基于遺忘遞推最小二乘法的泵站水平位移動態監控模型研究

孫 濤，婁本星，馬福恒，祁 潔，周晨露

（1. 南水北調東線江蘇水源有限責任公司，江蘇 南京 210009； 2. 南京水利科學研究院，江蘇 南京 210029）

0 引 言

泵站建筑物是常見的水工建筑物之一，在供水、防洪、排澇、灌溉等方面具有重要作用。目前泵站建筑物監測系統日益完善，水平位移作為泵站變形監測中一項重要的監測項目，對于評估泵站建筑物整體運行狀態極其重要。由于泵站地基的復雜性和工作原理的特殊性，導致采用傳統力學方法不能夠建立準確的泵站變形監控模型。

現階段有關于混凝土壩變形監控模型研究較多［1］，其中統計模型的可解釋能力強，能夠直觀表示出監測效應量與環境量之間的非線性關系［2］，得到了學者們的廣泛關注。自1956 年TONINI等［3］首次將大壩變形的影響因素分為水壓分量、溫度分量和時效分量，混凝土壩變形監控統計模型得到了巨大的發展；吳中如等［4］基于混凝土徐變理論，推導了混凝土壩變形時效分量的表達式，并提出可以用周期函數模擬溫度分量；MATA等［5］提出用溫度計實測溫度表示溫度分量，并通過實例驗證了模型的準確性；近年來，秦棟等［6］、SHAO 等［7］、王繼敏等［8］考慮測點之間的相關性，建立了混凝土壩的多測點變形統計模型。然而，針對泵站變形監控模型的研究較少，大多利用混凝土壩統計模型進行分析。例如朱松松等［9］基于混凝土壩變形統計模型，結合逐步回歸法識別了泵站水平位移的影響因子，建立了泵站水平位移統計模型。混凝土壩變形統計模型通常由最小二乘法求解得到，其回歸參數為定值。相比于水庫大壩，泵站建筑物體積小，容易受外部環境的影響。在多種荷載的長期耦合作用下，泵站結構可能出現損傷、老化甚至破壞，導致其工作性態發生改變。采用固定參數的回歸模型不能夠反映泵站結構性態的動態特征，因此，有必要采取動態建模方法對泵站建筑物監控模型進行更新和改進。

鑒于此，基于遺忘遞推最小二乘法，構建了泵站建筑物水平位移的動態監控模型；通過引入遺忘因子調整新舊監測數據的重要程度，增強了新監測數據對模型的修正能力，實現了對統計模型回歸參數的動態求解，從而保證了模型的預測精度；最后結合南水北調工程某泵站樞紐，驗證了所構建的模型的有效性。

1 理論模型

1.1 遞推最小二乘法

在外部環境的影響下，泵站建筑物的工作性態處于一個動態變化的過程，而最小二乘法在估計回歸參數時不能考慮到建筑物運行狀態的改變。當監測數據增加時，原來的回歸參數可能不再適用當前的運行狀態；若重新建立回歸模型，需要重新求解，工作量大且不便于應用。遞推最小二乘法（RLS）可以在上一時刻估計參數的基礎上，根據新數據的加入修正最小二乘法的參數估計結果，可避免大量的運算，計算效率高［10］。假設k時刻下的監測數據為:

式中:Xk表示自變量數據集；x(k)表示k時刻的自變量，即水位、溫度、時效等影響因子；Yk表示因變量數據集；y(k)表示k時刻的因變量，即泵站建筑物水平位移。

則在k-1 時刻和k時刻，根據LS 法得到的參數估計值分別為:

式中:θ?(k)為k時刻回歸參數估計值。

式中:K（k）為增益矩陣；可以利用k時刻的估計值θ?(k)預測k+1時刻的位移值，即y?(k+ 1) =xT(k+ 1)θ?(k)。

1.2 遺忘遞推最小二乘法

隨著運行時間的增加，泵站建筑物的運行狀態在不斷地發生變化，過多的舊數據會減弱新數據對回歸參數的修正能力，此現象稱為數據飽和。因此，需要對遞推最小二乘法進行修正，以增強新數據對回歸參數的修正能力，得到符合當前運行狀態的最佳參數。

遺忘遞推最小二乘法（FFRLS）將不同時期的監測數據進行賦權，以達到數據更新的目的［11-13］。在RLS 的基礎上，FFRLS根據數據采集時間的不同，每引進一組新數據時，就將舊數據乘以一個遺忘因子ρ（0＜ρ≤1），則任意時刻k下的數據集可以表示為:

令λ=ρ2，FFRLS相應的目標函數表示為:

式中:0＜λ≤1。FFRLS 方法本質上是一種加權，將新添加的數據權重賦為1，越早的數據其權重越小，以達到遺忘舊數據的目的。因此，λ的取值越小，所建立的模型動態更新能力越強，但λ的取值不宜過小，取值太小容易受到非線性噪聲的影響，通常取0.95≤λ≤1［13］，本文取λ=0.95。

FFRLS方法得到的參數估計值表示為:

1.3 基于FFRLS方法的泵站水平位移動態監控模型

基于FFRLS 方法的泵站水平位移動態監控模型構建流程如圖1所示。基本步驟如下:

圖1 基于FFRLS算法的泵站水平位移動態監控模型Fig.1 Horizontal displacement dynamic monitoring model of pump station based on FFRLS

（1）輸入實測監測序列，包括水平位移、水位、溫度、監測時間等資料。

（2）確定遺忘因子ρ、訓練集長度T、數據序列總長度N，初始化待估參數θ?(0)和協方差矩陣P(0)。

（3）計算增益矩陣K和協方差矩陣P，更新擬合參數θ?(k)。

（4）當k＜T時，重復步驟（3）直到k＞T。當k＞T時，根據當前估計參數θ?(k)預測下一時刻的y?(k+ 1) =xT(k+ 1)θ?(k)。

（5）重復步驟（3）和（4）直到結束。

2 泵站建筑物水平位移影響因素

在水工建筑物安全監控領域中，混凝土壩的變形監控模型發展比較完善，關于泵站建筑物安全監控模型的相關研究較少。本文根據文獻［9］的研究成果，將泵站建筑物水平位移δ的影響因素劃分為3 部分:水壓分量δH、溫度分量δT和時效分量δθ。

式中，Hu表示上游水頭，Hd表示下游水頭，a1i、a2i分別為上下游水壓因子的回歸系數。

式中:t表示觀測當天至建模時段起測日的累計天數；b1i、b2i表示溫度因子回歸系數。

（3）時效分量因子。在各種外部荷載的耦合作用下，泵站建筑物不僅會出現彈性位移，也會產生一定的趨勢性變化，即時效分量。時效分量產生的原因非常復雜，主要為混凝土的塑性形變、徐變、裂縫等造成的體積變形。時效分量具有多項式函數、指數函數、對數函數等表達形式，本文選取多項式函數與對數函數組合作為時效分量的表達式，如式（10）所示。

式中:θ表示觀測當天至起測日的累計天數除以100，每增加一天，θ增加0.01；c1、c2表示時效因子回歸系數。

可以將泵站建筑物水平位移δ可以表示為:

式中:d為常數項。

3 工程案例

以南水北調東線工程某泵站樞紐為例，該泵站樞紐由泵站、擋洪閘、進水閘、引河等工程設施組成，主要功能為聯合調水及區域排澇。泵站設計流量150 m3/s，調水期設計揚程6.0 m，排澇期設計揚程6.6 m，安裝立式全調節混流泵5 臺，單機設計流量37.5 m3/s，配套電機功率3 550 kW，總裝機容量17 750 kW。如圖2 所示，泵站建筑物水平位移測點共4 個，均位于上游側底板位置，測點編號為SP1～SP4，各測點的水平位移實測值如圖3 所示，監測時間為2015 年1 月22 日-2017 年12 月23 日，共36 組數據。本文以SP3 和SP4 兩個測點為例，其中，選取2015 年1 月22 日至2016 年12 月23 日共24 組數據作為訓練數據，2017年1月22日至2017年12月13日共12組數據作為測試數據。

圖2 水平位移測點布置圖Fig.2 Layout of horizontal displacement measuring points

圖3 SP1～SP4實測水平位移Fig.3 Measured horizontal displacement of SP1～SP4

4 結果分析

基于FFRLS 算法對測點SP3 和SP4 的水平位移進行建模，對各個時刻下的擬合參數進行了動態求解和預測，各項回歸系數的更新與變化過程如圖4 所示。可以看出，各項回歸系數估計值隨著遞推次數增加而變化，且在一定范圍內波動。這說明泵站建筑物在外部環境因素的影響下，其工作性態處于不斷變化的狀態。

圖4 回歸系數的更新與變化過程Fig.4 Update process of regression coefficient

為了驗證FFRLS模型的有效性，本文選取了LS和RLS方法作為對比模型。三種模型的擬合與預測結果如圖5、6 所示，擬合與預測效果評價指標如表1所示。

表1 3種方法擬合效果指標與預測效果指標的對比Tab.1 Comparison of fitting effect index and prediction effect index of three methods

圖5 SP3擬合與預測結果對比Fig.5 Comparison of fitting and prediction values of three methods for SP3

根據圖5、圖6及表1可以看出:

圖6 SP4擬合與預測結果對比Fig.6 Comparison of fitting and prediction values of three methods for SP4

從擬合結果上來看，LS 模型的擬合效果最差，測點SP3 和SP4 的復相關系數均為0.72；FFRLS 模型與RLS 模型的擬合效果較好，復相關系數均較高均達到了0.90 以上，且FFRLS 模型的復相關系數達到了0.95 以上，表明FFRLS 方法能夠顯著提升統計模型的回歸擬合精度。

從預測結果上來看，LS 模型的預測精度最低，LS 模型在初期預測值與實測值相差不大，但隨著預測時間的增加，預測誤差越來越大。FFRLS 模型和RLS 模型預測精度均較高，預測值與實測值的變化趨勢基本相同；FFRLS 模型的前8 個預測結果與RLS 模型預測值基本相同，之后FFRLS 模型的預測值更接近實測值，誤差也更小，表明FFRLS 模型能夠更好地適應泵站建筑物變形性態的動態變化，使模型長期保持有較高的預測精度。從預測效果評價指標上來看，FFRLS 模型相較于RLS 模型各項評價指標更優。對于測點SP3，FFRLS 模型的平均絕對誤差（MAD）、平均絕對百分比誤差（MAPE）、均方根誤差（MSE）分別下降了28.1%、27.9%和51.1%；對于測點SP4，FFRLS 模型的MAD、MAPE和MSE指標分別下降了41.9%、40.7%和68.5%。綜上所述，傳統LS方法通常為一次性求解，模型參數為固定值，在泵站運行一段時間后，原模型的回歸參數可能不再適用，預測能力也會大幅度降低；而RLS 和FFRLS 方法能夠隨時間自適應調整模型參數，尤其是FFRLS 方法可以通過賦予新舊數據不同的權重，減少舊數據對模型參數的影響，增加新數據在擬合過程中的信息量，從而使所構建的預測模型能夠更好地適應泵站變形性態的動態變化，并保持有較高的預測精度。

因此，基于FFRLS 方法建立泵站水平位移動態監控模型是可行的，相較于傳統的統計模型，FFRLS 模型的回歸與預測精度有明顯的提升，可為泵站建筑物安全監控提供理論依據。

5 結 論

針對泵站建筑物的工作性態易受環境、人為等外部因素影響，傳統的統計模型不能反映泵站結構運行狀態的動態變化過程。本文提出了基于遺忘遞推最小二乘法的泵站水平位移動態監控模型，結合南水北調工程實例，驗證了該模型的有效性。可得出如下結論:

（1）FFRLS 模型通過引入遺忘因子調整了新舊監測數據的權重占比，提升了新監測數據對模型參數的修正能力，實現了對統計模型參數的動態求解，從而保證了模型的預測精度。

（2）實例分析表明，FFRLS 模型的預測效果明顯優于RLS、LS模型，尤其在進行長期預測時，LS模型會出現明顯的偏差，而FFRLS 模型能夠有效提高模型的解釋能力和預測精度。研究成果可為泵站建筑物變形監控統計模型提供新方法。