跳出機械化技巧，深挖知識背后的思想

曹廣福

摘 要：解答2023年新高考數學Ⅱ卷函數與導數壓軸題，如果將導數作為一種機械化操作的工具，對函數多次求導，則不僅涉及分類討論，而且導致比較煩瑣的計算；如果理解極值概念的局部性本質，把握其蘊含的局部化思想，先求出參數可能的取值范圍再證明，則思路自然，邏輯清晰，一氣呵成。由此可見，數學教學要基于經驗培養直覺，基于知識感悟思想，基于技巧提升思維，特別要引導學生深挖數學知識背后的思想本質，才能將核心素養的培養落到實處。

關鍵詞：數學高考；函數與導數；知識本質；數學思想

素養立意之下，新高考數學試題的風格有了一些變化，對學生理解數學本質、把握數學知識背后數學思想的要求越來越高。對此，如果依然囿于機械化操作的方法，很可能陷于繁雜的技巧中，或許僥幸能夠繞出答案來，但可能花費相當長的時間，導致很難在兩小時內完成全部題目的解答。本文對2023年新高考數學Ⅱ卷函數與導數壓軸題（第22題）的兩種解法進行對比分析，說明深挖數學知識背后的思想本質的重要性。

一、 試題解法的對比分析

2023年新高考數學Ⅱ卷函數與導數壓軸題如下：

（1） 證明：當02

（2） 已知函數fx=cosax-ln（1-x²），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍。

本題第1問屬于常規問題，學生不難想到利用導數判斷單調性。此處重點探討第2問。

先來看一種基于機械化操作的解法：

令1-x²>0，解得-1

因為f（x）=cosax-ln（1-x²）=cos（-ax）-ln[1-（-x）²]=f（-x），所以函數f（x）在定義域內為偶函數。

這一解法將導數作為一種機械化操作的工具，對函數多次求導，不僅涉及分類討論，而且導致比較煩瑣的計算。

這類題需要運用導數是毋庸置疑的，問題是如何運用，運用到何種程度，是利用其蘊含的思想還是將其作為工具，這是決定解題“境界”的關鍵。

事實上，這道題沒有很高的難度，也不需要太復雜的技巧，但是要求考生理解極值概念的本質，把握其背后的數學思想。

在給出基于極值概念背后數學思想的解法之前，我們先呈現基于幾個關鍵問題的思路分析過程：

問題1 x=0是f（x）的極大值點意味著什么？

但是，一階導數為0，只能說明可能是極值，不能說明是極大值還是極小值。或許有些教師講授過二階導數的符號與極大值、極小值的關系，但這似乎超出了中學數學課程的范圍。既然課標與教材不要求掌握這一知識，解題時就應該盡量回避。

上述解法利用極大值的局部性本質求出a可能的取值范圍，再根據a的范圍判斷導數的符號，進而證明極大值點，思路自然，邏輯清晰，一氣呵成；充分展現了微積分的局部化思想（即對無窮小量或者說取極限過程的實質性理解，而非形式化操作），無需對參數分類討論，也沒有任何繁雜的計算。

二、 對數學教學的啟示

判斷一道好的數學題，有兩個重要的標準：（1）不以繁雜的計算、特殊的技巧取勝；（2）具備一定的洞察力，掌握有關知識的思想本質，才能找到恰當的解決方案。按這兩個標準判斷，上述函數與導數題堪稱高水準。

高考試題的內容需要覆蓋整個基礎教育階段的重要知識點，自然需要一定的題量做保證。但試題的命制水平比題量更重要，高水平的試題可以有效測試出考生的知識、

能力與素養水平。大題量試卷中試題的解答如果糾纏在一些次要的細節與煩瑣的技巧上，不注重思想方法與思維能力的檢驗，這樣的試卷（試題）將會誤導一線教學的走向。

新高考對一線教學提出了新的要求：數學直覺的培養、數學思想的熏陶、數學思維的提升，應該成為數學教學的主流。直覺即對問題本質的洞察力；它源于經驗而高于經驗，是經驗的升華。思想蘊藏在知識內部，需要有效挖掘；思想以知識為載體而高于知識，因此教學要以知識為基礎，但不能停留在知識的層面。思維是對問題的理性認知能力， 它是完成思維任務所必需的，且直接影響思維活動的效率；思維能力的提升需要一定的推理與運算技巧做基礎，但思維重于技巧，技巧是為提升思維能力服務的。數學課堂如果離開了數學直覺的培養、數學思想的熏陶、數學思維的提升，特別是離開了對數學知識背后思想本質的挖掘，必然會陷入淺表化理解和機械化操作的窠臼，核心素養的培養也就成了一句空話。

進一步地，數學課堂如果沒有把握相關概念與結論所反映的科學問題，教學必定是盲目的；如果沒有對問題的思辨，思想性便蕩然無存。從這個意義上說，問題是數學課堂的核心，思想是數學課堂的靈魂。沒有問題，課堂便失去了動力；沒有思想，課堂便失去了生機。