超聲全矩陣數據聯合稀疏重構的多測量向量模型應用?

嚴 凡 林 莉 金士杰

(大連理工大學無損檢測研究所 大連 116085)

0 引言

相控陣超聲檢測(Phase array ultrasonic testing,PAUT)[1]技術具有檢測速度快、安全性高等優點，在大型構件無損檢測中占據重要地位。PAUT檢測精度與相控陣探頭陣元數量成正比[2]，但不斷增加陣元數將產生龐大數據量，給超聲檢測數據采集系統和數據儲存、傳輸均帶來極大壓力。

Donoho[3]提出的壓縮感知(Compressed sensing,CS)理論為解決上述問題提供了思路。相比于先采集、后壓縮的經典方式，CS 理論是同時進行數據采樣和壓縮，可有效減少采集到的數據量。以單測量向量(Single measurement vector,SMV)模型為代表的傳統CS 方法能夠處理向量形式信號，研究證明可用于PAUT 檢測信號的分析和處理[4?5]。目前，成像分辨率和信噪比更高的超聲全聚焦方法(Total focusing method,TFM)[6]已逐步應用于工程實踐。與PAUT不同，TFM所需的超聲全矩陣捕捉(Full matrix capture,FMC)數據考慮了相控陣探頭中所有陣元的收發組合，共得到K2個A 掃描信號(K為陣元數量)，并以三維矩陣形式進行儲存。然而，CS理論相應增加了復雜信號的恢復與重建難度，SMV 模型在面對此類大規模數據時，僅能逐條處理或將矩陣向量化，存在重構精度低和重構耗時長等不足[7]。

多測量向量(Multiple measurement vectors,MMV)模型[8]是SMV 模型向多通道信號的推廣，其從多個測量向量中恢復具有相同支撐集的稀疏信號，常被稱為聯合稀疏重構。與SMV 模型相比，MMV 模型考慮了信號之間的相關性，有利于得到更穩定、更精確的結果。Cotter等[9]提出，無噪條件下MMV模型更容易得到唯一解。Eldar 等[10]研究發現，MMV 模型可以用更少采樣點數得到理想重構結果，且重構準確率隨信號數量增加呈指數上升。目前，MMV模型已被用于多通道腦電信號、陣列信號和傳感器網絡信源定位等問題研究[11]，但在工業超聲檢測領域鮮見報道。

本文將基于CS理論的MMV模型應用于FMC數據壓縮重構和缺陷定量檢測。分別采用MMV模型中的多測量稀疏貝葉斯(Multiple sparse Bayesian learning,MSBL)算法[12]和SMV 模型中的稀疏貝葉斯(Sparse Bayesian learning,SBL)算法[13]對鋁合金試塊內部橫通孔的實驗FMC 數據進行重構，并實施TFM 成像。在此基礎上，結合歸一化均方誤差和陣列性能因子比較重構效果。

1 原理

1.1 MMV模型

CS 理論指出，若一維信號x ∈?N的稀疏度為k，即信號自身或經某種變換后的變換系數僅有k個較大的非零值，則該信號可從M≥Cklg(N/k)個不相關的采樣點中恢復，其中C為常數。該過程的數學表達如下：

式(1)中，二維源矩陣X=[x1,x2,···,xL]∈?N×L由L個長度為N的一維信號組成，測量值Y ∈?M×L，測量矩陣Φ ∈?M×N(M

當L=1 時上述過程稱為SMV 模型，L>1 時為MMV模型。通常情況下，MMV模型使用同一個測量矩陣Φ對L個信號進行降維處理，同時要求所有信號聯合稀疏，即源矩陣X中非零行的位置相同，數值大小可不同，記為?=supp(X)。相關研究[14]表明，超聲檢測時的激勵脈沖波為有限帶寬信號，各陣元接收到的信號在傅里葉域內聯合稀疏，滿足MMV模型要求。

為保證信號能夠準確恢復，測量矩陣Φ與稀疏基Ψ之間需滿足有限等距條件。Donoho[3]已證明，高斯隨機矩陣與常見稀疏基的相關性較低，可作為常用的測量矩陣。當確定觀測矩陣Θ和測量值Y后，MMV模型的優化重構問題可表示為

式(2)中，σ為測量噪聲水平，||X||2,1為矩陣的l2,1范數，用于衡量源矩陣X的聯合稀疏性。

快速且穩定的重構算法是壓縮感知理論實用化的關鍵。現有MMV 模型重構算法大多數來自SMV 模型的擴展與改進，如貪婪類、凸優化類和貝葉斯類[15]。理論上，無噪情況下貝葉斯類算法的重構精度和速度介于貪婪類和凸優化類重構算法之間。因此，本文采用該算法實施重構。

在MMV 模型中，貝葉斯類算法假設源矩陣X中的每列數據和噪聲σ均滿足高斯分布的先驗條件。記Xi.為X中的第i行，X.j為X中的第j列，

引入超參數γ=[γ1,γ2,···,γN]T，假設源矩陣X的每行數據滿足均值μ為0、方差δ為γi的高斯分布，定義p(Xi.;γi)=.N(0,γiI)，進而可得

由貝葉斯公式和全概率公式可知源矩陣X中每列數據的后驗概率密度為

由于式(5)仍滿足高斯分布，則其對應的均值和協方差矩陣即為所求解。MSBL 算法求解過程如下：

(1) 初始化超參數γ為數值均等于1 或任意非負值的向量。

(2) 計算后驗概率的期望M和協方差矩陣Σ：

(3) 使用最大期望(Expectation maximization,EM)算法更新γ和噪聲方差：

(4) 重復步驟(2)～(3)，直至收斂到固定值γ?。

(5) 求XMSBL=M?=E[X|Y;γ?]。

同理，當X和Y均為向量時，一定程度上可近似認為MSBL算法已退化為SBL算法。

1.2 TFM方法

TFM 是一種基于FMC 數據的成像方法，其基本原理如圖1 所示。首先，根據分辨率需求，將待檢測區域劃分成若干個離散網格點。隨后，針對每個離散網格點，對原FMC 數據中經過CS 重構后的每個A 掃描信號做希爾伯特變換。最后，根據傳播時間實施延時疊加處理，進而實現逐點聚焦。任意離散網格點P(x,z)的幅值計算公式為

圖1 TFM 原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of TFM

式(6)中，ti,j(x,z)表示從發射陣元ei至聚焦點(x,z)再返回至接收陣元ej的傳播時間，ri,j為對應的A掃描信號。

2 實驗與分析

2.1 實驗系統與信號獲取

如圖2 所示，在鋁合金試塊上加工3 個直徑2 mm的橫通孔，分別定義為缺陷1、缺陷2和缺陷3，其中心深度分別為45 mm、55 mm 和65 mm，各缺陷中心的水平和垂直間隔均為10 mm。使用Olympus 商售5L32-A11 相控陣探頭(中心頻率5 MHz，32 陣元)和M2M Multi-2000 超聲檢測儀采集超聲FMC 數據。數據采集時，探頭置于缺陷正上方，采樣頻率fs為100 MHz。

圖2 加工3 個Φ2 mm 橫通孔的鋁合金試塊Fig.2 Aluminum alloy specimen with three Φ2 mm side-drilled holes

2.2 實驗結果及分析

目前，常采用原始信號部分數據移除的方法來減少采樣點數，模擬數據壓縮過程[16]。定義采樣率(Sampling rate,SR)為測量值長度M與原信號長度N的比值，本文從采集到的超聲FMC 數據中隨機移除70%～95%的采樣點數，以模擬5%～30%的SR。壓縮重構過程中，測量矩陣Φ為高斯隨機矩陣，稀疏基Ψ為傅里葉矩陣。

圖3 給出基于MSBL 算法和SBL 算法，在不同采樣率下的重構TFM成像。對比可見，當采樣率小于25%時，SBL 算法重構圖像中的缺陷位置幾乎不變，但輪廓變大，直接影響缺陷的?6 dB 定量結果。與之相比，MSBL 算法在采樣率為15%時就能保證3個缺陷的成像位置和大小幾乎不變。

圖3 基于MSBL 算法和SBL 算法不同采樣率下的重構TFM 圖像Fig.3 TFM images reconstructed using MSBL and SBL algorithms with different SRs

為進一步量化缺陷重構結果，使用歸一化均方誤差(Normalized root mean square error,NRMSE)比較原FMC 數據和重構FMC 數據之間的差異。同時，引入陣列性能因子(Array performance indicator,API)衡量缺陷成像質量。由于高斯矩陣的隨機性，每次FMC 數據重構及TFM 成像過程重復5次，結果取平均值。

NRMSE計算公式如下[17]：

式(7)中，r(ei,rj,tk)和r′(ei,rj,tk)分別為原FMC數據和重構FMC 數據，ei、rj和tk分別表示發射陣元編號、接收陣元編號和第k個采樣點。本研究中，Nr和Ns均為陣元數32，Nt等于采樣點數1300。

API計算公式如下[6]：

式(8)中，A?6dB為TFM 圖像中缺陷幅值下降一半時所占面積，λ為鋁合金中的超聲波長。若重構TFM 圖像中缺陷API 越趨近于原始TFM 圖像結果，則表明重構誤差越小，成像質量越好。

圖4 為不同采樣率下MSBL 和SBL 算法重構TFM圖中3個不同深度橫通孔的API統計結果。圖中實線為原始TFM 圖像中對應缺陷的API，并將其作為參考值。與SBL 相比，MSBL 算法重構結果的API 與參考值更接近，當采樣率為15%時，3 個缺陷的API 與對應參考值的差均不大0.15。圖5 為MSBL 算法和SBL 算法在不同采樣率下重構FMC數據的NRMSE。顯然，用于重構的采樣點越多，重構的超聲FMC 數據越準確，在所示的采樣率下，MSBL 算法的重構誤差幾乎均小于SBL 算法。此外，MSBL 算法在采樣率15%時的NRMSE 為2%，而SBL 算法在采樣率25%時，NRMSE 才能降至1.9%。

圖4 不同采樣率下API 值Fig.4 APIs corresponding to different SRs

圖5 不同采樣率下的MSBL 和SBL 算法重構誤差Fig.5 NRMSE using MSBL and SBL algorithms with different SRs

圖6(a)為15%采樣率時，MSBL 算法重構結果中誤差最大的A掃描信號。對比可見，重構信號中3個缺陷回波的位置均不變，僅第二個缺陷的幅值略有下降，其局部放大結果如圖6(b)所示。因此，對于本文給出的實驗信號，MSBL 算法僅需15%采樣率就能獲得較好的重構質量。

圖6 15%采樣率時MSBL 算法重構結果與原信號Fig.6 Original signal and reconstructed signal by MSBL algorithm using 15% sampling rate

由于所用相控陣探頭的?6 dB帶寬為74%，則本研究采集到的A 掃描信號在傅里葉域內的稀疏度k=(2×0.74×fc/fs)×N=7.4%N。通常情況下，SMV 模型約需M=(3～4)k個采樣點才能得到較好的重構質量，這也正是SBL 算法在采樣率20%至25% 時，NRMSE 由4.4%急速下降到1.9%的原因。此外，由表1可知，在相同采樣率下，MMV模型重構所需時間比SMV 模型低兩個數量級，結合重構誤差分析結果，進一步證明了MMV 模型在無損檢測中的優越性。

表1 不同采樣率下MSBL 算法和SBL 算法重構耗時Table 1 Cost time of MSBL and SBL algorithms with different SRs(單位：s)

3 結論

(1) 本文將MMV 模型用于超聲FMC 數據重構和TFM 成像，解決了SMV 模型存在重構精度不足和效率低的問題。

(2) 實驗比較不同采樣率下MSBL算法和SBL算法的重構效果。在100 MHz 采樣頻率下，MSBL算法使用15%的采樣點進行重構，歸一化均方誤差僅為2%；相同誤差下，SBL 算法約需25%采樣點，且重構耗時比MSBL 算法高兩個數量級，反映了MMV模型在FMC數據中應用的優越性。

(3) MMV 模型的重構性能優于SMV 模型，但重構原FMC 數據的過程增加了TFM 實時成像的復雜度。融合壓縮感知與波束成形方法是未來的研究方向與目標。