考慮開挖全過程的基坑坑外任意地表沉降實用計算方法

程康，徐日慶，應宏偉，李冰河，張金紅

(1. 中鐵十一局集團有限公司，湖北 武漢，430061；2. 浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州，310058；3. 浙江省城市地下空間開發工程技術研究中心，浙江 杭州，310058；4. 河海大學 巖土工程科學研究所，江蘇 南京，210098；5. 浙江省建筑設計研究院，浙江 杭州，310058)

以杭州為例，“十三五”期間城市地鐵新開通里程近200 km，在地鐵隧道沿線進行基坑開挖難以避免。而在建筑物、管線密集的軟土地區進行基坑開挖將不可避免地對鄰近既有構筑物帶來擾動，如引起路面不均勻沉降、地下管線變形，甚至會引起結構的開裂和破壞[1-4]。由此可見，對基坑開挖誘發的坑外地表沉降進行預測具有較重要的現實意義。當前，針對基坑開挖誘發坑外地表沉降問題，錢建固等[5]將基坑開挖誘發的地表沉降問題簡化為平面應變條件下的位移-位移彈性邊值問題，結合鏡像法推導了基坑剛性擋墻在平移、繞墻趾轉動、繞墻頂轉動下的地表沉降理論解，張戎澤等[6]通過室內模型試驗，驗證了該理論解的正確性；為進一步考慮擋墻變位模式，顧劍波等[7]將擋墻任意變位模式分解為梯形剛性模式和拋物線柔性模式，然后求解平面應變方程，從而推導了柔性擋墻在任意變位模式下的地表沉降公式。上述理論方法推導嚴謹，為類似工程問題的求解提供了很好的途徑。但采用上述方法時，只有已知圍護擋墻的變形分布才能進一步給出坑外地表沉降的預測值。

相較于理論分析法，數值方法則能夠考慮基坑開挖過程中土體變形特性及深基坑工程的復雜性，并且可以結合基坑開挖及支護結構施工順序進行模擬，因此被廣泛應用與基坑工程中。基于工程實測和數值模擬，鄭剛等[8]探究了基坑圍護擋墻最大側移所在位置對開挖性狀的影響，發現可適當調整圍護結構最大側移發生位置以減小開挖對環境產生的不利影響。CHEN等[9]以某緊鄰寧波地鐵1號線的深基坑為研究對象，結合室內試驗和現場實測資料，建立基坑-隧道共同作用的三維有限元模型。結果表明：基坑的分區開挖對鄰近既有隧道的保護作用效果明顯，而隔斷墻及被動區土體加固效果較差。ZHANG等[10]采用硬化土(HS)模型進行了一系列三維有限元分析，給出了黏土強度、墻體剛度、開挖長度、開挖深度和寬度與墻體最大撓度包絡線間的關系式。但數值法計算相對復雜，耗時較長，且結果的準確性依賴于土層參數及本構關系的合理選取。

此外，被從業人員廣泛使用的還有實測分析法。應宏偉等[11]研究了杭州深厚軟黏土中某深大基坑開挖的變形性狀，發現時空效應是影響軟黏土中大型基坑坑外水平位移的重要因素。YING等[12]對杭州地區10 個采用排樁墻為支撐的深基坑變形特點進行分析時發現，基坑開挖寬度對擋墻最大撓度的影響不可忽略。程康等[13]以杭州某30.2 m 深大基坑工程以及16 個杭州基坑案為研究對象，提出了基于基坑開挖面積與地連墻最大側移之間的經驗關系式。實測分析法簡便實用，所獲結果及結論對于預測墻后地表沉降及用于數值結果的校驗具有較好的指導作用。

因此，在上述研究的基礎上，本文作者以收集到的16 個杭州地鐵基坑為研究對象，首先，建立起杭州地鐵基坑施工的標準模型及土層模型，并以此為基礎進行數值建模；接著，將上述數值與已有工程案例的實測值、既有文獻值進行對比，驗證數值模型的準確性，在此模型的基礎上進一步分析其各開挖階段變形性狀。最后，結合實測統計、數值模擬以及理論分析，提出可考慮基坑開挖過程的坑外地表沉降分布的新預測方法。其優勢在于：無需獲知基坑圍護擋墻的變形分布，即可給出坑外任意地表的沉降預測值；較之于既有研究大都只考慮基坑開挖至坑底時的坑外沉降，所提方法可動態考慮基坑開挖全過程中的地表沉降。研究成果可為合理預測基坑開挖對坑外地表影響提供一定理論支持。

1 地鐵車站基坑標準化

有關杭州地區深基坑變形分析大多以單一基坑為對象進行研究，然而，研究所獲規律往往對其他不同類型、不同規模、不同施工方法的基坑并不適用。地鐵基坑是城市建設中常常遇到的類型，通常一個城市地鐵基坑的各類參數(如基坑的長、寬、深)、圍護結構以及施工方法等都比較接近。因此，有必要以這類基坑為研究對象，分析其變形特點，總結共性規律，以期獲得適用范圍更廣、普適性更好的結論。研究成果亦可為類似地區同類工程的開展提供一定指導。

16 個杭州地區支護形式為“內支撐+地連墻”的地鐵車站深基坑工程參數如表1所示。通過對16個深基坑工程圍護結構的參數、土層基本參數、深基坑開挖過程及每層開挖深度等進行統計分析，得到杭州地區地鐵基坑各項基本參數的標準化模型。

表1 地鐵車站基坑參數統計Table 1 Parameter statistics of subway station basement

杭州地區地鐵基坑的標準化長L、寬B、最終挖深He分別為190 m、20 m、17.5 m。采用厚為800 mm、長為37 m 的地下連續墻以及5 道支撐作為支撐圍護系統，其中，地下連續墻剛度為18 GPa，首道由截面長×寬為800 mm×800 mm 的混凝土支撐，在水平方向布置間距為6 m；第二、三道由截面長×寬為609 mm×16 mm 的Q235 鋼支撐；第四、五道為截面長×寬為800 mm×16 mm 的Q235 鋼支撐，第二、三道和第四、五道鋼支撐在水平方向上的布置間距分別為2 m 和4 m。表2 所示為標準化地鐵基坑的施工開挖過程及相應標高。

表2 基坑開挖工況Table 2 Excavation conditions of basement

2 標準化模型合理性驗證

采用通用三維有限元軟件PLAXIS3D 進行數值計算，沿上述標準化基坑長邊的中軸線取其1/2進行有限元分析，基坑分為標準段和端頭井2 部分，其中，標準段長×寬為80 m×20 m，端頭井長×寬為15 m×24 m。為消除模型范圍對計算結果的影響，計算邊界取基坑3.5倍開挖深度以外[14]，即模型范圍(長×寬×高)取155 m×140 m×60 m。模型頂面自由，側面設置水平約束，底面設置固定約束。在計算過程中，初始應力生成后和基坑開挖前位移均重置為零。大量工程實測和研究表明，基坑周圍除少數區域發生明顯的塑性變形外，其余大部分區域土體處于小應變狀態，且整個開挖以卸載為主。因此，考慮土體小應變特征與卸載特征的土體模型理論上更適合于基坑開挖數值分析[15]。本文采用HSS 本構模型，杭州城東地區土層的小應變參數見表3[16-18]。圖1 所示為三維有限元模型的網格圖，包含41 331個單元，79 865個節點。表3 所示為數值模型中地連墻以及隔離墻的相關參數。本文所建立的杭州地鐵深基坑標準模型與閘弄口站基坑的幾何參數類似，且閘弄口站亦位于杭州城東區，其相關參數與本數值模型所采用的參數有較好的一致性，因此，可將本數值模型的計算結果與文獻[19]的相關監測結果進行對比，從而驗證有限元分析結果的可靠性。

表3 杭州城東地區典型土層參數Table 3 Parameters of typical soil layers in east area of Hangzhou

圖1 三維有限元網格圖Fig. 1 3D finite element mesh

圖2 所示為在基坑開挖完成(即工況7)時地表沉降及地連墻側移的三維數值模擬結果與實測值對比曲線。由圖2可見，由本文數值解得到的坑外地表最大沉降出現在距擋墻0.45He處，最大沉降為0.12%He；擋墻最大側移則發生在0.5He深度處，最大側移為0.24%He，達到了地表最大沉降的2倍。與實測值相比，不論是坑外地表沉降還是基坑擋墻水平撓曲變形，實測值和數值解均較吻合。這初步驗證了本三維模型的準確性。此外，圖2還給出了由王衛東等[20]提出的軟土地區板式支護基坑最大變形預測公式計算得到的簡化解。王衛東等[20]認為當挖深He大于7 m 時，擋墻最大側移δhm發生在距地表0.5He處，且墻頂、底的側移分別為0.05δhm和0.1δhm，而開挖對坑外地表的主影響區為距擋墻0～2He范圍內，次影響區在2He～5He范圍內，最大沉降發生在距離墻后0.5He處，緊靠墻體處的沉降為最大沉降0.5倍。經對比發現，在坑外地表沉降上，簡化解略小于數值解，在擋墻變形上，簡化解則是略大于數值解，綜合變形趨勢以及變形大小，簡化解與數值解較吻合。因此，可在本數值模型的基礎上進一步分析各開挖階段性狀。

圖2 工況7地表沉降及地連墻側移數值解與實測值對比Fig. 2 Comparison of numerical solution and test values of ground surface settlement and lateral wall displacement of excavation 7

在基坑各開挖階段下，擋墻側移和坑外地表沉降隨開挖的發展情況如圖3 所示。由圖3 可見，各開挖階段坑外地表沉降數值解均在TAN 等[21-22]提出的軟土地區基坑的地表沉降包絡線內，而且在形態上也基本一致，這間接證明了本數值模型解的有效性。此外，在坑外地表的沉降分布上，杭州地區地鐵車站基坑開挖后的沉降分布與歐章煜[23]修正后的沉降分布一致性良好，即地表沉降主影響區為距擋墻0～He，次影響區為墻后1He～2He處，最大地表沉降出現在距擋墻1/3He處，由此進一步證明數值模型和材料參數的可靠性。

圖3 基坑標準化模型分步開挖的地表沉降及地連墻側移Fig. 3 Surface settlement and lateral wall displacement of each excavation condition of subway station foundation pit

3 考慮基坑開挖過程的坑外地表沉降分布預測

3.1 橫向變形（垂直基坑長邊）分布規律

在基坑不同開挖階段下，x=0斷面處(對應圖2)的坑外地表橫向沉降分布曲線如圖4 所示，其中，s為距基坑外邊緣的垂直距離，δv為地表沉降，H為基坑各開挖階段的挖深，svmax為地表最大沉降。由圖4可見：地表沉降曲線近似呈“勺”狀分布或“三段式”折線分布。地表沉降受開挖深度影響十分明顯，隨著挖深增加，地表沉降顯著增大，顯然，與基坑淺部土體的開挖相比，深部土體的開挖可使更多的應力釋放，進而產生更大的地表沉降，這進一步驗證了杭州軟土地區基坑開挖的深度效應[13]。此外，隨開挖深度H的增大，地表最大沉降δvmax的發生位置smax也逐漸增大，地表沉降δv=0 出現的位置基本保持在s=50 m 附近，近似為基坑挖深的3倍。

圖4 不同開挖深度下地表橫向沉降Fig. 4 Surface transverse settlement for different excavation depths

3.2 橫向變形(垂直基坑長邊)分布預測及驗證

由圖4可知：δvmax/H以及地表最大沉降所在位置smax受基坑挖深影響明顯。若能準確地預測各開挖階段下的δvmax/H及smax，則可較準確地得出各開挖階段的地表沉降曲線分布。圖5和圖6所示分別為δvmax/H、smax與H的關系曲線。當H≥7 m 時，相應的擬合式如式(1)和式(2)所示。

圖5 基坑挖深H與1 000δvmax/H的關系Fig. 5 Relationship between excavation depth H and 1 000δvmax/H

圖6 基坑挖深H與地表最大橫向沉降位置smax的關系Fig. 6 Relationship between excavation depth H and location smax of the maximum surface transverse settlement

由此可知：若已知基坑任意階段的開挖深度，則可得出對應的δvmax/H及其所在位置smax。基于上述分析并結合式(1)和式(2)，考慮基坑開挖過程的地表橫向沉降“三折線”分布的簡化計算式如下：

由式(1)～(3)所得的預測解與模型數值解對比結果如圖7 所示。由圖7 可見，在地表沉降的位移、沉降范圍及沉降曲線輪廓上，預測解和模型數值解均取得了較好的一致性，驗證了所提預測公式的準確性。

圖7 不同開挖深度下的地表橫向沉降預測解與模型數值解對比Fig. 7 Comparison of predictive solutions and numerical of ground surface transverse settlement for different excavation depths

3.3 縱向變形（平行基坑長邊）分布規律

在距基坑外側5、15、25 m處，當開挖深度為8.0、11.5、14.5、17.5 m時，坑外地表縱向沉降分布曲線如圖8所示。由圖8可見，與地表橫向沉降發展規律類似，隨基坑挖深增加，地表縱向沉降顯著增大，這同樣反映了基坑開挖的深度效應。此外，當基坑挖深一定時，地表縱向沉降從基坑端部向基坑中部逐漸增大而后趨于穩定，這是受基坑端部的“坑角效應”所致；同時，隨著逐漸遠離基坑端部，地表縱向沉降增大到最大并趨于穩定，表明基坑逐漸進入平面應變狀態。然而，隨著基坑挖深進一步增大，基坑變形進入平面應變狀態的位置需要離基坑端部更遠。為更清楚地解釋上述現象，引入OU 等[24]提出的平面應變比(PSR)，其定義為基坑某斷面的最大變形與該平面應變分析的變形最大值之比。當基坑變形符合平面應變時，平面應變比為1。平面應變比與基坑的多項特征相關，當基坑的“長深比”L/H超過一定值后，平面應變比即等于1，此時，基坑不是中部位置產生最大變形并進入平面應變狀態，而是對處于基坑中部附近的一段區域都將處于平面應變狀態。因此，當基坑挖深H逐漸增大時，為滿足平面應變比為1，基坑中部進入平面應變狀態的區域將逐漸減小。

圖8 不同開挖深度下地表縱向沉降Fig. 8 Curves of ground surface settlement longitudinal to wall during different excavation depths

3.4 縱向變形（平行基坑長邊）分布預測及驗證

在分析盾構掘進或基坑開挖等誘發鄰近土體的相關變形時，常使用一些經典的輪廓函數來描述、分析開挖引起的變形形態。常見的輪廓函數是正態概率函數(正態高斯分布函數)，一些學者利用高斯函數描述隧道上方沉降槽的輪廓[25-28]。為探究芝加哥地區某基坑開挖的變形性狀，ROBOSKI等[29]利用互補誤差概率函數來描述基坑外側平行于基坑圍護結構方向的側向地表沉降分布。目前對黏土地基中的開挖引起的地表沉降研究較多，而針對砂土地基中的基坑開挖的研究則非常少，RUSSO 等[30]研究意大利那不勒斯市區一火山碎屑砂中的27 m的深基坑時，對ROBOSKI等[29]所提預測公式進行了修正，使之能夠由黏土地基進一步拓寬到砂土地基中的基坑開挖地表形態預測。

互補誤差函數(erfc)定義為

其中：u為歸一化高斯函數的歸一化變量，erf(0)=0和erf(∞)=1。互補誤差函數示意圖如圖9所示。

圖9 互補誤差函數示意圖[29]Fig. 9 Diagram of complementary error function[29]

基于互補誤差函數變形曲線的一般式如下：

式中：x為到原點的距離；A為互補誤差函數拐點到基坑邊角的距離，即δmax/2，B為拐點處斜率的形狀參數；C為振幅參數；D為垂直偏移參數。坑外地表縱向沉降參數示意圖如圖10所示。

圖10 坑外地表縱向沉降參數示意圖Fig. 10 Schematic diagram of longitudinal settlement parameters outside pit

根據互補誤差函數形態與開挖誘發的地表沉降分布關系可知：

式中：δmax為地表最大沉降值。

對于常規基坑開挖，分析側的長度為L，不難發現基坑中間位置所在之處，即δmax在距離邊角L/2位置，y(x=L/2)=D，代入式(5)得

當x增大到無窮大時，互補誤差函數趨于零，必須進行合理截斷來計算函數。GILL 等[31]基于最小二乘擬合發現當互補誤差函數近似為零時，可取如下條件：

結合式(6)～(9)，式(5)可進一步寫成：

由式(10)可見，僅需得到A和δmax即可得到變形曲線的控制方程。值得注意的是，對應不同的基坑開挖深度，顯然也對應著不同的沉降曲線拐點即不同的A。ROBOSKI 等[29]對其實測基坑數據進行反分析，建立了A與He/L的近似關系：

結合式(10)和式(11)，即可繞過反彎點A，利用基坑挖深H、基坑長度L和最大沉降δmax這3 個控制參數給出基坑不同開挖階段的坑外地表側向沉降曲線。然而，式(11)是在芝加哥地區某基坑的實測數據基礎上建立的，對于分布有深厚軟黏土的杭州而言并不適用。因此，必須有針對性地建立起杭州地區基坑開挖坑外側向沉降曲線的A與H/L的關系式。根據標準化有限元三維基坑模型各開挖階段坑外沉降數據，杭州地區的2A/L與H/L關系如圖11所示。

圖11 2A/L與H/L關系曲線Fig. 11 Relationship curve between 2A/L and H/L

A與H/L的關系式為

結合式(10)和式(12)，可得考慮基坑各開挖階段的坑外地表縱向沉降分布曲線如下：

在不同開挖深度以及間距下，本文的地表縱向沉降預測解與模型數值解對比結果如圖12所示。由圖12 可見，在沉降曲線上，盡管預測解與數值解存在一定差別，但地表最大沉降量及沉降曲線輪廓均吻合較好，且誤差也在工程實踐可接受范圍內。由此，通過與不同開挖階段、不同間距下的地表沉降曲線等對比，可驗證所提預測公式的準確性。

圖12 不同開挖深度以及間距下的地表縱向沉降對比Fig. 12 Comparison of ground surface longitudinal settlement for different excavation depths

3.5 考慮開挖過程的坑外地表沉降分布預測流程構建

在任意開挖階段(H)，坑外任意點的沉降值計算步驟如下：

1) 由式(1)～(2)計算基坑橫向最大沉降值δmax以及所在位置smax(垂直基坑長邊方向），代入式(3)即可得出坑外最大橫向沉降分布曲線。

2) 利用δmax，由式(13)計算出過該橫向最大沉降點的縱向(平行基坑長邊方向)沉降分布曲線。

3) 當步驟2)中取坑外最大橫向曲線上任意點時，也可得到對應的δ，將δ作為最大沉降代入式(13)，同樣可獲得過該點的縱向沉降分布曲線。

4 與工程實例結果對比

為進一步說明本文方法的合理性與適用性，選取杭州城東地區某地鐵基坑為研究對象，基坑相關參數與上述標準化基坑模型一致性較好。場地土層參數以及基坑施工工況見表2 和表3，基坑幾何尺寸以及地表沉降監測點布置簡圖如圖13 所示。其中，基坑全長270 m。地表布置有A-A、B-B共2條監測線，線上各監測點距基坑長邊的距離分別為3、6、10、18 m。基坑典型剖面以及各支撐情況如圖13(b)所示。

圖13 基坑平面及典型剖面示意簡圖Fig. 13 Schematic diagram of foundation pit plan and typical section

在不同開挖深度下，地表橫向沉降預測解與現場實測結果對比如圖14所示。由圖14可見，雖然在基坑挖深較淺時，預測解與實測值存在一定差異，但整體而言，各監測點沉降及其變化趨勢與本文所提預測結果基本一致，且隨基坑開挖深度的增加，預測解和實測值的一致性更好。選取圖14 中距基坑側壁距離s=10 m 處(最大沉降位置)的沉降預測值作為最大沉降δmax代入式(13)，可得出基坑不同挖深下的地表縱向沉降預測解，如圖15 所示。可見：盡管地表縱向沉降監測點較少，但在不同挖深下，地表縱向沉降與預測值較吻合。

圖14 不同開挖深度下的地表橫向沉降對比Fig. 14 Comparison of surface transverse settlement for different excavation depths

圖15 不同開挖深度下地表縱向沉降對比Fig. 15 Comparison of surface longitudinal settlement for different excavation depths

以上結果進一步證明本文所提出的預測公式的適用性。本文所提出的預測公式作為一種簡化實用計算公式，可對基坑開挖誘發的坑外地表沉降預測進行快速且簡便預測。

5 結論

1) 基于所收集的16 個杭州地鐵基坑案例，建立杭州地鐵基坑標準模型，包括基坑幾何參數模型、基坑施工過程模型以及場地土層參數模型。

2) 對所建立的杭州地鐵基坑標準模型進行建模分析，通過將數值解與工程案例的實測結果、既有文獻解進行對比，驗證了所建標準基坑模型的準確性。

3) 以此數值模型為基礎，分析地鐵基坑在各開挖階段的地表沉降特征。當開挖深度超過7 m時，坑外地表橫向沉降曲線由“懸臂狀”轉化為“三段式”折線。隨著挖深的增加，地表沉降顯著增大，地表最大沉降的位置距基坑的距離也逐漸增大。基坑開挖的地表沉降影響范圍近似為基坑最終挖深的3倍。

4) 提出可考慮基坑全過程開挖的坑外地表沉降分布的新預測方法，并驗證了所提出方法的準確性。

5) 需要指出的是，本文所提出的動態預測方法主要針對杭州地鐵基坑，對于其他地區基坑以及不同類型的基坑，該預測方法的適用性有待進一步驗證，但是該預測方法的建立思路及方法對于其他不同地區不同類型的基坑分析仍然是適用的。