以點為“核” 在比對中感知圖像的意義
——《正比例的圖像》教學及思考

文|年紅梅

【教學內容】

蘇教版六年級下冊第六單元。

【教學過程】

一、復習舊知

師：還記得什么是正比例嗎？

生：兩個量相除，如果除的結果是一個定值，這兩個量就成正比例關系。

生：成正比例的兩個量，它們的比值是一定的。

生：兩種相關聯的量，如果比值一定，這兩種量就成正比例關系。

【反思：回顧舊知，讓學生再次感受兩種相關聯的量需具備怎樣的條件才能構成正比例關系，為學生從圖像中感知兩種相關聯量之間變化關系做好鋪墊?！?/p>

二、借助直覺，猜想驗證

1.借助數學直觀進行猜想

師：仔細觀察表格中兩個量的變化成什么關系？

生：成正比例關系。

師：你知道圖1中橫軸和縱軸各表示什么嗎？

圖1

生：橫軸表示汽車行駛了多少小時，是時間；縱軸表示汽車行駛了多少千米，是路程。

師：在這張方格圖中，哪個點能表示出這輛汽車行駛1 小時與行駛80 千米路程的對應點？

生：先找出經過1 小時對應的直線，再找出經過80 千米對應的直線，兩條直線的交點就是1小時行駛80 千米對應的點。

師：第一步先在橫軸上找出1小時的點；第二步，過這個點畫與縱軸平行的直線；第三步，在縱軸上找出80 千米的點；第四步，再過這個點畫與橫軸平行的直線。這樣，兩次畫的直線的交點就是1小時行駛80 千米對應的點。

師：表格中的信息可以用下圖中的點表示。（圖2）

圖2

師：這張方格圖中，B 點表示這輛汽車行駛了多少小時？此時行了多少千米？

生：5 小時，行駛400 千米。

師：其他各點呢？想一想，與同伴交流一下。

（學生回答略）

師：方格圖中的這些點的變化趨勢是怎樣的？拿出你的手，把它的變化趨勢比劃一下。

師：同學們表示的很對，隨著時間的增加，路程也在不斷增加。

【反思：之所以把教材例2 中標好的帶點的方格圖改為直接呈現圖1不帶點方格圖，出發點是想讓學生根據表格中兩個相關聯的量體會兩個量之間的對應關系，從而經歷把這種對應關系用點表示出來的過程。讓學生用手勢來表示這幾組數據的變化趨勢，意在讓學生初步整體感受正比例圖像的特征。整個環節學生參與度高，學習興趣濃厚。通過由“形”到“數”的逆向思考，可以強化學生對數形結合的數學思想的感悟，同時再次體會兩種相關聯的量之間的對應關系，即比值一定。】

2.描點連線，驗證猜想

師：請同學們在《作業單》中的方格圖中（圖1），描出例題表格中各組數據對應的點并按照順序連接起來。

反饋：呈現幾個連點成線時線連接的不夠“平滑”的作品。交流在連點成線時要注意的事情。

師：連接圖中各點，你有什么發現？

生：把這些點連接起來，就成為一條直直的線。

生：我們還可以看出正比例圖像是一條直線。

師：在這條直線上任意一點都能找出一組對應的數值嗎？

小結：在這條直線上任意取一點，都能找出一組對應的數值。反之，一組對應的數值，也只能找出一個對應點。

師：（出示圖3，張強連接的圖像）請同學再次觀察，這些線是怎樣形成的？

圖3

生：先找點，再把這些點用平滑線連接起來。

師：也就是說，這些點都在同一條直線上，直線上任意一點都能直觀地看出汽車行車的時間，同時也能看出這輛汽車行車的路程，更能反映這輛汽車行駛的時間和路程之間的變化關系。

師：李銘連接的圖像是這樣的（圖4）。仔細觀察與張強連接的圖像有什么不同？

圖4

生：張強是根據表格中給出的數據連接的。所以，沒有從0 點開始連接。

生：表格里沒有出現0 小時和8 小時，所以我們都沒有從0 點開始連接。也沒有多“伸出去”一點。

師：你們覺得哪種連接好呢？

生：李銘連接得好。李銘連接的圖像不但能看出1 小時之前汽車行駛的路程，還能看出汽車7小時之后行駛的路程。

師：李銘的圖像雖然能看出1小時之前行駛的路程和7 小時之后行駛的路程，但表格中沒有給出數據呀！

師：同學們想一想，這輛汽車在運行時，需要不需要從零點幾小時開始運行？你再看表格中上下兩個省略號表示什么意思？由此你又有什么想說的？

生：李銘同學連接的圖更能說明表格中兩個省略號所表示的意思，兩者相比我們發現，李銘的圖像更合理、更接近事實。

【反思：通過找一找、畫一畫、連一連的操作活動，讓學生動手直觀感知并驗證正比例圖像的特點：兩個相關聯的量中，一個量變化，另一個量也隨著變化，但是在變化中存在不變———每組數據的比值一定，深度理解正比例圖像隱藏的變化規律。同時，考慮到學生按照教材表格中的數據來描點、連線，連出來的正比例圖像不會從0 點開始，而教材練習題中給出的正比例圖像則有從0 點開始連接的，基于發展性教學考慮，筆者通過兩種描點、連線的方法，通過比一比、說一說，讓學生感受兩種不同的連線結果之間存在的區別，結合實際，內化哪一種圖像更能描述汽車整個行駛的過程，并從中感受數學與生活之間聯系?！?/p>

三、看圖判斷，學會推理

師：你能不看表格，根據圖像直接判斷這輛汽車3.5 小時行駛多少千米嗎？

生：3.5 小時在橫軸上3 和4之間，3.5 小時往上畫垂線與這條斜線相交的點，在縱軸上的對應位置應當在240 和320 中間，也就是280 千米。

師：這僅僅是我們的推測，讓我們一起畫圖驗證。

（課件動態演示）

師：讓我們用同樣的方法試著找一找行駛520 千米需要多少小時？

生：520 千米在縱軸上480 和560 中間，圖像上對應的點在橫軸上的位置應當在6 和7 中間，是6.5 小時。

小結：線是由點構成的，從點的變化可以看出汽車行駛的路程在變化，汽車行駛的時間也在發生變化。隨著時間的增加，行駛的路程也越來越多，點的位置也越來越高。反之，時間越短，行駛的路程也就越少，點的位置就越來越低。不管時間和路程怎么變，這輛汽車的速度是不變的。

【反思：教師提出：“你能不看表格，根據圖像直接判斷這輛汽車3.5 小時行駛多少千米？”的問題，意在讓學生運用推理的方法，直接找出3.5 小時汽車行駛的路程。讓學生在方格圖上，用“作圖的方法”，畫出3.5 小時與圖像的交點，意在驗證前面的推理，為今后學習函數及函數圖像打下一定基礎?！坝眠@樣的方法在直線上任意找出幾個點，說說它們表示的意義”，意在引領學生經歷從直觀地看到憑空地想、最后實現抽象和建模的過程。這樣從靜態地看和想到動態地畫和連，從離散的點到連續的點，從有限的線段長到無限的直線，將抽象的路程、速度、時間這一數量關系與幾何直觀對接起來，實現了抽象思維與形象思維的結合，使正比例圖像的本質逐漸變得看得見、看得清、看得遠。讓學生深深體會到圖像中蘊含著數量關系式。】

四、課堂小結（略）