相位失配彈性平板復合波導中的缺陷態?

宋 樂 張喬木 劉 歡 樊亞仙, 陶智勇,

(1 廣西無線寬帶通信與信號處理重點實驗室 桂林電子科技大學 桂林 541004)

(2 桂林電子科技大學海洋工程學院 北海 536000)

(3 哈爾濱工程大學物理與光電工程學院 哈爾濱 150001)

0 引言

隨著聲學、力學、材料科學等學科不斷交叉融合，彈性波傳播理論及相關研究展現出了前所未有的生機和活力，為彈性波的傳播與調控提供了新的理論基礎和實現手段[1?3]。與聲波和電磁波不同，固體中的彈性波同時具有橫波和縱波兩個波矢分量，因此在彈性波調控材料以及功能結構設計上具有更強的復雜性。Zhang等[4]基于平面波展開方法，將三維固體聲子晶體中的橫波模式和縱波模式從混合本征模式中分離出來，并發現波導與材料的密度比會影響縱向帶隙和橫向帶隙。Ghiba等[5]對平面波在均勻各向同性二元混合物中的傳播問題進行了研究，指出平面彈性波包含縱波和橫波，并且每一種波又可以分為兩類，即存在著4 種不同類型的縱橫波分量。Wiseman 等[6]通過三維模型評估了剪切彈性和剪切黏度的多重組合，提出利用交叉相關性的橫波質點位移，能夠有效地估計橫波速度。與此同時，彈性波傳輸介質的變化，如各種天然或人工復合界面，對波傳輸的調控作用也漸漸成為力學中的研究熱點之一[7]。

近年來，周期結構波導受到了越來越多的關注，基于周期結構的各類器件已廣泛地應用于微波、電子學、集成光學及非線性光學等諸多領域[8?10]。為了調節帶隙特征，更好地控制聲波的傳播行為，在結構中引入缺陷是一種常用的手段。Alkauskas等[11]研究了半導體中具有電活性的點缺陷處于不同變化狀態時的物理特性，以及在價帶最大值和最小值之間的帶隙中缺陷的能級。Mertens等[12]在液晶填充的大孔徑硅周期結構中發現了光子帶隙，并實驗證實了溫度變化所導致的缺陷光譜頻移。Miyashita等[13]研究了具有線缺陷的聲子晶體中單缺陷模的傳輸特性，并對耦合缺陷模進行了研究，得到了較高的模式耦合比。對于彈性波在二維周期復合結構中的傳播，引入缺陷則會改變原來的能帶結構，在完美周期結構的禁帶中產生一個透射峰，稱為缺陷態[14]。研究表明破壞晶格的周期性，帶隙內某一頻率的彈性波會局域在缺陷處或者沿著缺陷傳播[15]。

基于布拉格散射機制和局域共振機制，不同材料和結構周期性排列的人工復合結構會產生頻域禁帶。不同于聲子晶體中常見的點缺陷或線缺陷，本文基于相位失配方式，通過連接兩個具有相位差的正弦邊界彈性波導，構建了一種具有缺陷態的波導結構，研究了彈性波禁帶中透射峰的頻率變化規律，并對缺陷態應力、應變的局域特性進行分析。該復合波導結構的彈性波調控特性可為聲濾波器、傳感器、聲波導等研制提供重要參考，促進主動或智能控制器件在日常生活和工業生產中的推廣。

1 彈性波導結構

板狀結構是研究彈性波傳播理論的常用模型。在有限元仿真軟件中，建立兩組分別由5 個正弦形周期單元構成的結構W1、W2并相連接，兩種結構局部放大圖繪制在平板波導結構上側，如圖1 所示。兩個初始相位值分別為?1、?2；沿x軸方向的周期單元長度T是10 mm，沿y軸方向的平均厚度d為6 mm，對于z方向的尺寸參數，一般采用的是遠大于厚度(d=6 mm)的尺寸，例如100 mm，以重點討論分析二維平面內主要的低階模式彈性波傳輸問題。在此模型中，垂直平面即z方向的影響有限。由正弦形邊界引起的起伏參數e設置為0.6 mm；除入射邊外，其余部分選擇固體力學中的自由邊界條件；結構材料選擇鋁合金；以自由三角形網格劃分，并設定最大劃分單元大小為1.5 mm，分析入射波在輸出端變化。W1和W2結構邊界表達式如下：

圖1 彈性平板波導結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the elastic plate waveguide structure

連接處相位失配如圖2 所示。其中，u和v分別表示沿水平方向x和豎直方向y的位移。在具有相同周期長度和起伏參數的各向同性材質結構條件下，若W1和W2結構的初始相位相等?1=?2，即相位匹配，整個波導成為無缺陷的完美周期結構。反之，若?1≠?2，則引入了相位失配，不同失配程度實質上體現了兩結構間對接處的突變程度，在這里即指初始相位差大小。對于兩個周期性波導的初始相位的差異，這里通過歸一化將相位差設置為??，表達式如下：

圖2 對接處的相位失配Fig.2 Phase mismatch at the junction

波在周期波導中傳輸時，由布拉格散射引起布拉格共振則會導致頻域禁帶，并且布拉格共振頻率與周期長度有關[16]。根據Floquet定理與邊界條件，可以得到頻率f與傳播常數β的關系式[17]：

其中，c代表板中彈性波速度，=mπ/2(m=0,1,2,3,···)，n取整數，為空間諧波數。

在仿真中對波導左側施加沿x軸正方向的應力以激發入射波，應力大小設置為1 N/m2，并在右側出口處進行接收，分別用入口和出口域的平均彈性能密度PIn和POut表征入口和出口的能量大小，除波導區域外，模型的末端增加一段長度為30 mm 的完美匹配層(Perfectly matched layer,PML)作為能量吸收層[18]。這里定義透射系數Te為

根據仿真模型的參數和公式(4)、公式(5)，得到彈性波導的頻帶結構和透射譜，如圖3 所示。結果表明，對于未引入相位差的完美周期結構，波在傳播時產生了頻域禁帶，并且在0.46 MHz處禁帶最為明顯，其對應的是m=1時，由相同模式共振引起的布拉格禁帶。由于公式(4)是在沒有起伏時得到的色散關系，因此，實際的頻帶較理論預測稍稍下移。

圖3 彈性波導結構的頻帶結構和透射譜Fig.3 Band diagram and transmission spectrum of the elastic waveguide structure

2 彈性波缺陷態

研究表明，在周期波導中引入變截面缺陷，則會造成波導的周期完整性被破壞，其譜帶特征會發生變化[8]。在周期起伏彈性波導中，缺陷態的性質與缺陷和周期結構的相關參數密切相關。對于兩結構W1和W2的連接處，起伏邊界的相位變化擾動了起伏結構的周期波數，進而影響共振的波長和頻率，產生使某一頻率的波通過的缺陷態。由第1 節中頻帶結構和透射譜可知，在頻率范圍為0.44～0.48 MHz內，波在該周期性彈性波導結構中傳播會出現明顯禁帶。在這里，引入相位差為??，當??≠0時連接相位失配。在有限元仿真軟件中，通過設置不同相位差值進行仿真并對入射波在周期波導結構中的傳播特性進行比較，其透射譜如圖4所示。波在該周期性波導結構中傳播，在0.44～0.48 MHz 頻率范圍內出現明顯禁帶，即藍色區域。在禁帶區域中發現，總會存在明顯的極大值點，即透射譜中存在透射峰。而且??=0時，即連接相位匹配，呈現為完美周期結構，沒有透射峰出現。這表明彈性波周期波導中，相位失配缺陷可以導致彈性波缺陷態。

圖4 透射譜隨相位失配變化情況Fig.4 Transmission spectrum changes with the phase mismatch

可以看出，在歸一化相位差從0 到1 的一個周期內，損耗較高的藍色區域中分布著3 條透射率較高的黃色曲線，對應著波導結構的禁帶以及禁帶中的透射峰。隨著相位差的變化，禁帶中透射峰表現出不同的頻率值，即頻移現象，說明通過相位差這一結構參數可以實現對禁帶中缺陷態的頻率調控。

在??=0.6附近，黃色曲線產生了向低頻通帶融合以及從高頻通帶出現的現象，這意味著相位差的變化，會導致禁帶中缺陷態的消失與產生。也就是說，連接相位變化可以使禁帶中的缺陷態呈現周期性頻移。與此同時，更有趣的是在相位變化時，禁帶中出現透射峰的數量也不同，即引入一個相位失配缺陷，可能在禁帶中產生多個缺陷態。這是由于本文研究的是平板波導中的彈性波，其同時具有縱波和橫波兩個分量，缺陷的引入會同時改變縱波和橫波的共振，從而呈現出不同的缺陷態和局域現象。這一物理現象可以為多通道聲學或彈性波濾波器設計提供更多參考。

3 缺陷態局域化特征

為了進一步分析相位失配缺陷態的性質，以及彈性波缺陷態中能量的局域化現象，對其空間模場分布特征進行了研究。

3.1 應力場分布

以相位差??分別為0.25 和0.5 為例，對藍色區域禁帶中的不同黃色曲線，即透射峰對應頻率的應力場情況和彈性應變能密度分布進行數值模擬，計算結果如圖5 和圖6 所示。結果表明，相位失配造成的缺陷處應力分布呈現出不同的局域化特征。在這里，定義以缺陷處應力呈現極小值的缺陷態為模式1 (Mode 1)，而呈現極大值的缺陷態為模式2(Mode 2)。根據彈性波透射譜，在??=0.25時，Mode 1 對應頻率f1=457.8 kHz，Mode 2 對應頻率為f2=467.9 kHz；在??=0.5 時，Mode 1對應頻率為f1=447.4 kHz，Mode 2 對應頻率為f2=461.4 kHz。

圖5 結構應力分布圖Fig.5 Structural stress distribution diagram

圖6 不同相位失配下彈性應變能密度分布情況Fig.6 Distribution of elastic strain energy density with different phase mismatches

通過對比兩種不同缺陷模式可知，應力場能量主要集中在缺陷兩側的周期結構中，且沿波導兩側逐漸減弱。不同的是，Mode 1 的應力場分布在板中沿中心水平軸分布著極大值；而Mode 2 的應力場分布中，除能量在板中沿中心水平軸分布著極大值的特征以外，在板的厚度方向上也出現了極大值，并且兩種情況交替出現。這種現象表明不同頻率下的缺陷態在應力場局域化特征上存在差異，并且這種差異并不是由相位差的變化引起的，相同相位差卻引入了不同的缺陷態，隨頻率不同而導致應力分布不同。因此，通過選擇不同模式的缺陷態可以調控彈性板應力場的局域化特征。

3.2 空間位移場分布

不同缺陷態會導致應力局域化特征不同，相應的空間位移場分布也必然不同。分別對不同模式缺陷態的水平位移分量和豎直位移分量進行了模擬，結果如圖7和圖8所示。

圖7 位移場水平分量分布圖Fig.7 Horizontal component distribution of displacement fields

圖8 位移場豎直分量分布圖Fig.8 Vertical component distribution of displacement fields

由圖7 可以看出，位移場水平分量在周期波導結構中具有對稱和反對稱分布兩種特征。Mode 1的位移場分布表現為對稱特征：相位失配缺陷處是極小值，能量主要局域在相鄰的兩個不同相位的周期單元中心，且關于缺陷中心呈現對稱分布特征。Mode 2的位移場分布表現為反對稱特征：以相位失配缺陷處為中心，左右兩側分布著相反的極值情況，即呈現出反對稱分布特征。

與位移場水平分量情況相似，位移場豎直分量在周期波導中也存在著對稱與反對稱分布特征，如圖8 所示。其中Mode 1 對應的場分布表現為關于連接處呈反對稱分布；Mode 2對應的場分布表現為關于連接處呈對稱分布。這種分布特征恰好與位移場水平分量情況相反，這表明兩種不同缺陷態可以導致完全相反的位移場分布特性。因此，不同模式下的缺陷態也可以用來調控彈性板位移場的分布。

為了更清楚地說明相位失配引入的彈性波缺陷態特征，將不同缺陷模式的空間場分布特征匯總于表1，并給出了兩種不同缺陷模式所對應的頻率隨相位差變化的關系曲線，如圖9 所示。可以看出，在Mode 1 與Mode 2 隨相位差變化而產生頻移過程中，呈現出同一能量局域化特征的Mode 1 從高頻向低頻移動，當相位差大于0.5時，Mode 1從禁帶下邊緣消失，而后重新從禁帶上邊緣出現；而呈現與Mode 1 相反局域化特征的Mode 2，從高頻禁帶邊緣開始，隨相位差的增大逐漸向低頻移動，當相位差變化一周期后，消失于低頻禁帶沿。也就是說，在一個相位差變化周期內，Mode 2產生了一個從高頻向低頻移動的過程，Mode l 卻產生了兩個周期的頻移變化過程。這表明禁帶中的透射峰數目是由兩個缺陷模式頻移的周期不同造成的。

表1 不同缺陷態的應力及位移場情況Table 1 Stress and displacement fields of different defect states

圖9 不同缺陷態的頻率隨相位差變化Fig.9 Frequency of different defect states vs the phase difference

4 結論

本文設計了一種基于周期起伏結構的彈性平板波導，并在波導結構中引入了相位失配產生的缺陷，對透射譜禁帶中產生的缺陷態特征進行了研究。結論如下：

(1) 周期起伏彈性板中會形成彈性波禁帶，引入相位失配缺陷可以觀察到禁帶中的缺陷模透射峰，且透射峰隨相位差變化而發生頻移。不僅如此，禁帶中透射峰的數目也受相位差大小影響。研究表明邊界起伏和相位連接條件都會影響彈性板的譜帶特性，不同的相位失配程度可以造成不同特征的彈性波頻譜，并且形成缺陷態的數目也不同。

(2) 對缺陷處的能量局域化現象進行了進一步的分析，結果表明不同缺陷態的應力場以及空間位移場分布具有不同的特征。研究表明，不同頻率的缺陷態對應的場分量存在不同的能量局域特征，分別呈現出對稱及反對稱規律。

(3) 對于兩種不同缺陷模式，歸納了相位差與模式之間的頻率分布，揭示了不同缺陷模式具有頻移周期不同的特征。

由于彈性波在波導內具有橫波和縱波兩種類型，除了它們與結構的作用外，兩者之間也存在相互轉換。所以即使結構中只引入一個相位失配缺陷，禁帶中也可能出現兩個特性不同的透射峰。由于產生缺陷態的頻率與結構尺寸密切相關，等比例放大結構參數，缺陷態頻率也會隨之降低。即便不增大結構尺寸，目前的工藝也完全可以精確加工相關的彈性薄板。進一步研制高精度的彈性波檢測系統，則可以對本文提出的相位失配缺陷態調控機理進行實驗驗證。利用光學干涉方法高精度檢測彈性波模式[19]，將成為有效手段。總之，本文提出的彈性波缺陷態調控方法不僅有利于波導的帶隙分析以及彈性波應力、應變場調控研究，也為聲學濾波、缺陷態特征模式分析、結構振動噪聲衰減等聲傳播控制領域提供重要參考和解決方案。