Morozov偏差原則在具有凸罰項(xiàng)的非線性不適定問題中的應(yīng)用

陽科全，丁 亮

（東北林業(yè)大學(xué)）

0 引言

該文考慮求解具有如式（1）形式的不適定算子方程

其中x ∈X，A：X →Y表示自反Banach空間X，Y之間的非線性算子.‖·‖X，‖·‖Y分別表示X，Y空間中的范數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，精確數(shù)據(jù)y往往不能預(yù)先得到，從而采用測量數(shù)據(jù)yδ替代精確數(shù)據(jù)y，y與yδ滿足‖y－yδ‖Y≤δ，其中δ ≥0為噪聲水平，yδ∈Y.

在實(shí)際生活中，很多數(shù)學(xué)物理問題可以歸結(jié)為算子方程（1），例如醫(yī)學(xué)成像問題及逆散射問題等.算子方程（1）往往是不適定的，因此需要正則化技術(shù)來穩(wěn)定算子的反演，更多細(xì)節(jié)可以詳見參考文獻(xiàn)［1］.其中一種常見方法是Tikhonov正則化［2］，這種方法的原理是尋找以下變分問題的解作為（1）的近似解

其中α ＞0是正則化參數(shù)，Ψ（x）是正則化項(xiàng)或稱罰項(xiàng).解決以上變分問題的關(guān)鍵是選擇一個(gè)合適的正則化參數(shù)α.一般來說，確定α 有兩種原則：一個(gè)是先驗(yàn)參數(shù)選擇原則，另一個(gè)是后驗(yàn)參數(shù)選擇原則.對于先驗(yàn)原則，α由α ＝O（δ）確定，例如固定c ＞0，α ＝cδ.但是如何找到最優(yōu)的c卻是十分困難的.作為一種后驗(yàn)原則，MDP（Morozov偏差原則）是最常用的確定正則化參數(shù)α的方法，這種方法已經(jīng)有大量研究成果.該方法確定正則化參數(shù)α ＝α（δ，yδ），使得

其中τ ＞1，xδα為（2）的一個(gè)解.如果Jδα（x）的最小值解是唯一的，文獻(xiàn)［3－4］已經(jīng)證明至少存在一個(gè)正則化參數(shù)α使得（3）成立.

對于線性不適定問題，MDP 的理論分析可以追溯到1966年［5］.在文獻(xiàn)［6－8］中，已經(jīng)提出幾種數(shù)值算法用于計(jì)算經(jīng)典的二次Tikhonov正則化的正則化參數(shù)α.隨后，MDP 的理論分析推廣到更一般的凸正則化.在文獻(xiàn)［7］中，MDP應(yīng)用于具有一般凸的Tikhonov正則化中.在文獻(xiàn)［9］中，提出了兩種具有一般凸懲罰項(xiàng)的非光滑Tikhonov正則化的MDP 迭代參數(shù)選擇方法.

對于非線性不適定問題，由于最小值解可能存在多個(gè)，導(dǎo)致處理線性不適定問題的方法不能直接推廣到非線性不適定問題中.對于非線性不適定算子方程，MDP 的一個(gè)缺點(diǎn)是，可能不存在滿足（3）式的正則化參數(shù)α，從而需要特殊的方法來分析由MDP 確定的正則化參數(shù)α 的存在性.對于經(jīng)典的Tikhonov正則化，文獻(xiàn)［10］表明對非線性算子F和算子方程F（x）＝y(tǒng) 的最小值解xδα加一些限制，一定能找到正則化參數(shù)α使得δ ≤‖F(xiàn)（x）－yδ‖≤τδ（τ ＞1）成立，并給出了相應(yīng)的收斂速度.對于一般的凸懲罰項(xiàng)，文獻(xiàn)［4］在一定條件下證明了α 的存在性，并且表明，對于該參數(shù)選擇原則，當(dāng)噪聲水平δ →0 時(shí)，α →0以及δq／α →0（q ≥1）.在文獻(xiàn)［3］中，作者使用變分不等式研究了收斂速度，其中正則化參數(shù)由MDP 確定.文獻(xiàn)［3］給出了Tikhonov 正則化中最小值解的唯一性與Morozov 偏差原則之間的聯(lián)系.

當(dāng)非線性不適定問題中罰項(xiàng)為一般凸時(shí)，MDP 在理論分析上還尚有許多亟待解決的問題，尤其是正則化參數(shù)的存在性問題.該文假設(shè)算子A滿足如下非線性條件，存在常數(shù)γ ＞0使得

在條件（4）成立的前提下，建立非線性不適定問題中罰項(xiàng)為一般凸時(shí)的偏差原則，證明至少存在一個(gè)正則化參數(shù)α使得

此外，該文分析了由式（5）確定的正則化解的存在性，收斂性，以及正則化解的收斂速度.

1 預(yù)備知識

定義2定義x?∈X為Jδα（x）的最小Ψ解（又稱Ψ（x）最小值解），如果x?滿足：

（i）A（x?）＝y(tǒng).

條件1該文假設(shè)非線性算子A和測量數(shù)據(jù)yδ滿足下列條件：

（i）A：X →Y是Fréchet可導(dǎo)的.

（iii）存在常數(shù)γ ＞0使得

（iv）存在τ ＞1，使得

對于條件1（iii）中式（6）已經(jīng)被廣泛使用，如文獻(xiàn)［1，11，12］.它被其他研究人員所采用的使用形式為‖A′（x1）（x2－x1）‖Y≤（1 ＋γ）‖A（x2）－A（x1）‖Y.對于式（7），由于實(shí)際應(yīng)用中幾乎不可能從觀測數(shù)據(jù)中反演出與觀測數(shù)據(jù)同階的精確解，如果δ ≤‖A（0）－ yδ‖Y≤τδ，那么0通?？杀灰曌魇钦齽t化解xδα的良好估計(jì)，所以在該文中假設(shè)‖A（0）－ yδ‖Y＞τδ.

條件2假設(shè)Ψ（x）滿足如下條件：

（i）凸性：?x，y ∈X，t ∈［0，1］，有Ψ（tx ＋（1－t）y）≤tΨ（x）＋（1－t）Ψ（y）.

（ii）強(qiáng)制性：若‖x‖X→∞，則Ψ（x）→∞.

（iv）Radon－Riesz性質(zhì)：在X空間中若

2 正則化參數(shù)的存在性

引理2假設(shè)τδ ＜‖A（0）－ yδ‖Y，對于正則化參數(shù)α ＞0，若沒有最小值解xδα1，xδα2∈Lδα使得

成立，則一定存在α ＝α（δ，yδ）＞0 以及xδα∈Lδα，使得δ ≤‖A（xδα）－ yδ‖≤τδ 成立.

接下來以引理3的形式給出一階優(yōu)化條件，詳細(xì)證明參見文獻(xiàn)［13］.證明在τ滿足某些條件下，存在正則化參數(shù)α 使得MDP 成立.

因此

從而

結(jié)合條件1（iii）有

此外

結(jié)合式（9），（10）可以得到

從而

由不等式（12）可以得到‖A（x2）－yδ‖Y≤（2γ ＋3）δ，引理得證.

由引理2和引理4可以得到定理2.

定理2假設(shè)條件1滿足，則存在一個(gè)正則化參數(shù)α 使得

證明假設(shè)條件1滿足.

3 正則解的收斂性和收斂速度

這一節(jié)將在式（13）下證明正則化方法的適定性，正則解的收斂性以及收斂速度.沿著標(biāo)準(zhǔn)二次Tikhonov正則化［2］的思路證明正則化解xδα收斂到Jδα（x）最小值解以及討論xδα的收斂速度，收斂速度與參考文獻(xiàn)［14］中的不同，因?yàn)檎齽t化參數(shù)α 現(xiàn)在由式（13）決定.

定理3（收斂性）若為（x）的一個(gè)最

證明定義由xn的定義可知，

結(jié)合式（14）則有

因此序列｛Ψ（xn）｝是有界的.定義cδn＝max｛τδn，（3 ＋2γ）δn｝，那么有δn→0時(shí)，cδn→0.又因?yàn)?/p>

另一方面，由式（14）可知

因?yàn)棣罚▁n）是有界的，所以存在一個(gè)x*∈X以及{xn}的一個(gè)子序列，仍記為{xn}，使得在X中結(jié)合式（16）可以得到：

因此Ax*＝y(tǒng).由條件2（iii）有

定義4?Ψ表示Ψ的次梯度.對于x，z ∈X，Ψ的Bregman距離定義為：

其中

上述式（20）表示ξ ∈?Ψ（z）時(shí)Ψ的Bregman距離.

Burger 和Osher首先證明Tikhonov 正則化中的算子為線性算子，罰項(xiàng)為凸時(shí)在Bregman距離下的收斂速度［15］，隨后Resmerita 和Scherzer將研究的結(jié)果推廣到了非線性正則化中［16］.Stephan和Ronny在上述的研究基礎(chǔ)上加入了一些非線性條件，證明了由MDP 確定的正則解的收斂速度為O（δ）［17］.下面以條件3的形式給出.

條件3對任意的x?，存在w ∈Y*，使得

對任意的w ∈Y*且w滿足式（19），ξ ∈?Ψ（x?）定義為：

此外，由條件1（iii）可推出：

對任意的x，z ∈X，存在γ ＞0，使得

定理4（收斂速度）算子A以及罰項(xiàng)Ψ滿足條件1、2、3.假設(shè)正則化參數(shù)α 由偏差原則

確定，這里C ＝max｛τ，3 ＋2γ｝，那么

證明由的定義可得

從而Ψ（xδα）≤Ψ（x?）.

則收斂速度為O（δ）.

4 結(jié)論

該文在一般源條件下引入已經(jīng)廣泛應(yīng)用的非線性條件（5），分析具有一般凸懲罰項(xiàng)的非線性不適定算子方程A（x）＝y(tǒng) 的正則化參數(shù)的存在性.在Morozov偏差原則δ ≤‖A（xδα）－ yδ‖Y≤max｛τδ，（3 ＋2γ）δ｝下，證明正則化參數(shù)α的存在性.此外，證明了正則化解的收斂性.在Bregman距離下證明了正則化解的收斂速度為O（δ）.