數(shù)學(xué)練習(xí)課的設(shè)計(jì)與組織

蔣虹

摘 要：練習(xí)課是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要課型。數(shù)學(xué)練習(xí)課在設(shè)計(jì)時(shí)，要精準(zhǔn)把控目標(biāo)，提升練習(xí)的效度；真實(shí)呈現(xiàn)原點(diǎn)，提高練習(xí)的準(zhǔn)度；關(guān)注系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)，挖掘練習(xí)的深度；聯(lián)系真實(shí)生活，增添練習(xí)的活度。在組織時(shí)，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)個(gè)體習(xí)得空間，確保思維順暢閉環(huán)；推進(jìn)結(jié)構(gòu)化對(duì)話，確保思維深度觸發(fā)；實(shí)施嵌入式評(píng)價(jià)，確保思維成功進(jìn)階。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；練習(xí)課；解決問題的策略

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃教師發(fā)展專項(xiàng)重點(diǎn)自籌課題“促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)鍵問題的實(shí)踐研究”（編號(hào)：Jb/2018/13）的階段性研究成果。

練習(xí)課是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要課型。隨著教育理念的更新，如何讓數(shù)學(xué)練習(xí)課呈現(xiàn)出一種生動(dòng)樣態(tài)，滿足學(xué)生的個(gè)性化需求，充分關(guān)注顯性知識(shí)背后承載的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和本質(zhì)，從而更好地發(fā)揮其學(xué)科育人價(jià)值，是一個(gè)非常值得深入研究的課題。本文以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“解決問題的策略”內(nèi)容為例，談?wù)劸毩?xí)課的設(shè)計(jì)與組織。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)課的設(shè)計(jì)

（一）精準(zhǔn)把控目標(biāo)，提升練習(xí)的效度

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定要體現(xiàn)整體性和階段性。^［1］從教學(xué)邏輯來看，練習(xí)課的目標(biāo)應(yīng)該是新授課的延續(xù)和拓展。所以，教師要從新授課目標(biāo)達(dá)成情況、練習(xí)課預(yù)設(shè)任務(wù)要求、學(xué)生思維與能力的培養(yǎng)等不同維度，進(jìn)行多元的練習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)，形成各有側(cè)重的完整目標(biāo)鏈。這樣，才能讓學(xué)生在獲得知識(shí)生長的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

例如，五年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略——列舉》單元共設(shè)置了3課時(shí)。很多教師對(duì)前兩節(jié)新授課的教學(xué)目標(biāo)研究得比較細(xì)致，對(duì)目標(biāo)層級(jí)把握得比較清晰，而對(duì)第3課時(shí)練習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)表述得相對(duì)模糊，總是用“進(jìn)一步理解”“熟練掌握”等詞語來描述，貌似源于新授又高于新授，但對(duì)具體理解到哪一步、掌握到哪種程度、還有沒有自身所需要的拓展性目標(biāo)，缺乏細(xì)致的思考。這樣就會(huì)導(dǎo)致教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)帶有較大的盲目性，練習(xí)課效果大打折扣。

基于知識(shí)技能、問題解決的教學(xué)主線（初步運(yùn)用列舉策略解決簡單問題—學(xué)會(huì)由多種方法來運(yùn)用列舉策略—根據(jù)具體問題恰當(dāng)?shù)剡x擇、運(yùn)用列舉策略），本單元練習(xí)課的首要目標(biāo)是“根據(jù)具體問題恰當(dāng)?shù)剡x擇、運(yùn)用列舉策略”等。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步指向“鼓勵(lì)列舉方法多樣化”“靈活選擇、自覺調(diào)用列舉策略”等隱性目標(biāo)的達(dá)成，從而明晰本節(jié)練習(xí)課解決問題的重心和方向。于是，得到如下教學(xué)目標(biāo)：

1.在具體問題中能正確使用列舉策略，并掌握一些列舉方法和技巧。

2.根據(jù)不同問題選擇合適的方法列舉，培養(yǎng)思維的條理性、嚴(yán)密性。

3.自覺地運(yùn)用列舉策略解決不同的實(shí)際問題，體會(huì)方法的多樣性。

4.在靈活運(yùn)用列舉策略的過程中，體會(huì)策略的應(yīng)用價(jià)值。

（二）真實(shí)呈現(xiàn)原點(diǎn)，提高練習(xí)的準(zhǔn)度

數(shù)學(xué)課需要自省，練習(xí)課更要如此。新授課后，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)已有何種程度的認(rèn)知？教師可以把部分練習(xí)前置，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間梳理和思考一些問題，真實(shí)呈現(xiàn)學(xué)習(xí)原點(diǎn)，從而提高練習(xí)課的針對(duì)性。

例如，五年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略——列舉》練習(xí)課前，教師設(shè)置了前測(cè)練習(xí)單。通過整理，發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤頻率較高的一些問題（如圖1、圖2所示）。

深入剖析不難看出，發(fā)生錯(cuò)誤的原因在于使用列舉的策略解決稍復(fù)雜問題的經(jīng)驗(yàn)不豐富、技巧不熟練，真實(shí)暴露出學(xué)生對(duì)列舉策略的本質(zhì)內(nèi)涵和外延條件的理解水平還處于淺層狀態(tài)。這就為練習(xí)課的設(shè)計(jì)找到了一個(gè)急需解決的靶向問題。據(jù)此，教師有針對(duì)性地設(shè)計(jì)以下題組：

1.（★）圖3中一共有多少個(gè)正方形？

2.（★★）有1克、2克和4克的砝碼各一個(gè)，選其中一個(gè)或幾個(gè)，能在天平上直接稱出多少種不同質(zhì)量的物體？

3.（★★★）正在打造的“滬寧沿江高速鐵路”，從南京到太倉，中間有6個(gè)停靠站點(diǎn)，這段路程要設(shè)計(jì)多少種不同的車票？

這組練習(xí)難度層級(jí)不同，相同點(diǎn)是都無法直接進(jìn)行列舉，需要先對(duì)問題進(jìn)行分析，明確可以分成哪幾類，再一一列舉，這樣才能使結(jié)果不重復(fù)、不遺漏。教師引導(dǎo)學(xué)生比較，感悟“先分類后列舉”的方法和技巧。這樣的練習(xí)，基于真實(shí)的學(xué)習(xí)原點(diǎn)，尋找到練習(xí)課的最佳生長點(diǎn)，讓學(xué)生從被動(dòng)練習(xí)中突圍，成為練習(xí)的提供者、錯(cuò)誤的提醒者、課堂的推動(dòng)者。

（三）關(guān)注系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)，挖掘練習(xí)的深度

思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，練習(xí)也要觸發(fā)思維的生長。練習(xí)不僅僅是一道道題，更要關(guān)注問題之間的關(guān)聯(lián)，知識(shí)之間的體系，經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)通。鄭敏信教授說：練習(xí)的問題，不是求全，而是求“聯(lián)”。數(shù)學(xué)練習(xí)課只有在聯(lián)系中關(guān)注系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)，才能讓學(xué)生在深入理解的同時(shí)，培養(yǎng)整體性思維和關(guān)聯(lián)性思維。

例如，六年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略——假設(shè)》單元練習(xí)課，教師研讀教材習(xí)題，分析問題之間的聯(lián)系和價(jià)值，整合得到如下題組：

1.小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

2.小寧和小春共有72枚郵票，小春給小寧6枚后，兩人有的郵票同樣多。兩個(gè)原來各有郵票多少枚？

3.小寧、小春和小華共有122枚郵票，小春比小寧多12枚，小華比小寧多20枚。三人各有郵票多少枚？

第1題是四年級(jí)下冊(cè)《解決問題的策略——畫圖》的例題，能夠讓學(xué)生在熟悉的問題情境中，激活原有的解題經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)畫圖方法的優(yōu)點(diǎn)，進(jìn)一步明確其本質(zhì)是運(yùn)用假設(shè)策略，使新舊知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)得以融合。第2題是第1題的變式，“小春給小寧6枚后，兩人有的郵票同樣多”等同于“小春比小寧多12枚”。第3題由兩個(gè)量比較升級(jí)為三個(gè)量比較。其后，教師還可以追問：四個(gè)量甚至更多個(gè)量比較，怎么辦？引導(dǎo)學(xué)生的思維向“畫圖分析問題”“假設(shè)替換成相同的量”這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)聚焦。這樣的變化與對(duì)比，從一組題成功跨越到一類題，讓學(xué)生從單項(xiàng)思考向“類思維”轉(zhuǎn)變。

（四）聯(lián)系真實(shí)生活，增添練習(xí)的活度

“三會(huì)”核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)通，在現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法、創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維是最終旨?xì)w。所以，數(shù)學(xué)練習(xí)課在設(shè)計(jì)時(shí)不能局限于鞏固知識(shí)、操作技能和對(duì)常規(guī)問題的解決，更要向真實(shí)的生活開放，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)的意義和價(jià)值。

例如，五年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略——列舉》練習(xí)課課尾，教師設(shè)計(jì)如下練習(xí)活動(dòng)：

師 大家都愛玩游戲，其實(shí)游戲里也藏著列舉的策略。比如，小寧和小春有爭(zhēng)議，不知道聽從誰的意見時(shí)，我們可以建議他們用什么方式來解決？

生 拋硬幣、擲骰子、石頭剪刀布……

師 這些游戲大家都認(rèn)為很公平，那為什么這些游戲的結(jié)果是公平的？我們可以怎么研究？

生 我們可以先把游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列舉出來，再分析。

（學(xué)生兩人一組，任選一種游戲，合作列舉，分析結(jié)果的公平性。）

師 小明和小寧還想來一次比賽，他們有四張撲克牌：紅桃5、紅桃6、黑桃7、黑桃8。請(qǐng)同學(xué)們幫他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲規(guī)則，并驗(yàn)證游戲規(guī)則的公平性。

……

玩游戲是兒童的天性，但他們很少會(huì)用數(shù)學(xué)思維去分析游戲。這樣一個(gè)練習(xí)活動(dòng)，有層次、有開放、有拓展，讓學(xué)生不知不覺“深陷其中”。第一層活動(dòng)：發(fā)現(xiàn)拋硬幣、擲骰子、石頭剪刀布等游戲背后的數(shù)學(xué)奧秘。有趣的問題使學(xué)生好奇心爆棚，而通過列舉策略自主探索出結(jié)果時(shí)，豁然開朗的成就感油然而生。這種強(qiáng)烈而積極的情感讓學(xué)生對(duì)列舉策略的應(yīng)用價(jià)值有了新的感悟。第二層活動(dòng)：設(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲規(guī)則。學(xué)生有了前面豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，馬上自覺調(diào)用列舉策略來幫助解決問題。在這樣一個(gè)自由的、結(jié)果不確定的練習(xí)場(chǎng)域中，學(xué)生的情感是愉悅的、思維是活躍的、思考是深刻的。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)課的組織

數(shù)學(xué)練習(xí)課，“練”是基礎(chǔ)，“習(xí)”是目標(biāo)。教師除了充分優(yōu)化學(xué)生“練”的資源和內(nèi)容，拓寬“練”的時(shí)間和空間，更要多維觸發(fā)他們“習(xí)”的通路，讓他們充分卷入，都能成為練習(xí)的組織者、評(píng)價(jià)者、推進(jìn)者。這樣，才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)從量的積累到質(zhì)的飛躍。

（一）創(chuàng)設(shè)個(gè)體習(xí)得空間，確保思維順暢閉環(huán)

“問題呈現(xiàn)—獨(dú)立試做—交流反饋—完善訂正”，這是大多數(shù)教師采用的練習(xí)組織形式。這樣的流程中，學(xué)生其實(shí)還是在教師的操控下“齊步走”，糾錯(cuò)只能在最后匆匆完成，解題思維很可能半路被中斷，不利于學(xué)生反思力和糾正力的培養(yǎng)。所以，對(duì)待不同難度的練習(xí)內(nèi)容，教師在組織時(shí)可以變換不同的反饋形式。一些通過個(gè)體努力完全能夠自行解決的問題，教師可以讓位，組織自練自糾環(huán)節(jié)，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)完整的自我習(xí)得的空間，讓“練”和“習(xí)”的個(gè)體思維順暢閉環(huán)。

例如，五年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略——列舉》練習(xí)課，教師出示這樣一組練習(xí)：

1.兩個(gè)自然數(shù)相乘，積是36的乘法算式有多少個(gè)？（交換兩個(gè)乘數(shù)的位置后，得到的算式看作不同的算式）

2.城西廣場(chǎng)是1路和2路公交汽車的起始站。1路車6時(shí)20分開始發(fā)車，以后每4分鐘發(fā)一輛車。2路車6時(shí)30分開始發(fā)車，以后每5分鐘發(fā)一輛車。這兩路公共汽車幾時(shí)幾分第一次同時(shí)發(fā)車？

這組基礎(chǔ)練習(xí)只是對(duì)列舉策略的簡單應(yīng)用，大部分學(xué)生獨(dú)立完成的正確率較高。所以，教師同時(shí)出示如下活動(dòng)要求：

“（1）獨(dú)立完成在作業(yè)紙上。

（2）做完后，請(qǐng)打開‘答案解密卡自行校對(duì)，分析錯(cuò)誤，完成訂正。

（3）最后小組里進(jìn)行錯(cuò)題分享。

提醒：5分鐘內(nèi)完成全部活動(dòng)的小組可以為每個(gè)組員貼上一顆‘自主學(xué)習(xí)星。”

讓學(xué)生個(gè)體作為這次練習(xí)的主角，給定時(shí)間，獨(dú)立完成，自行校對(duì)，自行糾正，再在組內(nèi)分享。這樣的組織形式，既關(guān)照到個(gè)體自我反思力和糾錯(cuò)力的提升，又注重了團(tuán)體合作精神的培養(yǎng)。活動(dòng)完成后，全班交流，及時(shí)評(píng)價(jià)，直接指向?qū)W生自主學(xué)習(xí)力的提升。

（二）推進(jìn)結(jié)構(gòu)化對(duì)話，確保思維深度觸發(fā)

數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解需要充盈的過程展開，練習(xí)課在組織與實(shí)施中也不能忽略這點(diǎn)。在練習(xí)的交流中，教師要善于捕捉各種學(xué)生生成中的教學(xué)素材，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的呈現(xiàn)；然后，在序列化的問題對(duì)話中，引導(dǎo)學(xué)生闡述自己的觀點(diǎn)，傾聽同伴的聲音，在對(duì)比中理解，在思辨中糾偏，在互補(bǔ)中完善，使思維層層深入。

例如，五年級(jí)下冊(cè)《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》單元練習(xí)課中，有這樣一個(gè)問題：用分?jǐn)?shù)表示圖4中涂色部分的面積。教師在組織交流時(shí)，呈現(xiàn)了在巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)的三類典型的學(xué)生作品（如圖5—圖7所示，結(jié)果分別為9/16、5/8、5/8）。

教師與學(xué)生進(jìn)行了如下三個(gè)層次的對(duì)話（學(xué)生回答已省略）：（1）同學(xué)們，9/16和5/8，你們贊同哪個(gè)？第一種方法錯(cuò)在哪里？（2）第二種和第三種方法是通過怎樣的操作得到正確答案的？（3）第二種和第三種方法都利用了轉(zhuǎn)化的策略，它們的思維方式有什么不同？

這樣的層級(jí)對(duì)話，通過對(duì)“錯(cuò)誤”的剖析，讓學(xué)生深刻明白“等積轉(zhuǎn)化”的關(guān)鍵與要點(diǎn)；再通過對(duì)“正確”的解讀，讓學(xué)生習(xí)得可以通過切割、平移、旋轉(zhuǎn)等多種方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，聚焦、放大轉(zhuǎn)化策略的特點(diǎn)和價(jià)值；最后進(jìn)行對(duì)比分析，讓學(xué)生感悟到可以利用“割”或“補(bǔ)”等不同的方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。這樣結(jié)構(gòu)化的過程，讓學(xué)生思維的成長軌跡看得見，“練”“習(xí)”的效用充分發(fā)揮。

（三）實(shí)施嵌入式評(píng)價(jià)，確保思維成功進(jìn)階

在練習(xí)課的組織與實(shí)施中，教師的引導(dǎo)作用主要通過評(píng)價(jià)來達(dá)成。課堂情境中的動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)包括實(shí)時(shí)性評(píng)價(jià)和嵌入式評(píng)價(jià)。實(shí)時(shí)性評(píng)價(jià)是教師針對(duì)課堂學(xué)習(xí)中學(xué)生的某個(gè)具體表現(xiàn)進(jìn)行的口頭評(píng)價(jià)，是動(dòng)態(tài)生成的。而嵌入式評(píng)價(jià)是教師在學(xué)習(xí)之前基于學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)生自身發(fā)展的需要而設(shè)計(jì)的，對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行導(dǎo)向的綜合性評(píng)價(jià)，具有預(yù)設(shè)性。在練習(xí)課中，教師要注重嵌入式評(píng)價(jià)，讓評(píng)價(jià)滲透到學(xué)習(xí)問題及活動(dòng)設(shè)計(jì)中去，使得學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)同步并進(jìn)，真正做到以評(píng)促學(xué)，確保思維成功進(jìn)階，提高學(xué)習(xí)成效。

例如，五年級(jí)上冊(cè)《解決問題的策略——列舉》練習(xí)課中，教師把評(píng)價(jià)嵌入學(xué)習(xí)活動(dòng)中：

問題：如圖8，小寧從家到少年宮，如果只許向東或向北走，一共有多少種不同的路線？

活動(dòng)要求：（1）一一列舉出所有不同的路線；（2）用自己喜歡的方法清晰記錄下所有路線。

評(píng)價(jià)指標(biāo)：思考有序，☆☆☆☆☆；思考完整，☆☆☆☆☆；表達(dá)有理，☆☆☆☆☆；方法直觀，☆☆☆☆☆。

這種把問題、活動(dòng)、評(píng)價(jià)融合成一體的練習(xí)實(shí)施方式，不僅讓學(xué)生明白“做什么”“怎么做”，更能引導(dǎo)他們明確“怎樣做更好”。所以，這樣的評(píng)價(jià)實(shí)質(zhì)上是在給予學(xué)生方法的引領(lǐng)，提高了不同思維層次學(xué)生解決問題的學(xué)習(xí)質(zhì)量。就像伊恩·史密斯在《分享學(xué)習(xí)目標(biāo)》中提到的：在一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)開始前，學(xué)生應(yīng)該清楚他們將要學(xué)些什么，以及他們?cè)鯓硬拍苤雷约阂呀?jīng)學(xué)會(huì)了。

一節(jié)優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)練習(xí)課，也應(yīng)和新授課一樣，從引領(lǐng)到放手，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)由被動(dòng)到主動(dòng)的學(xué)習(xí)過程，從逐步學(xué)會(huì)到自己會(huì)學(xué)，積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維，培育素養(yǎng)，真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：85.