基于流體動力學的斜齒輪副攪油功率損失分析*

李靖靖 龐 峰 鄒玉靜

（1. 青島科技大學機電工程學院 山東青島 266061； 2. 青島市計量技術研究院 山東青島 266101）

隨著電動汽車減速器越來越向高速方向發展， 電動汽車輪邊減速器齒輪的圓周速度通常會達到30 m／s以上， 攪油損失在總功率損失中占很大比重。 因此， 研究齒輪攪油功率損失對提高傳動效率、 節約能源以及增加電動汽車的續航里程有著重大意義［1］。

針對齒輪的攪油損失， 國內外學者主要通過試驗、 理論、 仿真三個方面展開研究。 在試驗研究方面， 霍曉強和吳傳虎［2］對單個齒輪和一對齒輪的攪油損失進行了試驗研究， 發現轉速對攪油損失的影響大于油溫對攪油損失的影響， 并得出一對齒輪的攪油損失并不是兩個單齒輪攪油損失的簡單相加。 王葉楓等［3］針對電動汽車傳動系統高速減速箱， 設計了單個直齒攪油損失試驗臺架， 進行單個齒輪攪油損失試驗， 并分析了轉速和齒輪浸油深度對攪油損失的影響。 KOLEKAR 等［4］通過搭建試驗臺研究了流體特性對攪油損失的影響， 發現流體黏度、 密度和表面張力均影響攪油損失， 此外還發現外殼內的氣壓也會影響攪油損失。 CHEN 和MATSUMOTO［5］開發了一種新型的旋轉試驗臺進行攪油損失試驗， 研究發現除浸入深度和油黏度等已知因素外， 齒輪的相對位置和齒輪箱的殼壁形狀對攪動損失的大小也有顯著影響。

在理論研究方面， SEETHARAMAN 等［6-7］提出了基于物理學的流體力學模型來預測直齒輪副的攪油功率損失， 并通過試驗證明該模型能夠較好地預測攪油功率損失。 TALBOT 等［8］提出了一種新的流體動力學模型來預測由于空氣、 油或油氣混合物在斜齒輪嚙合中產生的功率損失， 并分析了流體壓力和流速隨時間的變化以及螺旋角、 轉速和油氣比對功率損失的影響。 郭棟等人［9］將齒輪攪油阻力矩分為三部分： 周面攪油阻力矩、 端面攪油阻力矩和嚙合區擠壓阻力矩，建立了直齒輪副攪油阻力矩的理論計算模型， 研究了轉速、 浸油深度和齒寬對齒輪攪油阻力矩的影響， 并得出嚙合區擠壓阻力矩占攪油阻力矩的比重較大。 王飛［10］在CHANGENET 和VELEX［11］提出的計算公式的基礎上加入了黏溫因子， 建立了考慮潤滑油黏溫關系的攪油功率損失計算公式， 并進行了實驗驗證。

隨著仿真技術的發展， 越來越多的學者開始采用仿真的方法來研究齒輪攪油損失。 GUO 等［12］基于移動粒子半隱式方法， 建立了單級齒輪攪拌油的數值模型， 試驗驗證了所建立模型的準確性。 GONG 等［13］提出了一種基于LBM 的三維瞬態兩相流模型， 用于確定電動汽車減速器的油液分布和攪油損失， 研究結果表明， 輸入轉速和油位對油液分布和攪油損失轉矩有重要影響， 而油溫影響較小。 梁文宏等［14-15］運用Fluent 軟件分別對單個斜齒輪和直齒輪的三維攪油流場和攪油功率損失進行了數值仿真， 通過仿真數據和試驗數據的對比， 證明了中低轉速條件下可以使用仿真的方法預估攪油功率損失值。 沈林等人［16］采用Fluent 軟件對一對嚙合齒輪的攪油損失進行仿真， 分析結果表明： 主動齒輪順時針轉向產生的攪油損失大于逆時針轉向產生的攪油損失； 傳動比越大， 攪油損失越大； 斜齒輪副的攪油損失大于直齒輪副的攪油損失。 王交龍等［17］采用移動粒子半隱式法（MPS） 分析了轉向和浸油深度對齒輪副攪油損失的影響， 分析結果表明： 逆時針轉向下的攪油損失和順時針轉向下的攪油損失之間的差距隨著浸油深度的增加而增大。劉驕［18］針對齒寬、 螺旋角、 浸油深度以及溫度4 個參數， 利用Particleworks 軟件分析了不同時刻下齒輪副的潤滑油分布， 總結了各參數對攪油損失的影響。

綜上， 國內外關于齒輪副攪油損失的研究大多是基于試驗和仿真展開， 而關于齒輪攪油的理論研究相對較少［19］。 本文作者提出一種能夠計算斜齒輪副攪油損失的理論計算模型， 并分析浸油深度、 轉速、 螺旋角、 齒寬、 模數對攪油損失的影響以及各部分攪油損失占總攪油損失的比重。

1 攪油損失計算模型

齒輪副攪油功率損失包含周面攪油功率損失、 端面攪油功率損失以及嚙合區擠壓功率損失三部分。

SEETHARAMAN 和KAHRAMAN［6］基于流體力學建立了齒輪副的攪油損失計算模型， 但該模型僅適用于直齒輪。 為此， 文中在該模型的基礎上提出一種能夠計算斜齒輪副攪油損失的計算模型： 在計算周面和端面攪油損失時均將齒輪假設為圓盤， 因此， 在計算周面和端面攪油損失時兩者沒有區別； 由于斜齒輪存在螺旋角， 在計算嚙合區擠壓功率損失時兩者存在不同， 為了計算出斜齒輪副嚙合區擠壓功率損失， 采用將斜齒輪沿接觸線劃分［20］為多個薄直齒輪的方法，所有薄直齒輪副嚙合區擠壓功率損失之和即為斜齒輪嚙合區擠壓功率損失。

為了簡化計算， 假設：

（1） 在齒輪中、 高速運行的情況下， 齒腔對攪油損失的影響非常小， 可以忽略不計， 因此， 在計算齒輪副周面攪油功率損失和端面攪油功率損失時， 忽略齒腔的影響， 將主動輪和從動輪均假設為圓盤， 圓盤半徑為齒輪的齒頂圓半徑；

（2） 忽略潤滑油的黏溫關系， 即在齒輪旋轉的過程中， 潤滑油的黏度和溫度恒定；

（3） 潤滑油為不可壓縮的牛頓流體， 即壓力的變化并不會改變潤滑油的密度和黏度；

（4） 假設油位為靜態油位， 雖然在實際情況中，油位會隨著齒輪的旋轉動態的變化， 但是， 在齒輪旋轉中一處油位的降低將平均掉另一處油位的增加， 因此， 靜態油位的假設也有一定的合理性；

（5） 忽略表面粗糙度對攪油損失的影響。 雖然粗糙峰可能會對流體的流動方向和運動形式產生影響，但只有粗糙度非常大時， 才會對攪油損失產生影響。

1.1 周面攪油功率損失

當齒輪表面與潤滑油接觸時， 在齒輪表面會產生一層很薄的附面層。 在附面層內， 流體的運動受黏度的影響， 產生摩擦阻力， 致使附面層內的流體速度減小， 從而造成功率損失。

由文獻［6］可知齒輪周面的攪油功率損失為

式中：μ為潤滑油的動力黏度；B為齒寬；rai為齒頂圓半徑；ωi為齒輪角速度；?i為浸油深度角度，如圖1 所示， 其計算公式為

圖1 齒輪副浸油模型Fig.1 Oil immersion model of gear pairs

式中：h為浸油深度，h＝0 代表油液面在中心線位置，h＞0 代表油液面在中心線以上，h＜0 代表油液面在中心線以下。

1.2 端面攪油功率損失

在計算端面攪油功率損失時， 分別考慮潤滑油層流和湍流兩種狀態。 采用雷諾數Re＝2ρωir2ai／μ來判斷潤滑油是處于層流狀態還是湍流狀態， 當雷諾數在105～106范圍內， 認為潤滑油的狀態為湍流。 潤滑油流過齒輪端面的運動被看作是流體流過平板的運動。

層流狀態下的端面攪油功率損失［6］為

湍流狀態下的端面攪油功率損失［6］為

式中：Ui為潤滑油流過齒輪側面的自由流速度；υ為潤滑油的運動黏度；Adfi＝?ir2ai為浸油面積。

1.3 嚙合區擠壓功率損失

一對浸入在油液中的齒輪副在嚙合時， 在嚙合區， 一齒輪的齒頂部與嚙合齒輪的齒根部會形成間隙， 如圖2 陰影部分所示； 隨著齒輪的旋轉， 頂隙的體積會減小或增大， 就會迫使儲存在頂隙內的潤滑油從頂隙的兩側周期性地擠出或吸入， 從而產生功率損失。 斜齒輪由于螺旋角的存在， 頂隙沿齒寬方向并不相等， 將斜齒輪沿接觸線分割為多個小薄片， 每一個小薄片都看作一個直齒輪。 斜齒輪嚙合功率損失為所有薄直齒輪的嚙合功率損失之和。

圖2 不同嚙合位置處齒輪副的徑向截面圖Fig.2 Radial section diagram of gear pair at different meshing positions： （a） m＝0； （b） m＝1； （c） m＝2； （d） m＝3

1.3.1 直齒輪的頂隙面積與體積

圖2 所示為一對直齒輪副在不同旋轉位置處的徑向截面圖， 圖2 （a） 顯示了齒輪副初始嚙合位置處頂隙的情況， 此時， 齒輪2 一輪齒的齒頂剛剛接觸齒輪1 一輪齒的輪廓線。 以頂隙面積S11為例， 隨著齒輪的旋轉， 頂隙面積S11先減小再增大； 當齒輪副旋轉到圖2 （d） 所示位置時， 頂隙面積S11達到最小值， 在此期間， 儲存在頂隙內的潤滑油被擠出； 隨后頂隙逐漸增大， 直到一個嚙合周期結束， 在此期間，頂隙周圍的潤滑油被吸入到頂隙內。

選取M個不同嚙合位置進行計算， 從初始嚙合位置到任意嚙合位置m處所經歷的時間t（m）＝m·tc／M（m∈［0，M-1］ ）， 其中tc＝（2Pn）／（ωrb）為嚙合周期，Pn為齒輪的法向齒距，rb為齒輪的基圓半徑。圖2 所示為M＝4 的情況。

下面以主動齒輪頂隙為例介紹齒輪頂隙面積的計算方法。 圖3 所示為主動齒輪在任意嚙合位置m處其中一頂隙面積的示意圖。 圖中， 陰影部分為頂隙面積， 點C代表任意時刻的接觸點， 點B代表初始接觸點；Qc2為從動齒輪2 相鄰兩輪齒間的齒槽面積；是由點B、D、E和F所圍成區域的面積，下標j代表第j個頂隙；是由點E、G、J和F所圍成區域的面積；是由點B、C、K所圍成區域的面積。在初始嚙合位置時， 面積的值為0； 隨著齒輪的旋轉，的面積會逐漸增大， 但與總面積Qc2相比，仍然非常小， 可以忽略。 因此， 主動齒輪1 在任意嚙合位置處第j個頂隙的面積［6］被定義為

圖3 頂隙的定義［6］Fig.3 Definition of tip clearance［6］

面積Qc2如圖4 （a） 所示， 其計算公式［6］如下：

圖4 計算各面積的參數［6］Fig.4 Parameters of calculating each area［6］： （a） the parameters of calculating Qc2； （b） the parameters of calculating； （c） the parameters of calculating

上式中各面積的計算公式［6］如下：

面積如圖4 （b） 所示， 其計算公式［6］如下：

上式中各面積的計算公式［6］如下：

面積如圖4 （c） 所示， 其計算公式［6］如下：

各面積的計算公式［6］如下：

圖4 中計算各面積所用到的相關角度見文獻［6， 21］。

1.3.2 斜齒輪的頂隙面積與體積

直齒輪的嚙合是整個輪齒同時進入或脫離嚙合，斜齒輪在嚙合時是由輪齒的一端逐步過渡到另一端，這樣的嚙合方式就使得接觸線的長度并不是保持不變， 而是由短變長， 再由長變短。

斜齒輪嚙合面內的接觸線如圖5 所示， 相鄰兩條接觸線的距離為一個端面基圓齒距pbt。 圖中，g＋ΔL為斜齒輪嚙合區的長度， 點C代表接觸線上的任意嚙合點，R1代表任意接觸點C處的曲率半徑， 以點K為原點， 接觸線為y軸建立坐標系， 則在任意嚙合位置m處， 端面上第j條接觸線到點A的距離［20］為

圖5 嚙合面內的接觸線Fig.5 Contact line in the meshing plane

當ΔL＞g時， 第j條接觸線的長度［20］為

任意嚙合位置m處， 接觸線上的任意接觸點C處的曲率半徑R1、R2［20］為

式中：ζ0為理論初始嚙合點與實際初始嚙合點間的距離。

將斜齒輪沿接觸線分割為多個小薄片， 每一個小薄片都近似為直齒輪， 因此， 將分割后的每一個小薄片都看作一個小薄直齒輪。 利用公式（15） 計算出每一個薄直齒輪接觸點的曲率半徑， 利用1.3.1 節中所述的方法計算出每一個薄直齒輪的頂隙面積和體積。斜齒輪分割得越細， 斜齒輪頂隙體積的誤差就越小。

1.3.3 嚙合區擠壓功率損失

求出頂隙面積和體積， 利用連續方程可求得潤滑油通過頂隙側面的流速［9］：

通過伯努利方程可求得流體壓力［6］：

則齒輪i的第j個頂隙在任意嚙合位置造成的擠壓功率損失［6］為

式（18） 表明了第i個齒輪第j個頂隙的擠壓功率損失， 則直齒輪副的擠壓功率損失［6］為

將上述公式推廣到斜齒輪得到斜齒輪嚙合區擠壓功率損失的計算公式為

式中：K（m）為斜齒輪沿接觸線分割的數目。

上述公式沒有將空氣考慮在內， 然而實際情況是齒輪箱內為油-空氣混合物， 為此引入等效密度。 空氣-油混合物的等效密度是通過在環境壓力下潤滑油與空氣的體積比來定義的。 此外， 根據理想氣體定律，假設混合物中潤滑油為不可壓縮流體， 而允許混合物中的空氣膨脹（可壓縮）， 產生近似的等效密度［8］：

式中：ρ為潤滑油的密度；R為空氣的氣體常數；ζ為潤滑油與空氣的體積比；pa和Ta為環境壓力和溫度；T為每個頂隙里的空氣溫度。

前面假設允許油-空氣混合物中的空氣膨脹， 假設空氣膨脹為等熵膨脹［8］：

式中：γ為空氣的比熱容比， 在標準狀態下， 空氣的比熱容比γ＝1.4。

2 結果及分析

運用MATLAB 軟件編寫計算程序， 分別對轉速、浸油深度、 螺旋角、 齒寬、 模數對各部分攪油損失的影響進行分析， 同時， 分析各部分攪油損失占總攪油損失的比重。

潤滑油選用75W／90 的車用變速器潤滑油， 取其常用工作溫度40 ℃時的運動黏度υ＝7.59×10-5m2／s，密度ρ＝831.2 kg／m3。

2.1 浸油深度對攪油損失的影響

選取文獻［22］中的齒輪參數， 將文中的理論分析結果（見圖6 （a） ） 與文獻［22］中的試驗結果（見圖6 （b） ） 進行比較； 選取文獻［9］中的齒輪參數， 將文中的理論分析結果（見圖6 （c） ） 與文獻［9］中的試驗結果（見圖6 （d） ） 進行比較。 文獻［9］中的試驗結果為攪油阻力矩， 為了便于比較， 利用公式T＝9 550P／n將理論結果由攪油功率損失轉化為攪油阻力矩。 通過比較發現， 理論分析結果與文獻中的試驗結果具有較好的一致性， 驗證文中理論分析方法的有效性。 此外， 理論結果高于試驗結果， 因為在試驗中隨著齒輪的旋轉， 潤滑油溫度升高， 導致其黏度降低， 產生的攪油損失降低， 而理論計算忽略了這一關系。

圖6 不同浸油深度下攪油功率損失、 攪油力矩理論與試驗結果Fig.6 Theoretical and experimental results of churning power loss and churning torque at different immersion depths： （a） theoretical churning power loss； （b） experimental churning power loss in Ref.22； （c） theoretical churning torque； （d） experimental churning torque in Ref.9

選取螺旋角為0°、 齒寬為20 mm、 模數為3 mm、齒數比Z2／Z1＝34／23 的齒輪副為研究對象， 浸油深度分別為0、 -10、 -20 mm， 其各部分攪油功率損失的分析結果如圖7 所示。

圖7 不同浸油深度下齒輪副攪油功率損失Fig.7 Churning power losses of a gear pair at different immersion depths： （a） power loss due to oil drag on the periphery （circumference） of a gear； （b） power loss due to oil drag on the faces （sides） of a gear； （c） gear mesh pocketing power loss； （d） churning power loss

從圖7 中可以發現， 各部分攪油損失均隨著轉速的增加而增加， 在相同轉速下， 浸油深度增加， 各部分攪油損失也隨之增加。 對于周面和端面攪油損失，浸油深度增加導致浸油面積增加， 從而產生的攪油損失增加。 對于擠壓功率損失， 浸油深度增加導致嚙合區潤滑油油量增加， 進而導致擠壓功率損失增加。 因此， 在確保齒輪充分潤滑的情況下， 適當減少油量可降低攪油損失， 提高效率。

選取浸油深度為0、 螺旋角為0°、 齒寬為20 mm、 模數為3 mm、Z2／Z1＝34／23 的齒輪副為研究對象， 研究各部分攪油損失占總攪油損失的比重， 如圖8 所示。 可以發現， 嚙合區擠壓功率損失在總攪油損失中所占比重較大， 而周面攪油損失所占比重較小。主動輪轉速12 000 r／min 時， 嚙合區擠壓功率損失占總攪油損失60.82%， 而周面攪油損失僅占0.21%。因此， 齒輪副的攪油損失大部分來自嚙合區擠壓功率損失。

圖8 各部分攪油功率損失Fig.8 Churning power losses of each part

2.2 齒寬對攪油損失的影響

選取文獻［22］中的齒輪參數， 將文中攪油損失理論分析結果與文獻［22］中的試驗結果進行了比較，如圖9 （a）、 （b） 所示。 選取文獻［9］中的齒輪參數， 將文中的攪油力矩理論分析結果與文獻［9］中的試驗結果進行了比較， 如圖9 （c）、 （d） 所示。 同樣， 為了便于比較， 將理論結果由攪油功率損失轉化為攪油阻力矩。 通過比較可以發現， 理論分析結果與文獻中的試驗結果具有較好的一致性。 此外， 理論結果高于試驗結果， 因為在試驗中隨著齒輪的旋轉， 潤滑油溫度升高， 導致其黏度降低， 產生的攪油損失降低， 而理論計算忽略了這一關系。

圖9 不同齒寬下攪油功率損失、 攪油力矩理論與試驗結果Fig.9 Theoretical and experimental results of churning power loss and churning torque at different tooth width： （a） theoretical churning power loss； （b） experimental churning power loss in Ref.22； （c） theoretical churning torque； （d） experimental churning torque in Ref.9

選取B＝16、 20、 24 mm 3 種齒寬的齒輪副， 齒輪的模數為3 mm， 螺旋角為0°， 浸油深度為0， 其各部分攪油損失的分析結果如圖10 所示。

圖10 不同齒寬下齒輪副攪油功率損失Fig.10 Churning power losses of a gear pair at different tooth width： （a） power loss due to oil drag on the periphery （circumference） of a gear； （b） power loss due to oil drag on the faces （sides） of a gear； （c） gear mesh pocketing power loss； （d） churning power loss

從圖10 中可以發現， 各部分攪油損失均隨著齒寬的增加而增加， 其中， 齒寬對周面攪油損失的影響較大， 對端面攪油損失沒有影響。 這是因為齒寬的增加會使得潤滑油與齒輪周面的接觸面積增加， 而對潤滑油與齒輪端面的接觸面積沒有影響。 因此， 在滿足齒輪承載能力的情況下， 適當減少齒寬可以減少齒輪攪油功率損失。

2.3 螺旋角對攪油損失的影響

選取螺旋角分別為13°、 18°、 23°， 模數為2.5 mm， 齒寬為20 mm 的齒輪副為研究對象， 浸油深度為0， 其各部分攪油損失的分析結果如圖11 所示。

圖11 不同螺旋角時齒輪副攪油功率損失Fig.11 Churning power losses of a gear pair at different helical angles： （a） power loss due to oil drag on the periphery（circumference） of a gear； （b） power loss due to oil drag on the faces （sides） of a gear； （c） gear mesh pocketing power loss； （d） churning power loss； （e） experimental churning power loss in Ref.22

將圖11 （d） 所示的理論分析結果與圖11 （e）所示的文獻［22］的試驗結果進行比較， 發現理論分析結果與試驗結果具有較好的一致性。 從圖11 中可以發現， 螺旋角增加， 各部分攪油功率損失也隨之增加。 在低轉速下， 不同螺旋角齒輪副的攪油損失基本一致， 因此， 在計算低轉速下斜齒輪副的攪油損失時， 考慮到計算的復雜程度， 可以按照直齒輪來計算， 而在中高速轉速下螺旋角對攪油損失的影響就必須要考慮在內。

2.4 模數對攪油損失的影響

選取m＝2、 2.5、 3 mm 3 種模數的齒輪副， 齒寬為20 mm， 浸油深度為0， 螺旋角為0°， 齒數比Z2／Z1＝34／23， 其各部分攪油損失的分析結果如圖12所示。

將圖12 （d） 所示的理論分析結果與圖12 （e）所示的文獻［22］的試驗結果進行比較， 發現理論分析結果與試驗結果具有較好的一致性。 從圖12 中可以發現， 各部分攪油損失均隨模數的增加而增加， 與前面分析的齒寬、 浸油深度和螺旋角相比， 可以看出模數對各部分攪油損失的影響較大。 因為模數影響著齒輪的很多參數， 包括分度圓、 齒頂圓、 齒厚、 齒高等， 模數與齒頂圓半徑成正比關系， 模數越大， 齒輪的齒頂圓半徑越大， 齒輪周面和端面的浸油面積就越大， 周面攪油損失和端面攪油損失均隨浸油面積的增大而增大， 因此， 在滿足齒輪承載能力的情況下， 適當減少模數可降低齒輪的攪油功率損失。

2.5 傳動比對攪油損失的影響

選取i＝1、 1.5、 1.8 三種傳動比，Z2／Z1分別為25／25、 20／30、 18／32， 模數為3 mm， 齒寬為20 mm，其各部分攪油損失如圖13 所示。

圖13 不同傳動比下齒輪副攪油功率損失Fig.13 Churning power losses of a gear pair at different transmission ratio： （a） power loss due to oil drag on the periphery（circumference） of a gear； （b） power loss due to oil drag on the faces （sides） of a gear； （c） gear mesh pocketing power loss； （d） churning power loss； （e） experimental churning power loss in Ref.22

將圖13 （d） 所示的理論分析結果與圖13 （e）所示的文獻［22］的試驗結果進行比較， 發現理論分析結果與試驗結果具有較好的一致性。 從圖13 中可以發現， 各部分攪油損失均隨傳動比的增加而減少。因為傳動比的改變會改變從動齒輪的轉速以及主、 從動齒輪的尺寸， 從而影響齒輪副的攪油損失。

3 結論

基于流體動力學理論計算斜齒輪副的攪油功率損失， 分析轉速、 浸油深度、 齒寬、 螺旋角、 模數和傳動比對攪油損失的影響以及各部分攪油損失占總攪油損失的比例。 主要結論如下：

（1） 轉速、 浸油深度、 齒寬、 螺旋角、 模數越大， 攪油損失越大， 其中轉速、 齒寬和模數對攪油損失的影響較大， 浸油深度和螺旋角對攪油損失的影響較小； 傳動比越大， 攪油損失越小。

（2） 周面攪油功率損失、 端面攪油功率損失以及嚙合區擠壓功率損失3 種功率損失中， 擠壓功率損失占總攪油損失的比例較大， 而周面攪油損失所占比例較小。

（3） 齒輪攪油損失的影響因素有很多。 在齒輪攪油過程中， 潤滑油的溫度升高會導致黏度降低， 在后續的研究中可以將潤滑油的黏溫關系考慮在內。 另外， 文中假設浸油深度為靜態浸油深度， 然而實際中， 浸油深度會隨著齒輪的旋轉動態的變化， 因此，在后續的研究中可以將動態油位考慮在內。