基于目標檢測的混合分布式PA-MIMO雷達系統陣元優化部署

齊 鋮 謝軍偉 張浩為 丁梓航 楊 瀟

(空軍工程大學防空反導學院 西安 710051)

1 引言

現代雷達目標的多樣性和探測環境的復雜化凸顯了傳統的雷達體制和探測技術的局限性。為了應對復雜的目標及環境，除了尋求目標檢測理論與技術的突破外[1]，對雷達體制變革和資源優化利用也在持續與深入地開展[2–5]。最大限度地挖掘和利用雷達傳感器系統獲得電磁信息的能力[6,7]，優化利用現有的雷達資源[8,9]，提高雷達系統的目標探測能力，是雷達信息處理和資源優化管理領域所面臨的基礎性課題和現實緊迫任務[9–11]。

近年來，多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達作為一種新的雷達體制受到了廣泛關注[12,13]。一般來說，根據陣元的空間配置，MIMO雷達可分為兩大類：一種是集中式MIMO雷達[14]，其陣元間距為半波長水平，主要利用調諧探測信號實現優越的波形分集；另一種是分布式MIMO雷達[15]，通過空間散布配置的陣元實現信號聯合處理，利用角延展引起的回波信號空間分集增益有效克服目標閃爍[16]，提高檢測性能。相較于分布式MIMO雷達，傳統相控陣(Phased-Array,PA)的發射/接收(Transmitting/Receiving,T/R)組件在空間緊密分布，信道之間具備很強的相關性，進而可以獲得良好的空間采樣能力和信息處理自由度[17]。

相參增益和空間分集增益均能夠提升雷達的檢測性能[18]。由于雷達工作體制差異，分布式MIMO雷達發射正交波形獲得空間分集增益的同時也損失了相參增益。在陣元數目一定的系統中，僅利用分集增益的分布式MIMO雷達或僅利用相參增益相控陣雷達都是非最優的，因此，僅增加資源總量而不考慮單個終端之間的合作是遠遠不夠的。

相控陣多輸入多輸出(Phased-Array Multiple-Input Multiple-Output,PA-MIMO)雷達[19]的提出，為MIMO雷達的發展開辟了一條新的途徑。混合分布式PA-MIMO雷達是將傳統相控陣雷達技術與MIMO雷達技術相結合，利用子陣內陣元信號的相參性和正交性來同時獲取的相參增益與空間分集增益，使PA-MIMO混合系統在保持MIMO雷達優勢的同時兼具相控陣雷達相參增益處理的優勢，不失為一種折中、有效的實現方案[20]。

眾多學者針對雷達系統的陣元配置展開了深入研究。文獻[21]研究多目標背景下的最優稀疏陣列優化配置問題。文獻[22]提出了一種分布式MIMO雷達中發射機和接收機聯合布置的算法來提高定位精度。通過陣元配置優化提升系統檢測性能的研究也有著深厚基礎，文獻[23]通過窮舉方法部署陣元在空間的位置，并通過注水算法完成功率分配從而優化雷達系統的目標檢測能力。文獻[20]將發射陣列劃分為均勻重疊的子陣，同時獲得相干處理增益和波形分集增益，理論推導以及仿真實驗證明了相控陣MIMO雷達的優越性。文獻[24]從接收端角度出發考慮陣元空間位置的配置，并提出了兩種增益在多輸入多輸出-多站雷達系統(Multiple-Input Multiple-Output Multisite Radar System,MIMOMSRS)中的優化分配問題。文獻[25,26]研究了數字陣列雷達陣元優化配置，從接收端研究陣元空間配置優化對于雷達系統性能提升的作用。然而，目前還沒有文獻同時從發射端和接收端考慮對相參處理增益和空間分集增益在雷達系統中的分配，研究優化配比對于雷達系統檢測性能的作用具有現實意義。

對此，本文基于混合分布式PA-MIMO雷達建立雷達系統信號模型和陣元空間配置模型，推導得到固定噪聲下的似然比檢測(Likelihood Ratio Test,LRT)器，并建立基于奈曼皮爾遜(Neyman-Pearson,NP)準則的陣元空間配置模型。在此基礎上，提出了3個典型優化問題，即檢測概率最大化、雷達有效作用距離最大化以及給定檢測指標下雷達系統設備量最小化。對此分別構建優化模型得到了各自的閉式近似解，并利用提出的基于量子粒子群優化的隨機取整(Quantum Particle Swarm Optimizationbased Stochastic Rounding,SR-QPSO)求解得到雷達系統的陣元配置的最優化策略。實現了在現有雷達資源總量的基礎上，雷達系統中陣元之間的合作優化，提升雷達檢測性能。

2 系統模型

2.1 混合分布式PA-MIMO雷達系統模型及其信號模型

設混合分布式PA-MIMO雷達的觀測模型如圖1所示，MIMO雷達系統在二維平面xoy內M個發射陣元同時發射M個正交波形信號，N個接收陣元接收目標的回波信號。

圖1 混合分布式PA-MIMO雷達結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the hybrid distributed PA-MIMO radar structure

雷達系統每個子陣內部為相控陣模式，子陣之間為MIMO模式，其中每個發射陣元的輻射功率為Pt，雷達發射天線增益為Gt，雷達接收天線增益為Gr，發射信號波長為λ；則根據基本雷達方程和MIMO雷達信號模型[18]，雷達發射信號經位于 (x0,y0)目標散射后被第n個接收陣元接收的信號可表示為

其中，sm(t)為m-th發射陣元發射的窄帶信號，滿足MIMO雷達正交信號條件=δlk，*表示共軛轉置運算，δlk為Kronecker Delta函數，‖sm(t)‖2=1；L為雷達系統損耗，φnm為多通道采樣中雷達陣元空間配置引起的相位差，τmn=(Rm+Rn)/c表示n-mth信道中m-th發射陣元到目標質心的距離Rm與目標到n-th接收陣元的距離Rn和而引起的信號時延，其中恒值 c為光速。此外，σnm為第m個發射陣元和第n個接收陣元之間所觀察到的目標散射截面積，并且目標與MIMO雷達各陣元之間的距離滿足遠場條件并且陣元之間的最大距離遠小于目標距離R，即認為Rm=Rn=R。進一步，定義m-n信道中的目標回波幅值系數αnm

假設目標RCS波動服從SwerlingⅠ型，即σmn服從均值為0，方差為σ2的復高斯分布。也即αnm是一個方差為的復高斯分布變量。在此基礎上，M個陣元發射的信號經目標散射后被N個接收陣元接收到的信號可表示為

2.2 混合分布式PA-MIMO雷達分集條件及陣元部署

目標散射系數矩陣可以通過改變雷達系統各子陣間的距離來調整矩陣元素之間的相關性[16]，進而改變回波信號在雷達系統中的處理模式。不失一般性，空間信號的相關性由陣元間距d定義為[27]

其中，D為目標的切向長度。從本質上來講，對混合分布式PA-MIMO雷達進行空間配置、分配兩種增益在雷達系統中的比重，就是改變目標散射系數矩陣H各元素的相關性上。若陣元間距不滿足式(4)中空間分集條件時，各子陣之間組合成為相控陣體制雷達；若陣元間距滿足式(4)中的空間分集條件，各子陣之間遵循MIMO雷達信號處理機制。

因此，考慮通過改變雷達天線陣元之間的距離，使得相應的目標散射系數之間完全相關或者不相關。若信道對應目標散射系數αlk與αnm之間完全不相關，對空間目標形成角展寬，從而獲得空間分集增益；當αlk與αnm之間完全相關時，雷達系統對相應的目標回波rlk與rnm進行相參處理提高目標回波信號的信噪比。因此按照雷達系統各信道的相關性對目標散射系數矩陣進行重組劃分，構建陣元優化配置后的目標散射系數矩陣為

圖2可以更形象地說明混合分布式PA-MIMO雷達的陣元配置。M個發射陣元與N個接收陣元分別重組劃分為個子陣，個發射子陣和個接收子陣內部按照相控陣雷達體制進行相參處理，同時各個子陣之間按照MIMO雷達體制發射和接收相互獨立的正交信號進行分集處理，使雷達系統同時具有相參增益與空間分集增益。

圖2 混合分布式PA-MIMO雷達陣元優化配置結構圖Fig.2 Structure diagram of hybrid distributed PA-MIMO radar array element optimization configuration

空間分集處理可以通過提高檢測器的獨立通道數來改善檢測性能，相參處理通過提高各通道的檢測信噪比從而改善檢測性能。由此通過對目標散射系數矩陣進行分塊的方法，協調分配MIMO雷達空間分集增益與相控陣相參增益在雷達系統中的比重，實現優化雷達系統目標檢測的性能。

3 混合分布式PA-MIMO雷達目標檢測模型

3.1 混合分布式PA-MIMO雷達信號處理流程

對于所提出的混合分布式PA-MIMO雷達系統，其信號處理流程如圖3所示。混合分布式PA-MIMO雷達系統發射的正交信號經目標散射至個雷達接收陣元，接收的信號首先通過匹配濾波器組生成D=路通道輸出獨立信號，然后信號經過相控陣雷達內部相干積累與空時配準，最后進行信號采樣、似然比檢測[28]。

圖3 混合分布式PA-MIMO雷達信號處理流程Fig.3 Signal processing flow of hybrid distributed PA-MIMO radar

因此，任一子陣在目標檢測單元采樣值對應的信噪比可近似為

其中，T為發射陣元信號的脈沖寬度，定義ρ0=為基準信道信噪比，表示單個獨立信道作用距離R處目標提供的信噪比。由于不同子陣間對應信道之間的獨立性以及子陣內部各信道之間的完全相關性，子陣內部各陣元對應的信號進行相參處理，各子陣對應信號在對信道延遲完成時空配準之后進行非相參處理。

因此，混合分布式PA-MIMO雷達具有優質檢測性能的本質在于首先提高各子陣內部所有信號樣本的局部信噪比，在此基礎上對所有獨立子陣之間產生的空間分集增益進行優化，從而進一步提高雷達系統的目標檢測能力。

3.2 混合分布式PA-MIMO雷達似然比檢測

本節以圖2所示陣元配置后的混合分布式PAMIMO雷達系統為研究模型。根據不同子陣的空間配置滿足式(4)中空間分集條件，各子陣輸出各不相關，故路信號相互獨立正交。假設雷達系統接收到的噪聲等級是已知的，則各回波信號為獨立同分布的復高斯隨機變量。因此，雷達系統不同子陣的平方律檢波輸出為

概率密度函數表示為

基于NP準則，構造混合分布式PA-MIMO雷達似然比檢測器，可表示為

其中，f(·|H1)與f(·|H0)分別表示在兩種假設下的條件分布密度函數，THPM是由接收采樣信號求模輸出構造的檢驗統計量。進一步，對式(13)等號兩端取對數，此時整個混合分布式PA-MIMO雷達的對數似然比為不同子陣的總和：

其中，η0是由雷達虛警概率PFA決定的門限值參數，由此得到H0和H1假設條件下雷達檢測的分析檢驗統計量的分布情況：

(1) 基于H0假設的混合分布式PA-MIMO雷達系統LRT分析。

又因為

其中，Γ(θ,ξ)為伽馬函數，參數θ和ξ分別代表伽馬分布的尺度參數和形狀參數，式(20)中v0,g0分別為

(2) 基于H1假設的混合分布式PA-MIMO雷達系統LRT分析。

其中，v1,g1分別為

至此，綜合考慮式(17)、式(20)、式(25)，得到混合分布式PA-MIMO雷達系統LRT檢測器：

4 優化問題模型及求解

4.1 混合分布式PA-MIMO雷達系統優化問題概述

混合分布式PA-MIMO雷達系統進行陣元配置優化的目的是提高雷達系統的目標檢測性能。一般而言，雷達系統目標檢測性能的評價標準有：檢測概率PD，雷達系統信噪比，探測距離Rmax以及雷達分辨率等等。然而，不同的優化目的可能采用不一樣的優化配置策略。第一，檢測概率PD常是用來刻畫雷達系統檢測能力最直觀的性能指標，研究基于給定信噪比的陣元配置優化問題；第二，對于一定的檢測概率與虛警概率下，追求雷達系統的最大作用距離；第三，在給定的虛警概率或者檢測概率的條件下減少雷達系統的設備量。因此，利用式(8)、式(28)根據不同的優化設計目的，混合分布式PA-MIMO雷達的優化設計可以分為以下3個優化問題：

以上3個優化問題從不同的角度考慮提升雷達系統的目標檢測能力，但其核心問題均是對發射端分集向量β和接收端分集向量γ的優化求解。然而，高維整數規劃問題最優化求解過程當中還存在參數耦合問題，無法得到解析解并且求解復雜。為降低搜索時間和求解復雜度，將陣元均勻劃分為一定數目的非重疊子陣進行分析優化，即

4.2 典型陣元部署的混合分布式PA-MIMO雷達系統檢測性能分析

本節分析發射端和接收端分集對雷達系統檢測性能的影響。文中混合分布式PA-MIMO雷達協調利用相參處理和分集處理，分別從提高檢測信噪比和提高檢測通道數兩方面提升雷達系統的檢測能力。按照發射端和接收端的陣元配置方案，混合分布式PA-MIMO雷達系統可以退化為4種典型結構：

(1) 收發全分集處理為分布式MIMO雷達；

(2) 收發全部相參處理為相控陣雷達；

(3) 發射端全分集處理而接收端完全作相參處理為MISO雷達；

(4) 接收端全分集處理而發射端完全作相參處理為SIMO雷達。

由此各典型雷達系統在一定的虛警概率下對應的檢測概率為

式(38)更普遍的意義在于，劃分子陣時盡可能地利用接收陣元實現分集數，從而使得發射端可以用最少劃分的策略提高相參處理增益[29]。

4.3 均勻劃分的混合分布式PA-MIMO雷達系統陣元優化部署

假設雷達系統發射端和接收端均采用均勻不重疊方式配置，結合式(18)和式(28)，有

在給定雷達系統規模M×N,PFA與ρ0時，得到雷達的檢測概率

(1) 優化問題1模型。

優化問題1即為通過優化陣元配置實現雷達系統的目標檢測性能最優化，Z為整數集

(2) 優化問題2模型。

(3) 優化問題3模型。

在滿足雷達系統既定目標檢測性能的前提下，通過陣元優化配置最大限度地減小所需系統設備量。顯然，通過雷達系統分時共用天線收發設備從而提高系統的集成度，是減少系統設備量最直觀且合理的方法。因此，混合分布式MIMO雷達系統的設備量為M，系統分集自由度為。相應的，雷達系統設備總量的優化模型表示為

4.4 基于QPSO的隨機取整優化求解算法

考慮到優化問題為整數規劃問題，且目標函數復雜難以求解。盡管可以通過窮舉搜索來獲得最優解，但問題規模較大，計算量相當可觀。因此，本文提出一種量子粒子群優化的隨機取整(SR-QPSO)求解算法，在提高求解算法效率的同時，其性能與窮舉算法相當。

具有量子行為的粒子群優化算法通過模擬量子系統中態疊加性的強不確定性，在更好覆蓋搜索空間的同時提高了算法的收斂性，改善經典粒子群優化算法搜索后期全局搜索乏力缺陷，提高算法全局優化能力[30,31]。在此基礎上，結合本地搜索提升求解精度[32]，獲得優化問題的整數最優解。

在SR-QPSO算法中，為保證群的收斂性，每個粒子Pi,j(t)須收斂到局部吸引點pi=(pi,1pi,2...pi,j...pi,D),i=1,2,...,Npop，并且粒子的進化方程為

其中，Pg(t)為種群的全局最優點；c1=c2代表優化過程中的加速系數；r1,j(t),r2,j(t)為區間 (0,1)內的隨機數；D是粒子的維數，Npop為種群大小。將進化過程中粒子的平均最優位置坐標表示為

在此基礎上得到種群在(t+1)次迭代中第i個粒子的第j個分量為

其中，粒子勢阱長度為

其中，縮擴張因子α=0.8。

本文采用隨機取整方法，將粒子位置參數的小數部分作為進位取整的概率值，按照概率值向上取整。雖然取整之后的問題與原問題不再等價，但是原問題的可行解集包含在取整優化問題的可行解中，即后者的最大值不會小于原優化問題的最大值。整個算法流程如表1所示。

表1 基于量子粒子群優化的隨機取整求解算法流程Tab.1 SR-QPSO algorithm solution flow

5 仿真結果及分析

為了驗證混合分布式PA-MIMO雷達陣元配置對目標檢測能力的提升效果，以及提出的式(41)—式(43) 3個不同情景下的優化問題，本節設計了一些數值實驗。假設目標雷達散射截面積為1 m2，選取發射陣元和接收陣元數目均為100的混合分布式PAMIMO雷達系統(M=N=100)進行分析，其中虛警概率PFA=10-6，基準信道信噪比ρ0=6.0913×107。最后是QPSO算法的各項參數，其中初始種群個數為100，粒子維度為2，最大迭代次數為100，粒子位置初始化的上界為100，下界為1。

選取基于PSO的隨機取整優化求解算法(SR-PSO)與窮舉搜索法(Exhaustive Search,ES)作為本文SR-QPSO的對比算法，由于SR-QPSO與SRPSO屬于群體智能搜索算法，其計算復雜度主要受種群基數W和最大迭代次數Q的影響。而窮舉搜索算法的計算復雜度取決于問題規模且呈指數型增加，3種算法的對比如表2。

表2 各算法計算復雜度對比Tab.2 Algorithm computational complexity comparison

5.1 優化問題1仿真及分析

本節立足于目標檢測概率PD，研究陣元優化配置對于混合分布式PA-MIMO雷達系統目標檢測能力的提升效果。圖4(a)是優化問題1的不同算法的收斂曲線，每一次迭代將群體最優值作為最優個體，其適應度函數隨著迭代次數的增加而收斂于最優值，同時混合分布式PA-MIMO雷達系統的檢測概率收斂于最優值，此時的陣元配置最優策略為=(1,13)，檢測概率PD達到0.98。圖4(b)分析了分別采用窮舉搜索法、SR-QPSO與SR-PSO得到最優結果所需的時間，結合圖4(a)，所提RS-QPSO算法的收斂速度與運行時間均優于SR-PSO算法。

圖4 基于優化問題1的算法性能對比Fig.4 Algorithm performance comparison based on optimization problem 1

首先，圖5顯示了檢測概率與接收端分集自由度的關系曲線，在一定的虛警概率PFA下，雷達系統的檢測概率PD首先隨著接收端分集自由度的增大而增大，但是當超過最佳的分集數目時，檢測概率PD將隨著的增大而減小。其次，發射端分集自由度大于1的雷達系統的檢測能力遠遠低于發射端全相參雷達，且對應的最佳發射端分集自由度隨著的增大而減小，印證了在3.3節中式(38)發射端最小分集的結論。為此，后續實驗將不再考慮不為1的情況。

圖5 檢測概率與接收端分集自由度的關系曲線Fig.5 Relation curves between detection probability and diversity DOF at receiver

圖6 檢測概率和發射端分集自由度的關系曲線Fig.6 Relation curves between detection probability and diversity DOF at transmitter

如圖7所示，當發射端陣元配置為最優方案時，PFA越高，最優接收端分集自由度越大，同時PD服從一般規律，隨著虛警概率的增長而增大。

圖7 不同虛警概率下檢測概率與接收端分集自由度的關系曲線Fig.7 Relation curves between detection probability and diversity DOF at receiver with different false alarm probabilities

5.2 優化問題2仿真及分析

本節中，假設混合分布式PA-MIMO雷達系統PD=0.8,PFA=10-6，運用SR-QPSO優化求解基于優化問題2的數學模型式(42)。其適應度函數的收斂情況如圖8(a)所示，所提RS-QPSO算法在不超過10次的迭代后，雷達系統有效作用距離RE收斂至最優值1166.3 km，收斂效果與運行時間顯著優于SR-PSO算法。此時，雷達系統陣元配置最優方案為：發射端分集自由度=1，接收端分集自由度為=5。下文中，通過4個仿真實驗辨析發射端分級自由度，接收端分級自由度,PD以及PFA對雷達系統有效作用距離的影響。

圖8 基于優化問題2的算法性能比較Fig.8 Algorithm performance comparison based on optimization problem 2

圖10中，類似于優化問題1，仿真實驗給定接收端分集自由度=3,4,5,6,7，改變發射端分集數，發現發射端分集增加同樣引起雷達系統有效作用距離的衰減。此外，=1時接收端最優配置為=5,=2 時接收端最優配置為=3。因此，=1并不總是最優的發射端分集自由度，與接收端陣元配置協調配合才能實現最大效益。

圖10 雷達有效作用距離與發射端分集自由度的關系曲線Fig.10 Relation curves between effective range of radar and diversity DOF at transmitter

圖11中，固定雷達系統PFA=10-6,PD=0.6,0.7,0.8,0.9,0.99，按照式(42)繪制混合分布式PAMIMO雷達系統有效作用距離與接收機分集自由度關系曲線。雷達有效作用距離隨著雷達系統有效檢測概率的提升而減少。其次，最佳接收機分集自由度隨著PD的增大而增大。

圖11 不同檢測概率下雷達有效作用距離與接收端分集自由度的關系曲線Fig.11 Relation curves between radar effective range and diversity DOF at receiver with different detection probabilities

圖12分別在PFA=10-4,10-6,10-8,10-10,10-12下，繪制了雷達系統接收端分集自由度和雷達系統作用有效距離之間的關系曲線。不失一般性，虛警概率PFA越低，雷達系統有效作用范圍越小。結合圖11和圖12，虛警概率PFA與檢測概率PD相比其對接收端分集自由的影響較小，但最優策略均隨著雷達系統探測精度的上升而增大。

圖12 不同虛警概率下雷達有效作用距離與接收端分集自由度的關系曲線Fig.12 Relation curves between effective range of radar and diversity DOF at receiver with different false alarm probabilities

5.3 優化問題3仿真及分析

由于優化問題3求取混合分布式PA-MIMO雷達系統最小設備量的目標函數優化變量為雷達系統分集自由度，本節考慮陣元為收發一體的天線系統，即式(43)為單變量函數。通過兩個仿真實驗分別研究在不同的虛警概率和檢測概率的條件下，雷達系統追求最小設備量的陣元配置策略。

圖13 不同檢測概率下雷達陣元配置策略Fig.13 Radar array element configuration strategies with different detection probabilities

在給定PFA=10-4,10-6,10-8,10-10,10-12的條件下，探究雷達系統陣元分集自由度與雷達系統總設備量M之間的關系。由圖14可知，PFA越低，所需要的雷達系統設備量越大。當PFA低于10-10時，雷達系統在陣元分集數為=2；當PFA=10-10時，劃分策略為=1,2使得系統設備量最小；當PFA大于10-10時相控陣雷達體制為系統設備量最小的陣元配置方案。

圖14 不同虛警概率下雷達陣元配置策略Fig.14 Radar array element configuration strategies with different false alarm probabilities

5.4 優化結果分析

表3總結對比了MIMO雷達、相控陣雷達以及優化后混合分布式PA-MIMO雷達的性能表現，雷達檢測概率、有效作用距離以及系統設備量指標均有顯著的提升，驗證了優化的有效性。

表3 優化效果分析Tab.3 Optimization effect analysis

6 結語

本文研究了基于目標檢測的混合分布式PA-MIMO雷達陣元優化配置問題，建立了固定噪聲背景下雷達系統的LRT檢測器和陣元配置數學模型，分別分析解決了立足于雷達系統目標檢測概率、雷達有效作用距離以及系統設備量的優化問題。其本質是通過陣元配置改變陣元信號之間的相參性，協調相參增益和空間分集增益在雷達系統中的比重，在不增加資源的基礎上提升雷達系統的目標檢測能力。基于3個優化問題，本文提出閉式近似解得到最優解的粗估計，并利用數值仿真實驗分析各參數對于最優配置策略的影響：顯然，僅使用分集增益或者相參增益的分布式MIMO雷達和相控陣雷達都非最優。發射端通過相參處理提升系統信噪比，由此在一定信噪比水平的基礎上，通過接收端的分集增益可以進一步優化目標檢測性能。