類比中獲新知　應用中顯能力

耿廣基

摘 要：類比法是培養學生合情推理能力的重要數學思想方法，契合了義務教育數學新課程標準的要求，將其應用到初中數學解題教學中，可促使學生在類比中通過歸納、知識遷移、發現規律、挖掘題目中隱藏的條件，最終打開解題思維，順利找到解題的“突破口”.本文結合一定的例題，針對類比思想在數學解題中的具體應用進行了詳細地探究，具備一定的參考價值.

關鍵詞：新課標；初中數學；類比思想；解題教學

在最新的《義務教育數學課程標準》中，對數學學習過程提出了更高的要求：引導學生經歷觀察—實驗—猜想—證明等數學活動，逐漸形成一定的推理能力.在這一背景下，類比法作為一種全新的教學思想、解題模式應運而生.顧名思義，類比法就是基于兩個特征相同、相似的對象，使得學生通過推斷的方式進行解答.鑒于數學知識的漸進性、綜合性、邏輯性，知識結構環環相扣，唯有融入類比思想，才能促使學生在類比的過程中，將新舊知識融為一體，逐漸建構起系統化的知識體系.另外，類比思想還是一種非常重要的解題工具，基于類比思想，可促進復雜數學問題簡單化、未知問題已知化，可促使學生快速找到解題的“突破口”，順利形成解題思路.

1 圖形性質類比

在初中數學解題教學中，圖形性質類比往往是解題過程中的重要突破點.在這一類比解題中，以圖形類比為主，引導學生對圖形之間的相同之處、相似之處進行分析，精準把握圖形之間的內在聯系，并據此得出具體的解題方法.

例1 如圖1所示，等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，現底邊BC上存在一點P（P不與B、C兩點重合），連接AP，做PM與DC相交于M點，使得∠APM=∠B=60°.

求：（1） 等腰梯形腰長AB的長度？（2） 在底邊BC上是否存在一個動點P，使得DM∶MC=5∶3，若存在，求線段BP的長度？若不存在，請說明理由？

解析：這一題目以等腰梯形作為背景，第一小問相對比較簡單.在解決這一問題時，只需要將梯形的高作出來，然后運用直角三角形的性質即可求出答案，即：從A、D兩點分別做梯形的高，AE、DF.則結合題目中已知條件，得出BE=CF=2cm.在Rt△ABE中，因為∠B=60°，直接得出AB=2BE=4cm；但是在解決第二小問的時候，難度有所增加.并且學生在以往的學習中，針對等腰梯形的性質不甚了解，難以在短時間內形成明確的解題思路.此時，

就可引導學生借助類比思維，從等腰三角形性質入手，通過性質類比進行解答.因此，在解決這一問題時，就引導學生畫出等腰三角形（如圖2所示），

2 運算原理類比

從數學知識的特點上來說，具備漸進性、綜合性、邏輯性，知識環環相扣.在數學解題的過程中，融入類比思想，可將新舊知識結合到一起，使得學生在類比、轉化中，形成系統化的知識體系.同時，在這一過程中，還可幫助學生快速找到新題目的“突破口”，順利解決新問題.

例2 李銘手中一共有12張紙幣，其面值分別是1元、2元、5元.已知這些紙幣的總面額為22元，其中1元紙幣的數量為2元紙幣數量的4倍，求：建立方程并求出1元、2元、5元三種紙幣的數量各為多少？

3 問題類型類比

在初中數學解題中，有些問題常常看似不同、千變萬化，但實則相同.尤其是在初中幾何學習中，學生只要在善于觀察，就會發現可將問題中的相關條件進行轉化之后，題目信息雖然稍有轉變，但并不會對題目中原有的結論產生影響.鑒于此，教師在引導學生解題時，就可基于類比思想進行解答.

例3 如圖3所示，已知正方形ABCD，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，現作正方形外角∠DCG的角平分線CF，CF與EF相交于點F，求證：AE=EF.

如圖4所示，如果將上述題目中條件進行改變：點E是BC上任意一點，那么：AE=EF是否依然成立？

該問題證明：

在AB上取一點M.AM=CE①.連接ME.所以BM=BE.后同下方證明.

解析：在證明這一題目的時候，原有的條件下，可取AB的中點M，并將ME連接起來.則結合題目中已有條件得出：AM=EC、BM=BE；∴根據題目已知條件，得出三角形MBE為等腰直角三角形，即：∠BME=45°.又∵∠AME+∠BME=∠ECF+∠FCG=180°，且∠BME=45°∠FCG=∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF；在Rt△ABE中，因為∠BAE+∠BEA=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，∴∠FEC=∠BAE，最終結合三角形全等判定定理，得出△AME≌△FCE，最終證明出：AE=EF.

第二個問題對題目中的條件稍有改變，學生在解答的時候，依然可通過類比思想，只是將M點作為AB上任意一點，使得AM=EC即可.此時雖然M點不再是特殊點，隨之特殊的線段關系也逐漸消失.在這種情況下，依然可借助類比思想，證明出△AME≌△FCE，依然可得到AE=EF.在這一過程中，就是借助類比的思想順利找到解題的“突破口”，同時也在類比的過程中，對理論知識形成了更加深刻地理解，并形成了系統化的知識體系.

4 數和形類比

鑒于數學學科的特點，“數”和“形”是數學學科的基本研究對象.且“數”和“形”之間相輔相成、密切相關.因此，在數學解題中，常常要立足于數和形的內在聯系，借助類比思想，在數形之間進行靈活轉化，才能從中找到解題思路，進而實現數學問題的高效解決.

解析：這是一道常見的題目，單純地依靠代數方法進行解答，常常需要復雜的運算，給學生的解題帶來了極大的難度.鑒于此，在優化解題教學時，由于算式中涉及到的兩個數值均為根號，可借助線段、三角形的方法進行表示，并將其轉化為直觀的圖形（如圖5所示）

5 性質類比

在初中數學解題中，有些問題看似不同，但其本質規律卻相同.教師在開展課堂教學時，常常針對同一個知識點，為學生設計多樣化的題目，旨在幫助學生理解該知識點在不同題目中的運用.鑒于此，在借助類比思想進行解題教學時，可由此出發，引導學生圍繞性質進行類比.

6 對同類題型進行類比

在初中數學教學以及專題復習時，為了幫助學生深化某一知識點，或者掌握某一種具體的解題方法，常常會圍繞某一知識點，為學生設置同一類型的題目.鑒于此，在對這一類數學問題進行解答時，也可指導學生運用類比的方法進行.

例7 如圖6所示，已知A、B兩點位于直線l的同側，且A、B兩點到直線l的距離分別為1、3，現在直線l上尋找一點P，使得PA+PB的值最小？

例8 如圖7所示，已知：正方形ABCD中，AB=5，E是AB的中點，P是線段AC上的一點，求△PBE周長的最小值？

解析：只要對這兩道題目稍加分析即可得出：兩道題目考察的知識點相同，都是最短距離的問題.在例7解答中，就可通過直線l作A、B兩點的對稱點，分別為A′、B′，之后連接AB′或BA′，進而得出P點的位置，最終得出PA+PB的最小值；在例8題目解答中，由于該題目與上一題目相同，就可借助類比思想，結合正方形的性質，以AC為對稱軸，在AD邊上作出E點的對稱點E′，進而確定出P點的位置，最終得出△PBE周長的最小值.由此可見，在本題目解答中，就是借助了類比思想，在同類問題的類比中進行轉化，找到問題的解決方法^［4］.

7 初中數學類比法注意事項分析

類比屬于一種平行思維，主要是在同一思維下，對事物進行相同、相似地對比.在具體的數學解題中，通過類比解題法的應用，徹底打開了學生的解題思維，使得學生在類比中對數學本質形成深刻地認知，真正提升了學生的數學解題效率.另外，鑒于數學學科的特點，學生在數學類比解題的過程中，也逐漸形成了系統化的知識體系，進一步提升了初中數學學習效果.鑒于此，初中數學教師在開展解題教學時，不僅要注重類比解題教學，還應注意以下幾個問題：

第一、積極開展新舊知識類比，使得學生在所學知識題目中，通過新舊知識類比，逐漸發掘新問題的解題規律，并在解題中促進新舊知識聯系，逐漸形成系統化的知識體系.

第二、對類比解題結果進行辯證處理.因為類比具備“或然性”，其本質屬于一種合情推理.因此，在推理的過程中，可能是正確，也可能是不正確的，甚至是不完全正確的.因此，在開展類比解題教學時，應明確告知學生類比解解題具備失敗的可能性.

第三、還應指導學生從多個方面進行類比.鑒于類比思想的內涵，在實施類比教學時不能局限于幾種固定的形式.因此，初中數學教師在開展類比解題教學時，可借助多種類比、多方位類比、多角度類比等，旨在幫助學生在多方面類比中，順利找到解題的“突破口”，完成題目的高效解答.

第四、引導學生積極開展類比歸納.在初中數學類比解題教學中，為了幫助學生深化這一解題技巧，教師在引導學生通過類比解題之后，還應對其進行歸納和總結.長此以往，學生在類比解題、綜合和歸納的過程中，逐漸完成這一解題模式的內化，熟練掌握了這一解題方法^［5］.

8 結束語

綜上所述，類比解題法契合了新課程改革的要求，不僅有助于打開學生的解題思路，提升學生的解題效率，還可促使學生在類比的過程中，完成知識的遷移、內化，逐漸形成了系統化的知識體系.鑒于此，作為一名優秀的初中數學教師，唯有重視類比解題教學內涵，并將其科學、合理地融入到日常解題教學中，不斷提升初中生的數學解題能力.

參考文獻：

［1］ 鄭天順.類比法在初中數學解題中的應用［J］.中學數學教學參考，2022（18）：21-23.

［2］ 高鈺良.淺談初中數學教學中類比法對解題思維的促進作用［J］.讀寫算，2021（3）：57-58.

［3］ 陳兆緒.類比中獲新知 應用中顯能力——從初中數學類比法解題談起［J］.數學教學通訊，2020（8）：68-70.

［4］ 查書平.類比法在初中數學解題中的應用——一道中考試題引發的探究［J］.數學教學通訊，2020（8）：79-80.

［5］ 張玉良.初中數學中類比法對解題思維的促進作用［J］.知識窗（教師版），2019（10）：90.