以皓駿設計“直線與平面垂直的判定”的積件及教學應用

張海東

摘 要：因教學內容的二維靜態呈現方式和學生動手能力弱導致學生的直觀想象能力難以得以發展.本文利用皓駿軟件給學生創造一個實驗探索的環境，借助于數學實驗室，學生可以用鼠標拖動或觀察參數的變化來動態認識圖形變化的本質，用形象直觀的動態圖像表現抽象的定理，借此理解定理的形成過程.通過例題中的動態直觀感受，更好地去理解定理的應用，提升學生直觀想象的核心素養.

關鍵詞：動態幾何；積件；垂直

“直線與平面垂直的判定”是人教A版高中數學教材必修二第二章第三節“直線、平面垂直的判定及其性質”第一課時的教學內容.教材遵循“直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算”的認知過程，從生活中的旗桿與地面垂直引入線面垂直的概念出發，接著通過折紙探究，讓學生直觀感知，然后直接給出線面垂直的判定定理，這容易讓學生難以理解.在教育信息化背景下，動態數學技術融入數學課堂已成為解決數學重難點的有力手段，恰當地使用動態數學技術可以促進學生對數學本質理解.本文試圖基于Hawgent皓駿動態數學軟件設計“線面垂直判定”的教學積件，利用信息技術與數學知識的有機融合，培養學生空間想象能力.

1 教學設計與實施

1.1 動手試驗，引出定理

折紙試驗：請同學們準備一塊三角形的紙片，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌子上，要求BD和DC與桌面接觸.（1） 折痕AD與桌面垂直嗎？（2） 如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？

學生：我們小組經過反復試驗和討論得出結論：折痕AD⊥BC時，就可以判斷AD垂直桌面.

1.2 基于皓駿，驗證定理

1.2.1 積件制作步驟

（1） 繪制一個平面α和平面內的一條直線a

首先，下拉點擊“3D坐標系”得到三維坐標系，并顯示坐標系.點擊“繪制|坐標點”彈出對話框，“x坐標”“y坐標”“z坐標”分別輸入“2；2；-2；-2”“3；-3；-3；3”“0；0；0；0”得到坐標點A（2，3，0），B（2，-3，0），C（-2，-3，0），D（-2，3，0）.按住ctrl依次選擇點A、B、C、D，單擊“繪制|多邊形”，得到平行四邊形ABCD.該平行四邊形ABCD用于表示平面.其次以同樣的操作方式，得到E（2，0，0），F（-2，0，0），接著再繪制出線段EF.該線段用于表示平面內的一條直線.

（2） 繪制一條垂直于直線a的動直線l

點擊“插入|變量尺”彈出對話框，“變量”“左端”“右端”“步數”分別輸入“θ”“0”“π”“6”.點擊“繪制|坐標點”彈出對話框，“x坐標”“y坐標”“z坐標”分別輸入“0；0”“3*cos（θ）；0”“3*sin（θ）；0”得到G（3cosθ，3sinθ，0），H（0，0，0）.點擊G點，再按住ctrl點H點，單擊“繪制|約束點|對稱點”，得到點G關于點H的對稱點I，接著再繪制出線段GI，該線段用于表示垂直于直線a的動直線l.

（3） 測量角度與繪制直角標記

首先，按住ctrl依次選擇點E、H、G，點擊“測量|角度”，得到∠EHG=90.00°再點擊“∠EHG=90.00°”，點擊鼠標右鍵，彈出信息框，在“基本”處將測量精度改為“0”，得到∠EHG=90°.其次，點擊E點，再按住ctrl點H點，單擊“繪制|自由點|對象上的點”，得到線段EH上的自由點J.以同樣的操作方式繪制得到線段GH上的自由點K，點擊J點，再按住ctrl點H、K點，點擊“變換|平移”彈出對話框，點擊確定，得到變換點“L”.按住ctrl依次選擇點J、L、K、H，單擊“繪制|多邊形”，得到矩形JLKH.拖動點J、K，將矩形調整到合適的大小，用于標記∠EHG.接著點擊線段GI，再點擊“繪制|跟蹤”，同樣點擊多邊形JLKH，再點擊“繪制|跟蹤”，拖動變量尺，得到線段GI隨θ的變化而改變位置，但∠EHG一直都是90°.因此，動直線與平面內的一條直線保持垂直.

（4） 界面的優化

首先選中線段GI、EF，點擊“設計|線寬”，增加線寬，改變顏色等.其次選中多邊形ABCD、多邊形JLKH，填充顏色，降低非透明度.接著右擊對象中的“跟蹤”，在畫筆處將虛線改為“True”，增加線寬，改變顏色，降低非透明度；以及點擊“插入|文字表格”將直線和平面用字母表示.最后選中需要隱藏的對象，按“Ctrl+H”隱藏，得到最終效果圖1.

（5） 繪制與平面內的兩條平行線都垂直的直線

在空間中，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，則這條直線與另一條直線也垂直.因此在前四步的基礎上，只需要制作與直線a平行的直線b，即可探究一條直線與平面內兩條平行直線垂直時，直線與平面的位置關系.按照上述操作方法制作線段CD上的自由點M，點擊M點，再按住ctrl點F、E點，點擊“變換|平移”彈出對話框，點擊確定，得到變換點“N”.點擊M點，再按住ctrl點N點，單擊“繪制|線段”，得到線段MN.線段MN即為平行于直線a的直線b.最后優化界面，增加直線b的線寬，插入文字表格表示直線b，選中需要隱藏的對象，按“Ctrl+H”隱藏，得到最終效果圖2.

1.2.2 積件的教學應用

動態數學技術應用于立體幾何教學，與幾何知識深度融合，使學生樂學、善學.首先，讓學生感知直線l垂直于平面內一條直線a的情況，通過動畫演示發現直線l無法始終垂直于平面α，如圖1所示；接著讓直線l垂直于平面內兩條平行直線a和直線b，讓學生通過動手動態操作發現直線l也不能與平面保持垂直，如圖2所示；最后，讓直線l垂直于平面內兩條相交直線a和直線b，通過直線l與直線a或直線l與直線b夾角度數的變化，從而發現當直線l與直線a和直線b同時垂直時，直線與平面保持垂直.

1.3 動態分析，運用定理

在學生初步理解線面垂直的條件后，教師出示例題，引導學生完成，結合信息技術，利用蒙層功能，動態呈現題中線面之間的關系，通過應用加深學生對判定定理的運用.

例題 如圖，已知點M是菱形ABCD所在的平面外一點，且MA=MC.

求證：AC⊥平面BDM.

師：請同學們梳理清楚題中已知條件，結合圖形，看看要證明AC⊥平面BDM，還需要什么條件？

生：老師，根據菱形的性質，我們知道AC⊥BD（如圖3），那么根據線面垂直的判定定理可知，還需要求證AC垂直于平面內另外一條和BD相交的直線，從圖形上可以看出，在已知線段中只有MO.

師：這位學生已經找到一對垂直關系，那請哪位同學來說一下，怎么證明AC⊥MO？

生：我又看了一下題中的已知條件，MA=MC我們還沒用到，結合菱形的性質可知點O為AC的中點，由△MAC為等腰三角形可知，MO⊥AC（如圖4），由AC⊥BD及MO∩BD=O，根據線面垂直判定定理可知，AC⊥平面BDM.

師：上面兩位學生回答得很好，思路清晰，語言嚴謹.老師把他們的思考過程用圖形表示出來了，請同學們結合圖形，寫出解題思路.

2 積件在教學中應用的反思

與傳統教學比較，本節課利用積件將動態數學技術與數學課堂融合，能促進學生的深度學習，主要體現在以下幾個方面：一是直觀演示，促進理解.積件的動態演示，幫助學生，突破空間想象難點，促進學生對線面判定定理的理解和運用；二是測量精準，助力驗證.當說明直線和兩條相交直線都垂直，才能證明線面垂直時，利用角度的變化來展現直角關系更具有說服力.