數學核心素養落地了嗎
——兼評《折線統計圖》一課

文|劉 松（特級教師）

在一次工作室日常研修活動中，有教師提問：“眾所周知，小學學習的折線統計圖屬于統計與概率領域內容。但有一種觀點說，統計不屬于數學，這該如何理解？”對此，筆者曾經也有類似的困惑。其實，關于數學與統計的關系，在學術界爭論了很久?，F在，許多大學把數學和統計都列為一級學科，似乎已經很明白地表達了兩者間的關系。2005年，美國國家科學獎獎章獲得者布拉德利·埃弗隆曾撰文用圖示清晰地表達了統計學與數學之間的關系（如圖）。對我們小學教師而言，需要明白的是，統計學當然不是（純粹）數學，甚至都不是應用數學?？墒墙y計學和數學是有交集的，但又不是包含關系。數學與統計學的交集部分一般我們統稱為數理統計。數理統計是數學的一個分支，分為描述統計和推斷統計。它以概率論為基礎，研究大量隨機現象的統計規律性。描述統計的任務是搜集資料，進行整理、分組，編制次數分配表，繪制次數分配曲線，計算各種特征指標，以描述資料分布的集中趨勢、離中趨勢和次數分布的偏斜度等。推斷統計是在描述統計的基礎上，根據樣本資料歸納出的規律性，對總體進行推斷和預測。很顯然，中小學階段學習的統計與概率領域內容屬于數理統計的范疇。

再來看看不同版本的《義務教育數學課程標準》中，關于統計與概率部分的相關要求與表述。

《義務教育數學課程標準（2001年版）》中，有六大核心詞，統計觀念位列其中。關于統計觀念的解釋為：主要表現在能從統計的角度思考與數據信息有關的問題；能通過收集數據、描述數據、分析數據的過程作出合理的決策，認識到統計對決策的作用；能對數據的來源、處理數據的方法，以及由此得到的結果進行合理的質疑。

第二學段相關的知識與技能目標是：經歷收集、整理、描述和分析數據的過程，掌握一些數據處理技能。在本學段中，學生將經歷簡單的數據統計過程，進一步學習收集、整理和描述數據的方法，并根據數據分析的結果作出簡單的判斷與預測。在教學中，應注重所學內容與現實生活的密切聯系；應注重使學生有意識地經歷簡單的數據統計過程，根據數據作出簡單的判斷與預測，并進行交流。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）中，六大核心詞擴充為十個，其中統計觀念改稱為數據分析觀念，具體內涵包括：了解在現實生活中有許多問題應當先作調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊含著信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面，對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同；另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發現規律。數據分析是統計的核心。

第二學段具體知識技能目標為：經歷數據的收集、整理和分析的過程，掌握一些簡單的數據處理技能。認識條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖；能用條形統計圖、折線統計圖直觀且有效地表示數據。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）提出了11 個數學核心素養，其中，2011年版中的數據分析觀念分成了兩段。小學階段稱之為數據意識，主要是指對數據的意義和隨機性的感悟。知道在現實生活中，有許多問題應當先做調查研究，收集數據，感悟數據蘊含的信息；知道同樣的事情每次收集到的數據可能不同，而只要有足夠的數據就可能從中發現規律；知道同一組數據可以用不同方式表達，需要根據問題的背景選擇合適的方式。形成數據意識有助于理解生活中的隨機現象，逐步養成用數據說話的習慣。初中階段稱之為數據觀念，具體內涵是：數據觀念主要是指對數據的意義和隨機性有比較清晰的認識。知道數據蘊含著信息，需要根據問題的背景和所要研究的問題確定數據收集、整理和分析的方法；知道可以用定量的方法描述隨機現象的變化趨勢及隨機事件發生的可能性大小。形成數據觀念有助于理解和表達生活中隨機現象發生的規律，感知大數據時代數據分析的重要性，養成重證據、講道理的科學態度。

縱觀前后二十年，義務教育階段的數學課程標準中關于數據觀念內涵表述的變化，我們似乎可以明白一些道理。比如，為什么2011、2022年版課標中都不再提統計觀念了？顯然，上述工作室研修活動時教師的提問和這個問題有一定關系。因為，如果統計學和數學并列，那么統計觀念就不僅僅是數學這一門學科努力的方向。既然中小學階段學習的統計與概率內容主要屬于數理統計的范疇，那么，數據分析觀念自然就成了核心。所以，2011年版課標中不提統計觀念了，但在解釋數據分析觀念的內涵時，特意強調了：數據分析是統計的核心。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）（以下簡稱“高中數學課程”）中，數據分析和數學運算、數學建模、數學抽象、邏輯推理、直觀想象并列為數學六大核心素養之一。數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養。數據分析過程主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論。數據分析是研究隨機現象的重要數學技術，是大數據時代數學應用的主要方法，也是“互聯網+”相關領域的主要數學方法，數據分析已經深入到科學、技術、工程和現代社會生活的各個方面。數據分析主要表現為：收集和整理數據，理解和處理數據，獲得和解釋結論，概括和形成知識。通過高中數學課程的學習，學生能提升獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力；適應數字化學習的需要，增強基于數據表達現實問題的意識，形成通過數據認識事物的思維品質，積累依托數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗。

很顯然，高中數學課標中提到的數據分析素養，是指針對研究對象獲得相關數據，運用統計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論。特點：針對研究對象獲得相關數據，運用統計方法對數據中有用的信息進行分析和推斷，最終形成知識的過程。步驟：主要包括收集數據、整理數據、提取信息，然后構建模型并對信息進行分析、推斷，最終獲得結論。作用：數據分析素養能夠有效提高學生的數據處理能力，增強學生基于數據表達現實問題的意識，養成學生通過數據思考問題的習慣，還能幫助學生積累依托數據探索事物本質、事物間的關聯和內在規律的活動經驗。

看了高中階段數據分析素養的內涵特點及屬性等，我們就多多少少會明白2022年版課標中關于數據意識及數據觀念素養內涵的表達。數據意識及數據觀念是數據分析素養在不同學段的具體體現，如此表述，充分體現了數據分析素養內涵的一致性與階段性。關于數據分析素養，始終離不開數據收集與整理、數據分析與表達、獲得結論與知識等核心步驟。

對照2022年版課標中數據意識核心素養的具體變現，我們回望謝弘曄老師和董景勛老師的《折線統計圖》一課，素養真正落地了嗎？這可能是當下乃至今后很長一段時間，我們觀課、評課的主要切入點。因為，2022年版課標的頒布和實施，要求我們在教學設計與實踐時，必須關注兩件事情，一是設計之初的目標定位是否素養導向，二是每個教學環節的推進與實施能否保證素養落地，如果最終不能保證核心素養的落地，一切都是一場空。

這里再明確三個基本認知，一是數學核心素養的達成，一定要靠每節課去落實；二是每個知識點和每個核心素養之間并不是簡單的一一對應關系；三是每節課不一定只落實一個數學核心素養，但一定有主要的核心素養目標。很顯然，《折線統計圖》一課，主要達成的數學核心素養應是數據意識。

謝老師和董老師對《折線統計圖》一課的教學思考與實踐，緊跟時代研究的熱點。謝老師做了學情的實證調研，然后基于學生真實學情，以單元整合的方式開展教學，單式和復式折線統計圖一節課上完。董老師也同樣充分基于學情，采用教學評一致的方式組織教學，值得肯定。當然，兩位教師的教學也存在許多需要改進的地方，但從數學核心素養落地的視角，兩位教師每人至少有兩處值得借鑒。

先看謝老師的教學片斷。

【片斷一】

師：學校每月都會舉行踢毽子比賽。經過層層選拔，班級中有兩位學生（小李和小胖）踢毽子比較好，如果每班選一人參加，你推薦哪位同學代表班級去參賽呢？

生：小胖去，重心比較穩。

生：小李去，小胖太胖了。

生：不能光看外貌，這樣不靠譜，要看他們的實力。

師：你們想調查什么？

生：讓他們當場踢一下，誰踢得多誰去。

生：一次有偶然性，要連續幾天測試。

師：你們和老師想的一樣，我們要用數據來說話。

課伊始，謝老師就創設了情境，意在讓學生養成依據數據作出判斷的習慣，也就是養成用數據說話的習慣，這就是數據意識。當然，有教師可能會質疑，這并非本節課專屬。沒錯！整個統計與概率部分教學的每節課都要落實用數據說話的習慣，《折線統計圖（含復式）》一課自然也不能例外。

【片斷二】

師：我們用統計表、條形統計圖、折線統計圖等形式整理了數據，也經過了一定的分析，現在你認為派誰去合適呢？（出示條形統計圖和折線統計圖）說說你是依據哪幅圖得到的。

生：派小胖去，從復式折線統計圖中可以看到小胖的成績一直往上。

師：你預測一下，下一次小胖可能會踢幾個？

生：100 個或102 個，后一次總比前一次要多踢2 個或4 個。

師：你是從前面的數據推理得到的，有不同的想法嗎？

生：我覺得不一定，下一次小胖也可能失誤了，可能比第一次踢得還要少。

師：有這種可能，但從總體趨勢上看，增長的可能性比較大。

生：從復式條形統計圖中看應該派小李去，看最好成績，萬一小李發揮出最佳水平呢？

師：是的，以前從條形統計圖中能看出數量的多少，現在我們認識了折線統計圖，不但能看出數量的多少，還能看出數量的變化情況。有了數據，我們就有了抉擇和推測的依據，雖然最終沒能統一意見，但經歷了這樣的統計過程，你一定有所收獲，談談你們的收獲吧。

生：要通過數據來分析問題。

生：折線統計圖更能反應一組數據變化的趨勢。

生：數據只能推測，但不是肯定的，可能會出現意外。

師：是的，一般來說，數據越多，我們的預測越合理。

此環節，不僅讓學生知道同一組數據可以用不同方式表達，更重要的是，直指數據意識的本質。數據意識是指對數據的意義和隨機性的感悟。很顯然，謝老師的情境創設意在讓學生體會數據的意義，即沒有數據不便或無法作出判斷。但僅僅依靠數據，也并非可以作出完全肯定的判斷，還要考慮到數據的隨機性。上述問題，最終作出何種選擇，還取決于決策者當時的心態、取向等綜合因素。一句話，作出判斷時，沒有數據不理性，但如果只依靠數據作出判斷，也容易被“誤導”，數據越多，判斷越準確。當數據越多時，一個概念呼之欲出，那就是大數據。如果能感知大數據時代數據分析的重要性，養成重證據、講道理的科學態度，其實，課的立意就已經到了初中階段數據觀念的層面。

再看董老師的教學片斷。

【片斷一】

A 品牌家電1～4月份共計銷售560 臺，B 品牌家電1～4月份共計銷售600 臺。如果你是銷售主管，接下來會怎么進貨？觀察A與B 品牌折線統計圖，又有什么新想法？

生1：我原來選的B，因為它總數賣得多，但是我現在選擇A。因為通過觀察折線統計圖，A 數量一直在上升，而B 一直在下降。

生2：我選擇A，A 是越來越多，B 是越來越少。

師：兩位同學不約而同都依據什么作出判斷？

生：都是銷售的變化情況。

師：我們原來是根據總數作出判斷，也可以根據平均數作出判斷。今天我們掌握了一種解決問題的新角度，是什么？

生：根據數量的增減變化作出決策和判斷。

此環節的意圖不僅僅是作者在課前思考中提到的：相比條形統計圖，表面是從“數量多少”到“數量變化趨勢”，學會數據進行分析、預測和推斷。實質是需要一個新的思考方式：從“確定”到“不確定”解決問題。還有另外一層深意，那就是在依據數據作出判斷時，正如2011年版課標所言，在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，而后再通過分析作出判斷。這里面牽涉到一個問題，就是收集的數據是最原始的，還是經過整理的。顯然，A、B 兩個品牌的家電4個月各銷售560 臺和600 臺，是經過計算后的數據。如果僅僅依據這兩個數據就作出下個月的進貨計劃，不是不可以，但當把數據細化后，則是另一種完全不同的選擇。從另一個側面，讓學生感悟到，數據越多，判斷可能越準確。

【片斷二】

生1：雖然她們的身高具體數值不同，但15～18 歲變化趨勢卻比較一致，增長的幅度都不大，由此可以預測小婷到18 歲很可能只比15 歲時增長2 厘米左右，即她18 歲的身高在170 厘米左右。

生2：只有三個女生的數據是否太少了，不說明一般情況，還可以收集更多的數據。（出示女生平均身高統計圖，略）

最后出示人類身高變化趨勢圖。

此環節很好地落實了2022年版課標中關于數據意識素養的一個內涵：知道同樣的事情每次收集到的數據可能不同，而只要有足夠的數據就可能從中發現規律。同一年齡段女生身高是同一件事，但每個人的身高數據不一樣，可是當人數足夠多時，身高數據就會呈現規律性。

行文至此，也許有教師會疑惑，之前看《折線統計圖》一課，更多關注的是教師有沒有引導學生明白折線統計圖的特點和屬性，與條形統計圖的區別和聯系，以及學會選擇何時選用折線統計圖合適等。作為數據表達的方式之一，這些當然還是要關注，但教學的立意不能僅僅停留在知識和技能層面，要“四基”統整，數學核心素養才能最終達成。

上述觀點只是筆者個人拙見，是否妥當，敬請各位方家指教！