指向高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景下的課堂教學(xué)探究

摘 要：高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求課堂教學(xué)要落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).基于此，教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)意識(shí)和課堂教學(xué)方式，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到課堂教學(xué)中.本文結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課堂教學(xué)實(shí)例，具體闡述在課堂教學(xué)中如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；課堂教學(xué)；雙曲線

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）18-0056-03

收稿日期：2023-03-25

作者簡介：胡彩霞（1982.8-），女，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

隨著新課改的實(shí)施，高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要意義.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，將課堂作為切入點(diǎn)，積極探索培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新方法.只有將核心素養(yǎng)與課堂教學(xué)相結(jié)合，才能實(shí)現(xiàn)高效課堂；只有實(shí)現(xiàn)高效課堂，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).本文以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課堂教學(xué)為例，具體闡述高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略，希望對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作開展起到拋磚引玉的作用.

1 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面^[1].數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)需要具備的最基本的能力.直觀想象和數(shù)據(jù)分析是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想方法.這六個(gè)方面相互滲透，又各自獨(dú)立，共同促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展.高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，要通過教師的課堂教學(xué)和學(xué)生的綜合實(shí)踐活動(dòng)來具體實(shí)施.

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)課堂教學(xué)培養(yǎng)策略2.1 轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，設(shè)置合理的教學(xué)目標(biāo)

為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)理念，以學(xué)生為主體，在充分了解學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上，設(shè)置合理的教學(xué)目標(biāo)，在課堂教學(xué)中讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根^[2].

在學(xué)習(xí)雙曲線前，學(xué)生已經(jīng)熟知了橢圓的定義及推導(dǎo)過程，會(huì)根據(jù)題目要求求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.因此在學(xué)習(xí)雙曲線時(shí)，可類比橢圓對(duì)雙曲線進(jìn)行探究.通過類比、實(shí)驗(yàn)、觀察、小組討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷雙曲線定義的形成，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解的探究過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.

教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用.

2.2 創(chuàng)設(shè)情境，營造利于喚起求知欲的課堂教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有些數(shù)學(xué)概念是比較抽象的.學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的時(shí)候會(huì)覺得很難理解，只是被動(dòng)地接受這個(gè)概念，這就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的理解不夠透徹.因此，在課堂教學(xué)中可以創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)很自然，數(shù)學(xué)來源于生活，喚起學(xué)生的求知欲，自主地加入課堂教學(xué)的探究中.

例如：在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課題引入時(shí)，通過引入生活中的實(shí)例：如北京摩天大樓、巴西利亞大教堂、法拉利主題公園、冷卻塔、羅蘭導(dǎo)航系統(tǒng)原理等（PPT展示）.讓學(xué)生直觀體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

師：雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題.平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為常數(shù)（大于F₁F₂）的點(diǎn)的軌跡是橢圓.那么，平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡又是什么曲線呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過生活中的實(shí)例，讓學(xué)生感知生活中的數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)是自然的.創(chuàng)設(shè)問題情境讓學(xué)生通過類比思想，帶著問題去探究新知識(shí)，化被動(dòng)為主動(dòng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理的核心素養(yǎng).

2.3 實(shí)驗(yàn)觀察，體驗(yàn)知識(shí)生成過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力.

為了讓學(xué)生更好地理解雙曲線的概念，可設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：如圖1，把一條拉開一部分的拉鏈分成一長一短兩條邊，將拉開的兩頭固定在F₁和F₂處（拉鏈兩邊的長度之差小于F₁，F(xiàn)₂間的距離），將鉛筆尖放在拉鏈張開處M點(diǎn)，慢慢拉開拉鏈，使鉛筆尖慢慢移動(dòng)，畫出圖形的一部分；如圖2，再把拉鏈的兩邊交換位置分別固定在F₁和F₂處，用同樣的方法畫出圖形的一部分.

師：通過以上實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們想一想動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F₁和F₂的距離之差會(huì)變嗎？為什么？

生：動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F₁和F₂的距離之差不會(huì)變，都等于拉鏈原長短邊的長度之差.

師：很好！那請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏紤]一下從圖1和圖2中分別能得到什么樣的等量關(guān)系呢？

生1：從圖1中可得：MF₁-MF₂=F₂F=常數(shù).

生2：從圖2中可得：MF₂-MF₁=F₁F=常數(shù).

師：非常好！由圖1及圖2我們得到了：|MF₁|-|MF₂|=常數(shù).那么同學(xué)們能不能類比橢圓定義，給出雙曲線的定義呢？

生1：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.

生2：老師我有不同想法：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于F₁F₂）的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.

師：生2比生1對(duì)雙曲線的定義多了一個(gè)條件：常數(shù)要小于F₁F₂.有必要加這個(gè)條件嗎？

生：有，如果常數(shù)大于F₁F₂，這樣的動(dòng)點(diǎn)不存在.因?yàn)槿切稳我鈨蛇呏畹慕^對(duì)值小于第三邊.

師：很好！請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎家幌拢寒?dāng)這個(gè)常數(shù)等于零時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？當(dāng)這個(gè)常數(shù)等于F₁F₂時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又什么？

學(xué)生經(jīng)過思考討論之后得出：當(dāng)常數(shù)等于零時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F₁F₂的中垂線.當(dāng)常數(shù)等于F₁F₂時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為端點(diǎn)的兩條射線.最后得出了雙曲線的定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之差的絕對(duì)值為非零常數(shù)（小于F₁F₂）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.

設(shè)計(jì)意圖：通過拉鏈實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生再一次感受到數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又反作用于實(shí)踐，生活中處處有數(shù)學(xué).既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又通過實(shí)驗(yàn)觀察，思考探究培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理，數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.4 類比探究，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

高效課堂應(yīng)以學(xué)生為主體，注重學(xué)生的理解能力與參與能力.因此，在教學(xué)過程中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生積極探究.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)使用類比推理的思想，可以讓學(xué)生更好地參與到課堂教學(xué)中，將所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行區(qū)別與聯(lián)系，加深理解，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力.

在推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法如下設(shè)計(jì)：

師：回顧橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟及方法，能否類比推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟是什么？

生：建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡.

師：很好！類比橢圓，如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？圖3 建立平面直角坐標(biāo)系

生：如圖3，以過焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的直線為x軸，線段F₁F₂的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

師：類比橢圓，如何用坐標(biāo)表示點(diǎn)M及F₁，F(xiàn)₂？

生：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c（c>0），則F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）.

師：非常棒！設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)F₁和F₂的距離之差的絕對(duì)值是定長2a（a>0）.則根據(jù)雙曲線的定義可得：MF₁-MF₂=2a，即（x+c）²+y²-（x-c）²+y²=±2a，類比建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡過程，化簡得（c²-a²）x²-a²y²=a²（c²-a²）.由雙曲線定義可知2c>2a，設(shè)c²-a²=b²（b>0），可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x²a²-y²b²=1（a>0，b>0）.類比焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

生：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²a²-x²b²=1（a>0，b>0）.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過類比思想，探索出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，達(dá)到知識(shí)遷移的過程，化被動(dòng)為主動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，有益于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想及學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.5 深化變式教學(xué)，實(shí)現(xiàn)高效課堂，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要在高效課堂中實(shí)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)教師在構(gòu)建高效課堂時(shí)，必須充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的的內(nèi)容，靈活選擇變式教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生層層深入地思考與探究，不斷提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.在得出了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，我們可以通過以下的例題引導(dǎo)學(xué)生不斷的思考與探究，加深對(duì)雙曲線的理解.

例題1 已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），雙曲線上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例題2 方程x²k-2+y²3-k=1表示焦點(diǎn)x在軸上的雙曲線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

3 教學(xué)體會(huì)

新課程標(biāo)準(zhǔn)下，隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式也發(fā)生改變.探索出適合學(xué)情的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方式已成為各個(gè)學(xué)校高中教師的教研重點(diǎn).教師首先要從意識(shí)上轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，明確學(xué)生的主體地位，不能局限在“教師講，學(xué)生聽”這樣的滿堂灌的教學(xué)模式.教師必須根據(jù)學(xué)情探索具有可行性的教學(xué)方法，挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，提高學(xué)生在課堂教學(xué)中的積極性和主動(dòng)性.通過設(shè)置合理的教學(xué)目標(biāo)、創(chuàng)設(shè)生活情境、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、巧設(shè)問題引導(dǎo)學(xué)生類比探究，深化變式教學(xué)等方式來實(shí)現(xiàn)高效課堂，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]張玲玲.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景下的課堂教學(xué)研究：以一元二次不等式及其解法教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].新智慧，2019（16）：81-83.

[2] 楊柏山.核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)高效課堂研究[J].學(xué)周刊，2022（01）：59-60.

[責(zé)任編輯：李 璟]