非理想檢測下面向異步多目標跟蹤的異構多雷達網絡功率時間聯合優化算法

時晨光 唐志誠 丁琳濤 周建江

(南京航空航天大學雷達成像與微波光子技術教育部重點實驗室 南京 210016)

1 引言

當今及未來戰場環境已經呈現出如下特點：(1)作戰要素、作戰樣式復雜化；(2)戰場資源種類繁多且屬性各異；(3)資源配置具有一定時間緊迫性。傳統的單基地雷達受到平臺局限性的影響，難以完成既定目標探測任務，也無法滿足作戰要求[1,2]。因此，異構多雷達網絡逐漸嶄露頭角。異構多雷達網絡是指由具有不同工作體制的若干種類型雷達網絡構成的有機整體[3]，在空間復用、波形分集以及抗干擾能力等方面都具有顯著優勢。異構多雷達網絡系統通過收集不同雷達網絡多個雷達節點獲取的量測信息來實現遠距離多目標的探測，具有較強的分布式并行感知計算能力、優越的魯棒性和較低的任務容錯率，在不同領域都具有廣闊的應用前景[4]。

隨著信號處理技術的迅速發展，面向多目標跟蹤的雷達輻射資源管理研究成為主流，如何高效分配雷達系統的有限輻射資源以提升多目標協同跟蹤性能，已經成為國內外學者聚焦的研究課題[5—9]。2019年，Yan等人[10]基于Pareto理論提出了一種相控陣雷達駐留時間優化算法，該算法以提高多目標跟蹤精度以及目標信噪比作為雙優化目標，并采用線性規劃方法結合Min-Max算法進行求解，仿真結果表明，該算法能夠同時提升多目標跟蹤精度以及目標信噪比。Zhang等人[11]針對分布式多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達多目標檢測與跟蹤問題，以最壞情況下的目標后驗克拉美羅下界(Posterior Cramér-Rao Lower Bound,PCRLB)以及檢測概率作為代價函數，采用改進粒子群算法自適應優化設計系統發射機-接收機選擇方式、輻射功率和信號帶寬的分配，仿真結果表明，該算法具有更優越的實時性以及更好的多目標跟蹤性能。2020年，靳標等人[12]基于合作博弈思想，研究了基于多目標跟蹤的去中心化組網雷達功率分配問題，仿真結果表明，相較于功率均勻分配算法，所提算法可以有效提升多目標跟蹤性能；相較于基于非合作博弈的功率分配算法，所提算法能夠分配給對提升目標跟蹤性能作用更顯著的雷達節點更多的功率，提升了資源利用效率。文獻[13]提出了一種大規模MIMO雷達網絡認知目標跟蹤功率和陣列選擇聯合優化算法，推導了目標跟蹤的預測條件克拉美羅下界(Predicted Conditional-Cramér-Rao Lower Bound,PC-CRLB)并將其作為目標函數進行優化，并提出了基于局部搜索的求解算法對功率和陣列選擇進行設計。Lu等人[14]針對頻譜共存下組網相控陣雷達系統多目標跟蹤場景，提出了一種基于目標跟蹤性能的動態資源調度算法，根據通信區域干擾模型推導出目標的PCRLB并將其作為多目標跟蹤性能指標，實現了雷達與通信頻譜共存下的多目標協同跟蹤性能優化。

2021年，Sun等人[15]在傳感器位置不確定情況下，針對組網雷達多目標跟蹤場景以及出現的雷達量測信息冗余問題，提出了一種量測信息選擇與功率聯合優化分配算法，該算法可以同時優化輻射功率和量測信息選擇傳播路徑，以提升多目標跟蹤精度和降低數據處理負擔，采用稀疏性增強的序列凸規劃算法進行求解并通過仿真實驗進行了有效驗證。同年，他們又研究了雜波環境下組網集中式MIMO雷達系統多目標跟蹤問題，提出了一種雷達選擇和波束圖設計聯合優化分配算法，旨在優化每部雷達的調度方法和波形相關矩陣來最大限度地提高目標跟蹤精度[16]。2022年，文獻[17]針對欺騙干擾下的多目標跟蹤場景，研究了分布式MIMO雷達的聯合資源優化問題，通過基于三步優化循環的算法對系統發射機、接收機聯合選擇以及輻射功率進行自適應優化設計，仿真結果表明，離干擾機較近且歸一化欺騙參數較低的雷達發射機會被分配更多的功率資源，從而有效提升多目標跟蹤性能。Su等人[18]提出了一種機動目標跟蹤場景下的組網集中式MIMO雷達波形控制與資源聯合優化算法，以最小化機動目標跟蹤誤差作為優化目標，采用改進粒子群算法進行求解，達到了提升機動目標跟蹤精度的目的。

雷達的系統性能不僅受自身輻射參數的影響，還與自身系統構型緊密相關，相較于同構雷達，異構雷達具備更靈活的資源分配方式和更卓越的目標探測能力。此外，在實際中，各個雷達節點的時間基準、初始采樣時間與采樣間隔可能是不同的，因此，雷達系統得到的目標量測信息是異步的。圍繞異構雷達系統資源管理以及異步目標跟蹤問題，國內外學者進行了大量研究[19,20]。2013年，文獻[21]針對異步目標跟蹤問題，提出了一種多基地雷達系統功率分配算法，根據量測信息的最優順序融合推導了目標跟蹤精度計算表達式并作為優化目標函數，以輻射功率上下限以及總輻射功率限制為約束條件，建立了多基地雷達系統的異步觀測模型，結合凸松弛方法以及梯度投影法進行求解。2019年，文獻[22]研究了一種雜波環境下異步雷達網絡目標跟蹤的功率帶寬聯合分配算法，在給定系統輻射功率和發射帶寬限制的約束條件下，采用分支歸約界定算法來進行求解，仿真結果表明，相較于均勻功率帶寬分配對比算法，該算法可以明顯提升目標跟蹤精度。2020年，文獻[23]將異構雷達網絡與異步多目標跟蹤相結合，提出了兩種最優資源分配方法，并結合梯度投影法和雙上升法對每個融合采樣間隔內異構雷達網絡的輻射功率和駐留時間進行優化設計，在不同情況下分別有效提升了系統的多目標跟蹤精度和射頻隱身性能。

然而，上述研究均是在理想檢測環境下開展的。實際上，目標雷達散射截面(Radar Cross Section,RCS)起伏以及信號輻射衰減等不確定因素會導致雷達系統的檢測概率小于1[24,25]。針對該問題，國內外學者開展研究，取得了一定進展。2020年，Sun等人[26]提出了一種非理想檢測下的多基地雷達系統多目標跟蹤功率分配算法，該算法推導了非理想檢測下的目標狀態估計誤差PCRLB表達式，并將其作為目標函數，在滿足節點選擇和功率限制的約束條件下，采用了基于Zoutendijk可行方向法的求解算法對優化模型進行求解，仿真結果表明，該算法可以顯著提升系統多目標跟蹤精度。2022年，在文獻[26]的基礎上，文獻[27]研究了檢測概率變化下的多基地雷達系統波束和功率聯合優化分配問題，分析了檢測概率與目標RCS、波束分配方式以及輻射功率等參數的數學關系，推導了非理想檢測下的目標PCRLB并基于此構建了總體代價函數，以給定的波束和功率資源限制為約束條件，建立了相應的數學優化模型，采用結合貪婪策略和Zoutendijk可行方向法的三步分解算法進行求解，仿真結果驗證了所提算法對檢測概率變化時多目標跟蹤性能的提升。張永平[28]針對雷達系統多目標跟蹤背景，提出了一種非理想檢測環境下的資源管理算法，通過枚舉計算方式得到了非理想檢測下的目標PCRLB并作為優化目標函數，對發射波束和功率等參數進行優化分配，從而提升了多目標跟蹤精度。

上述研究成果為提升雷達系統的目標跟蹤性能奠定了堅實基礎，然而，已有研究并未考慮在非理想檢測環境下針對異構多雷達網絡異步多目標跟蹤場景進行資源聯合優化。因此，本文圍繞非理想檢測、異步多目標跟蹤以及異構多雷達網絡輻射資源管理等領域，研究了非理想檢測下面向異步多目標跟蹤的異構多雷達網絡功率時間聯合優化問題。首先，針對異構多雷達網絡，在非理想檢測下，建立了面向異步多目標跟蹤的功率時間聯合優化模型，以最小化異步多目標跟蹤誤差為優化目標，在滿足給定的系統輻射資源限制前提下，通過聯合優化異構多雷達網絡中各雷達節點的選擇方式、輻射功率和駐留時間等發射參數，提升系統的異步多目標跟蹤精度。仿真結果表明，與現有算法相比，所提算法能夠有效降低異構多雷達網絡的異步多目標跟蹤誤差，提升跟蹤精度。

2 系統模型

假設異構多雷達網絡系統由M部不同體制和工作模式的雷達子網絡組成，系統中第m(m=1,2,...,M)部雷達網絡中包含Nm個雷達節點，且第m部雷達網絡中的第n(n=1,2,...,Nm)個雷達節點的坐標為(xn,m,yn,m)。同時，由于不同雷達網絡中的雷達節點工作模式不同，各雷達節點發射信號的載波頻率可能不同，對于目標q，它們的初始采樣時間和采樣間隔也可能是不同的。為了后續小節中的進一步推導與計算以及更好地展現多雷達網絡的異構特性，定義如下3種類型的雷達網絡及發射參數約束：

(1) 集中式MIMO雷達網絡：在同時多波束工作模式下，雷達節點照射目標的駐留時間固定，但輻射功率會發生變化[29]；

(2) 相控陣雷達網絡：該雷達網絡中的雷達節點可以快速自適應地旋轉波束以照射多個目標，基于此，該雷達網絡中的雷達節點輻射功率固定，但駐留時間不同；

(3) 機械雷達掃描網絡：該雷達網絡中的雷達節點工作參數固定，即所有雷達節點以固定的輻射功率、駐留時間照射目標。

2.1 目標運動模型

假設異構多雷達網絡系統的融合采樣間隔為Tfusion，且第k個融合采樣間隔的區間為(tk-1,tk]，則Tfusion=tk-tk-1。因此，在第k個融合采樣間隔，根據目標初始位置和運動速度，目標q的狀態向量可以表示為

其中，{·}T表示矩陣的轉置運算，根據狀態向量，將第k個融合采樣間隔時目標q的運動狀態方程表示為

其中，Fq表示目標q的狀態轉移矩陣。由于目標作勻速直線運動，可以將Fq計算為

其中，γq表示目標q的過程噪聲強度。

2.2 異步雷達量測模型

為了簡化后續小節中的推導與計算，在本節中做出如下假設：(1)在每個融合采樣間隔，異構多雷達網絡中的每個雷達節點最多只能被分配去跟蹤一個目標；(2)所有雷達節點只能接收來自自身發射信號的回波。

在異構多雷達網絡進行異步多目標跟蹤時，系統中各個雷達節點的初始采樣時間和采樣間隔可能不同。因此，需要考慮雷達量測信息的異步特性。假設第k個融合采樣間隔內第m部雷達網絡中的第n個雷達節點對目標q的量測信息數目為，其中，第個量測信息的到達時刻為。基于此，圖1給出了目標q在第k個融合采樣間隔內的異步量測模型。

圖1 目標q在第k個融合采樣間隔內的異步量測模型Fig.1 Asynchronous measurement model of target q in the k-th fusion sampling interval

在此基礎上，定義一個二元變量來描述異構多雷達網絡中各雷達節點與目標q的配對情況，即

它們與雷達相關發射參數的關系可以表示為[10]

3 異構多雷達網絡功率時間聯合優化算法

3.1 非理想檢測下的異步目標BCRLB推導

由于貝葉斯克拉美羅下界(Bayesian Cramér-Rao Lower Bound,BCRLB)可以為參數無偏估計的均方誤差(Mean Square Error,MSE)提供一個下界[30]，因此，大多數學者將其作為目標跟蹤精度的衡量指標。在第k個融合采樣間隔，將異構多雷達網絡系統中不同雷達節點關于目標q的復合量測信息按順序依次列為

然而，根據文獻[27]，在非理想檢測環境下，異構多雷達網絡中的雷達節點并不都能對所有跟蹤目標成功檢測，還可能存在漏檢。基于此，定義如下二元變量來表征第k個融合采樣間隔時異構多雷達網絡對目標q的檢測情況：

綜上所述，結合式(11)—式(14)，在非理想檢測下，結合不同雷達節點對目標q的量測信息數目，將第k個融合采樣間隔目標q的異步跟蹤誤差BCRLB計算為[27]

3.2 優化模型建立

本文提出了一種非理想檢測下面向異步多目標跟蹤的異構多雷達網絡功率時間聯合優化算法，通過在各個融合采樣間隔聯合優化雷達節點選擇方式、輻射功率以及駐留時間，在滿足給定系統射頻輻射資源限制的約束條件下，最小化異構多雷達網絡異步多目標跟蹤誤差。

然而，在異步多目標跟蹤時，在不同雷達節點不同量測信息的到達時刻都進行功率時間聯合優化是不合理的。基于此，本文所提算法應用于每個融合采樣間隔Tfusion。為了簡化后續求解，對于目標q，假設在每個融合采樣間隔內，不同雷達網絡中的各個雷達節點以相同的發射參數進行照射：

結合式(19)，建立優化模型如下：

從式(20)中可以看出，第1個約束條件表示不同類型雷達網絡中雷達節點輻射功率取值范圍；第2個約束條件表示不同類型雷達網絡中雷達節點駐留時間取值范圍；第3個約束條件表示跟蹤單個目標時的異構多雷達網絡輻射資源總量限制；第4個約束表示單個雷達節點跟蹤目標數量的限制；第5個約束表示跟蹤單個目標的雷達節點數量限制。

3.3 優化模型求解

步驟1 求解雷達節點選擇問題。

步驟2 依次求解輻射功率和駐留時間優化分配問題。

從優化模型(22)可以看出，此時的優化模型包含輻射功率變量、駐留時間變量以及相應的資源約束，因此，它仍然是一個非線性、非凸問題。基于此，對優化模型(22)進行等價轉換，可以得到分別優化輻射功率資源和駐留時間資源的兩個子優化問題，如下所示：

步驟3 指定下一個跟蹤目標進行資源優化分配。

移除步驟1中選取的雷達節點以及目標q，指定下一個跟蹤目標，重復步驟1和步驟2，直到所有跟蹤目標都被分配相應的雷達節點、輻射功率和駐留時間資源。

步驟4 采用循環最小法得到最優資源分配結果。

采用循環最小法，重復步驟1至步驟3，直到連續兩次迭代的目標函數值(即異步目標跟蹤精度)小于一個預設的固定值，循環終止。基于此，可以得到異構多雷達網絡系統異步多目標跟蹤的最優雷達節點選擇結果、輻射功率分配結果和駐留時間分配結果。此外，將求解得到的作為下一融合采樣間隔資源聯合優化的初始參數。

綜上所述，非理想檢測下面向異步多目標跟蹤的異構多雷達網絡功率時間聯合優化算法如算法1所示。

4 仿真結果及分析

為了驗證本文所提非理想檢測下面向異步多目標跟蹤的異構多雷達網絡功率時間聯合優化算法的可行性和優越性，本文設計了如下仿真場景。考慮異構多雷達網絡系統由M=3部獨立工作且不同類型的雷達網絡組成，其中，雷達網絡1為集中式MIMO雷達網絡，包含N1=5個雷達節點；雷達網絡2為相控陣雷達網絡，包含N2=5個雷達節點；雷達網絡3為機械掃描雷達網絡，包含N3=2個雷達節點，各雷達節點的發射參數如表1所示。此外，異構多雷達網絡系統監視區域中的運動目標個數為Q=2，圖2給出了異構多雷達網絡分布與目標運動軌跡，目標具體運動軌跡參數如表2所示。同時，表3給出了每個融合采樣間隔內各雷達節點的初始采樣時間和采樣間隔。在仿真場景中，假設異構多雷達網絡固定分配不同雷達網絡中共計Lmax=5個雷達節點去跟蹤每個目標，且將目標RCS固定為1 m2。

表3 各雷達節點的初始采樣時間和采樣間隔Tab.3 Initial sampling time and sampling interval of each radar node

算法1 非理想檢測下面向異步多目標跟蹤的異構多雷達網絡功率時間聯合優化算法Alg.1 Joint optimization of transmit power and dwell time for asynchronous multi-target tracking in heterogeneous multiple radar networks with imperfect detection

圖2 異構多雷達網絡分布與目標運動軌跡Fig.2 Deployment of heterogeneous multiple radar networks and trajectories of moving targets

為了更好地說明異構多雷達網絡雷達節點選擇與功率時間聯合優化的規律與內在關系，圖3和圖4分別給出了=0.9時目標1和目標2的雷達節點選擇與功率時間優化結果，黑色部分表示該雷達節點在對應融合采樣間隔未被賦予跟蹤任務，即=0。從中可以看出，異構多雷達網絡會優先選擇距離目標更近雷達網絡中的雷達節點進行目標跟蹤，各雷達節點的輻射功率和駐留時間資源隨著目標的運動自適應地進行優化分配，從而最大限度地降低異構多雷達網絡異步多目標跟蹤誤差，提升多目標跟蹤性能。例如，對于目標1，在跟蹤的前25個融合采樣間隔，異構多雷達網絡都選擇了集中式MIMO雷達網絡的第1～4個節點進行跟蹤，在最后10個融合采樣間隔，由于目標1運動到距離相控陣雷達網絡更近的位置，系統會逐漸選擇相控陣雷達網絡中的雷達節點進行跟蹤。此外，雷達節點的初始采樣時間以及采樣間隔也會影響雷達節點選擇方式與功率時間優化結果，異構多雷達網絡會優先選擇在融合采樣間隔內次數較多的雷達節點，以降低多目標跟蹤誤差。例如，對于目標2，異構多雷達網絡更多地選擇了集中式MIMO雷達網絡以及相控陣雷達網絡中的雷達節點，而并不選擇距離目標2更近的機械掃描雷達網絡中的第2個節點進行跟蹤。分析其原因為：機械掃描雷達網絡中的第2個節點采樣間隔為3 s，大于另外兩個雷達網絡中雷達節點的采樣間隔，因此，在同一個融合采樣間隔中，其采樣次數較少，能夠獲取的雷達量測信息數目也較少，這會導致異步多目標跟蹤精度變差。

圖3 目標1的雷達節點選擇與功率時間優化結果Fig.3 Radar node selection,power and dwell time optimization results of target 1

圖4 目標2的雷達節點選擇與功率時間優化結果Fig.4 Radar node selection,power and dwell time optimization results of target 2

為了更好地展現檢測概率變化對異構多雷達網絡異步多目標跟蹤精度的影響，圖5給出了不同檢測概率下各目標的BCRLB對比。從圖中可以看出，相較于理想檢測條件(即檢測概率為1.0)，非理想檢測下目標狀態估計誤差的BCRLB更大，這表明目標跟蹤誤差也更大。此外，隨著檢測概率的不斷降低，異構多雷達網絡異步多目標跟蹤的檢測環境逐漸變得惡劣，當檢測概率從0.9降低到0.8時，各目標跟蹤的BCRLB均明顯增大，這表明在系統可用輻射資源限制相同的情況下，檢測概率變化會對異步多目標跟蹤精度產生明顯影響。

圖5 不同檢測概率下的各目標BCRLBFig.5 BCRLB of each target with different probabilities of detection

為了更有效地說明本文所提算法對異構多雷達網絡異步多目標跟蹤性能的提升，本節采用如下4種算法作為對比，比較分析它們與本文所提算法之間的性能差異：

(1) 節點隨機選擇算法：在每個融合采樣間隔，分配給各個目標的雷達節點是隨機選擇的，同時通過求解優化問題(20)，將輻射功率和駐留時間的優化結果分配給所選擇的雷達節點；

(2) 功率均勻分配算法：固定異構多雷達網絡跟蹤目標的輻射功率，僅優化駐留時間資源；

(3) 時間均勻分配算法：固定異構多雷達網絡跟蹤目標的駐留時間，僅優化輻射功率資源；

(4) 功率時間均勻分配算法：同時固定異構多雷達網絡跟蹤目標的輻射功率資源和駐留時間資源。

定義目標跟蹤的平均均方根誤差(Average Root Mean Square Error,ARMSE)來表征異步多目標跟蹤精度：

其中，NMC=100為蒙特卡羅實驗次數；表示目標q在第l次蒙特卡羅試驗時被異構多雷達網絡輻射的總次數。

圖6給出了所有算法的各目標ARMSE對比圖。從圖中可以看出，本文所提算法能夠在滿足異構多雷達網絡射頻輻射資源限制的約束條件下，通過聯合優化系統中各雷達節點選擇方式、輻射功率和駐留時間，求解得到相比于其他4種對比算法更優越的異步多目標跟蹤精度。此外，本文所提算法在檢測概率為1.0,0.9和0.8時的單幀CPU計算耗時分別為0.46 s,1.03 s和1.08 s，遠遠小于預設的融合采樣間隔。因此，本文所提算法可以在滿足作戰場景實時性的同時，有效提升異步多目標跟蹤性能。

圖6 各目標ARMSE對比結果Fig.6 ARMSE comparison results of each target

5 結語

本文考慮了非理想檢測、異構多雷達網絡和異步多目標跟蹤對射頻輻射資源消耗以及多目標跟蹤性能的影響，提出了一種面向異步多目標跟蹤的異構多雷達網絡功率時間聯合優化算法。該算法以最小化異構多雷達網絡異步多目標跟蹤誤差為優化目標，在滿足給定系統射頻輻射資源限制的前提下，對雷達節點選擇方式、輻射功率和駐留時間等發射參數進行自適應優化設計，以提升異構多雷達網絡的異步多目標跟蹤精度。仿真結果表明，與節點隨機選擇算法、功率均勻分配算法、時間均勻分配算法以及功率時間均勻分配算法相比，本文所提算法能夠有效降低異構多雷達網絡的異步多目標跟蹤誤差，達到提升其目標跟蹤性能的目的。然而，在實際作戰場景中，檢測概率與目標RCS、密集環境雜波等多種不確定因素息息相關，在多目標跟蹤過程中，檢測概率會不斷發生變化，下一步將圍繞檢測概率變化下面向異步多目標跟蹤的異構多雷達網絡多域資源聯合優化問題進行研究。