duì)建模的認(rèn)識(shí)更深入。

（二）貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的真實(shí)性

通過了解數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)，數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)建模的過程中應(yīng)該運(yùn)用現(xiàn)實(shí)問題來進(jìn)行現(xiàn)實(shí)表達(dá)，以貼合實(shí)際的方式潛移默化地影響學(xué)生的思維，讓其認(rèn)同數(shù)學(xué)模型的實(shí)用性。

第一，努力將建模知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活相融合。教師要考慮學(xué)生的興趣愛好及所面臨的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提升其解決問題的能力，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)為生活創(chuàng)造的價(jià)值及應(yīng)用性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和探索精神。

第二，建模教育必須與實(shí)際數(shù)學(xué)情況相融合。隨著時(shí)代發(fā)展及新課改的深入，越來越多的教師明白了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的重要性，實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)可以從學(xué)生積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和原理來搭建現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的基本體系，然后通過教師在建模教育的過程中考慮其中的現(xiàn)實(shí)問題，讓學(xué)生理解其中的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生自主思考的能力。

第三，建模教育一定要與其他學(xué)科融合發(fā)展。建模教育不僅是數(shù)學(xué)理念，在其他學(xué)科中也有所聯(lián)系和涉及，可以作為建模教育的基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，幫助學(xué)生從多個(gè)角度認(rèn)識(shí)和理解建模教育。教師還應(yīng)特別觀察與注重學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和學(xué)習(xí)方式，通過更科學(xué)合理的實(shí)踐過程，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解與應(yīng)用，使實(shí)踐過程從實(shí)際情況中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，特別是簡(jiǎn)化實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模擬。