基于貝葉斯優化的磁光阱多參數自主優化系統

陳 浪,段俊毅,于治龍,郭 爍,劉小赤

(1.沈陽化工大學信息工程學院,沈陽 110142; 2.中國計量科學研究院前沿計量科學中心,北京 100029; 3.中國科學院精密測量科學與技術創新研究院,武漢 430071)

0 引言

激光冷卻原子技術是20世紀末以來物理學發展最為迅速、成果最為輝煌的領域之一,作為一種外部操控原子的手段,其實現緊密依賴于光與原子的相互作用。冷原子已成為量子物理基礎研究、量子標準與精密測量、量子信息等研究領域的最佳工作介質[1]。其中,以冷原子物理系統為基礎的冷原子鐘在當前各種物理量測量中具有最高的精密度和準確度,例如光晶格鐘、離子光鐘的頻率不確定度達到10-18至10-19量級[2]。除此之外,冷原子技術還廣泛運用于量子精密測量、量子計算、量子模擬等研究領域[3-6]。磁光阱(magneto-optical trap,MOT)是獲得冷原子的簡便可行裝置,該技術相對于其他冷原子技術更簡單、易于操作,但是如何選擇合適的參數去優化磁光阱性能對相關冷原子實驗至關重要[7]。

通過磁光阱獲得冷原子樣品,需要中性原子與特定波長激光相互作用。以典型87Rb原子磁光阱為例,可使用一束波長為780nm的激光作為冷卻光,另一束波長為795 nm的激光作為再泵浦光,并配合一對具有特定磁場梯度的反亥姆霍茲線圈實現對87Rb原子的冷卻與囚禁。實驗操作主要涉及到冷卻光頻率失諧、冷卻光功率、磁場梯度、再泵浦光功率、激光偏振等多個變量調整,所以開展冷原子實驗是一個反復、多步驟的過程[8-9]。通常,實驗參數調整范圍依據物理理論存在特定區域,可以根據理論進行分階段優化,但不同參數之間一般并不相互獨立,基于經驗優化得到的實驗參數易受到外部因素的影響,相同的實驗參數在不同實驗環境下可能會得到有差異的測量結果[10]。另一方面,通過經驗調整實驗參數的方式需要付出大量時間成本,優化一次實驗參數可能需要幾個星期甚至更長的時間。

將機器學習算法與物理實驗相結合是一種有效優化系統的方案,利用算法進行系統參數優化,通過結合實驗系統設計成本函數,利用優化算法對成本函數求最大值,最終可確定最優的實驗參數[11-13]。即便此類方案是高度非直觀,但效果通常優于傳統解決方案且能自主運行[14-15]。當前使用機器學習算法對量子系統參數進行在線優化的方法主要有人工神經網絡和差分進化算法[16-20]。但此類算法有一定局限性,人工神經網絡需合理設計網絡結構,使用大量實驗數據訓練模型并且容易陷入過擬合與局部最優,需與其他全局最優算法結合使用;差分進化算法種群個數不應設置較少,導致下一代個體適應度比原種群個體適應度差,個體無法更新并收斂到極值點。

為了快速優化磁光阱系統參數,并克服常用優化算法的瓶頸,本文提出了利用貝葉斯優化算法對磁光阱實驗系統的多參數進行自主優化。通過將貝葉斯優化算法與實際磁光阱物理系統相結合,設計成本函數,形成多參數自主優化系統。通過運行優化算法對磁光阱系統進行實時優化,對成本函數求最大值得出磁光阱系統最優實驗參數。將算法優化與人工優化的系統參數進行測量對比,算法優化相較于人工短時間內優化的參數能夠捕獲更多冷原子并且原子團溫度更低。實驗結果表明:該方法能夠在短時間內對含有大量參數的復雜物理系統進行優化,并得到較好的效果,也為其他復雜物理系統參數優化提供參考。

1 實驗原理

1.1 磁光阱實驗原理

傳統六束光的磁光阱示意圖如圖1所示,三對激光束交匯于氣室中心,每對激光是偏振方向相反的σ+與σ-光,沿z軸方向通過兩個反亥姆霍茲線圈,產生大小與坐標位置有關的非均勻磁場,坐標中心處磁場為零[21-22]。除冷卻光外,通常需要再加一束激光用作再泵浦光,將躍遷到其他基態能級的原子重新抽運回來。

圖1 三維磁光阱實驗裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of the three-dimensional magneto-optical trap experimental device

為了提升原子冷卻數量和進一步降低冷原子溫度,磁光阱系統參數需要一定的優化,主要包括冷卻光功率、冷卻光失諧、再泵浦光功率、磁場梯度等。上述參數若利用人工優化,可能需耗費大量時間。理想的解決方案是使用機器優化算法代替人工,進行自主在線優化,可在短時間內得到一組較優的實驗參數。我們擬采用貝葉斯優化算法對磁光阱的各項參數進行優化。

1.2 貝葉斯優化原理

貝葉斯優化是一種高效的全局最優化算法,在科學研究與工業領域運用廣泛[23]。通過選擇合適概率代理模型與采集函數,設計合適的成本函數,貝葉斯優化只需少數次成本函數評估便可獲得近似最優解,適用于求解目標表達式未知、多峰、非凸以及評估代價高昂的問題。

考慮將求解磁光阱系統最優參數問題轉化為式(1)最優化問題加以求解

x*=argmaxx∈χ?Rdf(x)

(1)

式中,χ為參數優化范圍,R為實數集,f為成本函數,x為控制系統運行的實驗參數,f(x)為判斷系統運行好壞的反饋指標,x*為最優參數集合。

貝葉斯優化求解目標是找到式(1)的全局最優解。假設現有4個不同輸入x1,x2,x3,x4及對應成本函數值y1,y2,y3,y4,考慮如何選取下一個評估點。理論上,貝葉斯優化屬于主動學習中的一種,由于貝葉斯優化使用代理模型擬合真實的目標函數,根據擬合結果挑選下一個評估點,避免無效的采樣,所以貝葉斯優化能在少數次評估下得出復雜目標函數近似最優解,另一方面,貝葉斯優化利用完整的歷史數據提高搜索效率[24]。

貝葉斯優化算法的主要模型是貝葉斯定理

(2)

式中,D1:n={(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}為已有數據集合,f為未知目標函數,xn為實驗參數,yn=f(xn)+εn為實驗效果反饋,εn為隨機觀測誤差,p(D1:n|f)為y的似然分布,p(f)為f的先驗概率分布,代表對未知目標函數狀態的假設,p(D1:n)為邊際化f的邊際似然分布,p(f|D1:n)為f的后驗概率。

貝葉斯優化主要包括兩個核心部分:采集函數和概率代理模型[25]。采集函數根據后驗概率分布構造,通過最大化采集函數選擇下一個最有潛力的評估點,有效的采集函數能保證選擇的評估點使用總損失最小。

(3)

式中,y*為當前最優解,常用的采集函數有湯普森采樣、熵搜索、置信邊界策略等等。

概率代理模型包含先驗概率模型和觀測模型,先驗概率模型即p(f),觀測模型描述觀測數據生成的機制,即似然分布p(D1:n|f),根據式(2)更新概率代理模型得到更多后驗概率分布p(f|D1:n)。常用的概率代理模型主要包括高斯過程、隨機森林、深度神經網絡等等。

通過貝葉斯優化算法對磁光阱系統參數進行計算優化主要包括以下3個步驟:

1)根據最大化采集函數產生冷卻光功率、冷卻光失諧、再泵浦光功率、磁場梯度等參數取值xn;

2)根據生成參數值設置對應儀器,對磁光阱系統運行效果進行評估得到目標函數值yn=f(xn)+εn;

3)將新得到的參數取值與目標函數值對{xn,yn}添加到歷史數據集D1:n-1中,并更新概率代理模型,跳轉到步驟1,直到滿足退出條件,輸出磁光阱系統最優參數。

2 實驗系統

2.1 磁光阱實驗系統

磁光阱真空系統如圖2(a)所示,長寬高分別為2 cm、2 cm、3.5 cm,玻璃腔室體積為14 cm3,系統整體體積大約80 cm3。實驗中為防止外部電磁場干擾,使用磁屏蔽罩住玻璃腔室。包括冷卻光和再泵浦光的整體桌面實驗系統如圖2(b)所示。系統能夠冷卻106數量級的原子,冷原子熒光在CCD相機中成像如圖2(c)所示。

圖2 磁光阱實驗系統示意圖Fig.2 Schematic diagram of magneto-optical trap experimental system

87Rb原子能級與整體實驗裝置示意圖如圖3所示。磁光阱系統冷卻光(cooling)與探測光(probe)來自于可調諧半導體激光器(DL),激光的波長調諧到銣的D2線780 nm附近,激光線寬小于10 kHz,飽和吸收穩頻系統(SAS)將激光器頻率穩定在從基態52S1/2(F=2)躍遷到激發態52P3/2(F′=1 co 3)交叉吸收峰上,經過偏振分束片(PBS)將激光分成兩束,一束用作冷卻光,另一束用作探測光。冷卻光經過聲光調制器(AOM)兩次移頻后頻率負失諧于F′=3大約1.5Γ,Γ為Rb原子激發態的自然線寬(2π × 6.07 MHz)。探測光功率大約為0.2 mW,經過聲光調制器兩次移頻后頻率負失諧于F′=3大約5 MHz,經過凸透鏡(Lens)擴束之后進入石英玻璃腔,同時開啟CCD相機接收探測光通過吸收成像法計算囚禁原子的數量與溫度。再泵浦光(repump)來自于分布式反饋激光器(DFB),激光器波長調諧到銣的D1線795 nm附近,飽和吸收穩頻系統將激光器頻率穩定在從基態52S1/2(F=1)躍遷到激發態52P1/2(F′=2)上。利用聲光調制器控制再泵浦光的開關,冷卻光與再泵浦光重疊后一起通過光纖耦合進入光纖系統,之后利用光纖分束器將激光均勻分成3束,每束激光功率為8.8 mW左右,光束直徑為7 mm。激光進入石英玻璃腔之前,用λ/4玻片將線偏光轉化為左旋圓偏振光(σ-)和右旋圓偏振光(σ+),這樣能利用速度引起的躍遷選擇和多普勒頻移定則,使原子始終感受到光的輻射壓力,從而冷卻并囚禁起來。

DL為半導體激光器;DFB為分布式反饋激光器;OI為光隔離器;BS為分束片;SAS為飽和吸收穩頻系統;PBS為偏振分束片;QWP為1/4波片;M為全反鏡;Lens為擴束凸透鏡;CCD為電荷耦合器件;Magnetic Shield為磁場線圈圖3 87Rb原子能級圖與整體實驗裝置示意圖Fig.3 87Rb atomic energy level diagram and schematic diagram of the overall experimental setup

實驗中四級磁場由一對反亥姆赫茲線圈提供隨空間位置線性變化的磁場,在一定范圍內改變線圈電流大小,調節磁場梯度大小,一般磁場梯度在10 Gs/cm左右。

2.2 磁光阱多參數在線自主優化系統搭建

將貝葉斯優化算法與實際磁光阱系統相結合,首先需確立磁光阱系統優化目標并設計成本函數。對于磁光阱性能優化評估,一般冷卻原子數量和原子冷卻溫度是最重要的2個參數。但是一般探測原子數與原子團溫度的方法,如吸收成像法與熒光成像法無法做到實時自動計算,需要人工手動尋找原子團在圖像中的具體區域,另一方面算法優化需要多次嘗試不同的參數從而確定最優參數,如果對于每一組參數都需要手動計算,實時性較差。一組參數好壞,可以直接從CCD相機所探測的原子團熒光中體現出來,例如圖2(c)所示,參數設置越合理,CCD相機中成像原子團體積就會越大并且對應像素點取值越高,該值可以實時計算且原子團在CCD相機中成像區域是固定的,故可將成本函數設計如下

(4)

式中,C(X)為給定一組參數的成本開銷也稱為成本函數,n為一組參數重復執行次數(實驗中n取值為3),xy為原子團所在矩形區域,pij為像素點明暗程度,ε為一較小的隨機偏置量,算法優化目標是找到一組使得成本函數最大化的參數。

磁光阱系統待優化參數主要有4個,冷卻光功率、冷卻光失諧、再泵浦光功率及磁場梯度。其中再泵浦光激光功率通過AOM1控制、冷卻光激光功率與頻率失諧量通過AOM2控制、磁場梯度通過電流源輸出電流控制、探測光開啟與關閉通過AOM3控制。使用NI板卡(NI6361)輸出TTL脈沖信號控制AOM與電流源開啟與關閉及CCD相機觸發拍照;使用LabVIEW完成控制儀器運行程序的編寫;使用Python中的bayesian-optimization庫實現貝葉斯優化算法的調用[26]。Python與LabVIEW通過TCP連接實現優化參數的傳輸。

多參數在線自主優化流程如圖4(a)所示,首先確定每一個優化參數的取值范圍,隨機選取5組初始參數并借助磁光阱實驗系統完成初步5次實驗,得到初始化參數及其對應成本作為初始數據集。之后使用貝葉斯優化算法擬合成本函數并預測出當前的最優參數,將預測參數反饋回磁光阱系統進行實驗,得到該組參數的成本開銷。然后判斷當前成本開銷是否為到目前為止最大值,若為最大值則記錄該組參數。最后判斷程序是否滿足退出條件,程序退出條件設置為以下兩種情況之一,第一種是達到最大優化次數,第二種是連續50次成本開銷均沒有大于之前的最大值,若兩種情況均不滿足,則將該組參數及開銷加入數據集中,繼續下一輪優化,否則輸出最優參數集,算法優化完成。

圖4 磁光阱多參數在線自主優化系統實驗時序Fig.4 Experimental time sequence for magneto-optical trap multi-parameter online autonomous optimization system

磁光阱實驗時序圖如圖4(b)所示,首先LabVIEW通過TCP連接接收到對應冷卻光功率、冷卻光失諧、再泵浦光功率、磁場梯度等參數,將參數設置到對應AOM、電流源中,該過程會持續大約100 ms。之后通過NI板卡輸出TTL脈沖信號開啟冷卻光、再泵浦光、電流源輸出激光囚禁冷卻原子,該過程大約持續1 s。然后通過外部硬件觸發開啟CCD相機進行長曝光,拍攝原子團圖像,曝光時長大約100 ms。最后根據拍攝的原子團圖像計算參數開銷,反饋回優化算法,產生下一組參數,以此往復,直到優化完成。一組參數從優化算法生成、磁光阱運行、原子團圖像拍攝、計算參數開銷整個流程能在10 s之內全自動完成。

3 實驗結果與討論

3.1 實驗結果

結合具體磁光阱系統實驗環境及貝葉斯優化算法,將冷卻光光功率設置為0.3～21.4 mW,冷卻光失諧設置為-5～0Γ,再泵浦光光功率設置為0.1～5 mW,磁場梯度設置為1.75～14 Gs/cm。在以上參數區間隨機選取5組不同參數,代入磁光阱系統進行實驗可得出5個實驗開銷。將5組參數組合之后,作為初始數據集,運行貝葉斯算法優化,經過大約30 min的優化過程,迭代優化300次后的實驗結果如圖5所示。

圖5 多參數實時在線優化參數調整實驗結果。Fig.5 Results of multi-parameter real-time online optimization parameter adjustment

圖5(a)反映了對于不同實驗參數以及成本函數變化過程,圖中圓點表示當前實驗輪次實驗參數取值,紅線表示到當前實驗輪次為止最優參數取值,一組實驗參數效果優劣由實驗系統運行后給出反饋后再由成本函數計算得出,成本函數取值越大代表該組參數越適合作為實驗系統運行參數。經過260次優化之后成本函數達到最大,得出磁光阱系統運行最優參數。圖5(b)反映了冷卻光功率在參數區間的優化過程,圖5(c)反映了冷卻光失諧在參數區間內的優化過程,圖5(d)反映了再泵浦光在參數區間內的優化過程,圖5(e)反映了磁場梯度在參數區間的優化過程。5張圖的橫坐標為實驗次數,包括5次初始化實驗與300次優化實驗。從圖5中可以看出4個優化參數起初起伏變化比較大,隨著后續的算法迭代優化,各參數在區間內的起伏程度逐漸降低并趨于穩定,這樣的實驗結果是符合實驗邏輯的。

算法優化過程中記錄每一組實驗參數取值以及成本函數反饋值,成本函數反饋值越大,說明該組參數越適合作為實驗系統的運行參數,算法優化完成后比較輸出成本函數最大取值所對應的實驗參數值作為實驗系統最優實驗參數。最終得到最優實驗優化參數為冷卻光功率為21.3 mW,冷卻光失諧為-1.82Γ,再泵浦光功率為4.95 mW,磁場梯度為9.77 Gs/cm。

3.2 結果討論

表1顯示了對于磁光阱系統運行參數使用貝葉斯優化算法自動調參、差分進化算法自動調參、人工手動調參得到的參數值,從表中可以看出算法自動調參與人工手動調參兩者得到的結果有一定相似性,但算法自動調參的優點是可以在有限的時間內進行多次嘗試,有更大概率找到系統運行最優參數并且不需要先驗經驗,具有更廣泛的適用性。貝葉斯優化算法相對于差分進化算法的優勢是每次迭代優化只需采集一個數據點,而差分進化算法需要采集的數據點由種群的個數決定,并且貝葉斯優化算法能夠有效利用完整的歷史信息來提高優化效率,減少優化所需時長。下面分別使用貝葉斯算法自動調參與人工手動調參得到的參數運行磁光阱系統測量冷卻原子數及原子團溫度作對比討論。

實驗中使用吸收成像法測量原子數,吸收成像法是用一束近失諧的探測光與原子相互作用,利用了Lambert-Beer定律。圖6(a)顯示了人工調整得到的原子團圖像,圖6(b)顯示了貝葉斯優化算法得到的原子團圖像,可以看出算法優化得到的原子團體積更大。圖6(c)顯示了兩種不同方法在不同冷卻光功率情況下捕獲的原子數,隨著激光功率的增加,原子數先增加后趨于穩定,算法優化得出的參數相對于手動優化得出的參數能夠捕獲更多原子數。

圖6 優化算法自動調參與人工手動調參捕獲原子數對比Fig.6 Comparison of the number of atoms captured by the optimization algorithm automatic parameter adjustment and manually parameter adjustment

實驗中使用時間飛行法測量原子團溫度,測量方法是快速關閉磁光阱,使原子團受熱膨脹,由于該過程中原子動能沒有改變,所以具有不同速度的原子從囚禁中心到探測區域所用時間不同,在相同時間內不同速度原子的飛行距離也不同[29-30]。在關閉磁光阱后一定時刻拍攝原子團熒光,可以得到空間域上膨脹的原子分布,原子團大小取決于初始溫度大小,由此可計算初始原子團溫度

(5)

式中,σ為原子團擬合半徑的1/е,kB為玻爾茲曼常數(1.380 649×10-23J/K),T為原子團溫度,m為87Rb原子的質量(1.443 160 60×10-25kg),t為關閉磁光阱后的時長。

關閉磁光阱后,原子團會往橫向和縱向兩個方向進行擴散,可以計算出原子團的橫向及縱向溫度。圖7(a)顯示不同時刻原子團的光學深度圖像(OD),隨著原子自由演化時間增加,原子團逐漸向四周擴散膨脹,OD值逐漸降低。圖7(b)與圖7(c)顯示了算法優化的參數與手動優化的參數原子團的橫向溫度與縱向溫度的線性擬合結果,經過算法優化后的原子團具有更低的橫向溫度與縱向溫度,橫向溫度從0.83 mK降低到0.7 mK,縱向溫度從14.3 mK降低到10.9 mK,優化效果顯著。

圖7 優化算法自動調參與人工手動調參捕獲原子團溫度對比Fig. 7 Temperature comparison of captured atomic clusters by the optimization algorithm automatic parameter adjustment and manual parameter adjustment

4 結論

我們構建了基于貝葉斯全局最優化算法的多參數自主實時優化系統。通過設計成本函數,優化了磁光阱系統參數,驗證了自主實時優化物理系統的多參數方案的可行性。實驗結果表明,基于該系統可以實現復雜實驗系統的多參數自主優化,經過約30 min的實時優化,我們得出一組可靠的最優系統運行參數,該組參數與手動優化的參數相比能夠有效提升系統捕獲的原子數,并降低原子團溫度。所提方案可以通過設計不同的成本函數推廣到其他需要進行參數優化的量子實驗系統中。本研究為系統化、遠程操控冷原子實驗系統提供了一種實時、全自動、智能化的運行控制方法,為冷原子頻標物理系統的快速優化提供了一種方案。