初中數學解題教學中逆向思維的應用研究

劉奎

摘 要：逆向思維是初中數學學習必備的數學思維，不僅能幫助學生提升解題效率，還能以逆向思維帶動抽象思維、聯想思維、分析思維等高階思維的提升，幫助學生提升思維品質，從而實現高質量、全方位的發展.本文以初中數學解題教學中逆向思維的應用研究為研究主題，分析了逆向思維在數學解題中的重要性和逆向思維在初中數學解題教學中的具體應用，探索出了激發學生利用逆向思維解題的意識、設計逆向思維解題專題課和為學生提供逆向思維解題練習的教學措施.

關鍵詞：初中數學；解題教學；逆向思維；教學措施

逆向思維就是從反方向去思考問題的思維，是數學學習過程中的必備思維.例如，當學生們學到互為余角的兩個角度數相加為90度時，學生們將前提條件和結論互換，得出若兩角度數相加為90度，則這兩個角互為余角的定理，這便是一種逆向思維，在初中數學解題過程中，利用逆向思維解題對提升學生的解題效率和正確率有重要的意義，所以初中數學教師應該重視逆向思維在初中數學解題教學中的應用，不斷探索培養學生逆向思維的教學策略.

1 逆向思維在數學解題中的重要性

1.1 深化數學概念

初中數學概念類、定義類題目是初中數學題目的重要類型，學生在解決這部分題目時要借助逆向思維.例如學生在學習一次函數的定義時，由“形如y=kx+b（k≠0，b為任意數）”作為判斷一次函數的依據，通過觀察題目所出示等式的形式、一次項系數和常數項數值來判斷題目所給等式是否為一次函數.然而在實際的解題過程中，學生會面臨例如“已知y=（m-2）x^|m|-1+m+2是y關于x的函數，求m的值”的題目，此時學生需要利用逆向思維，將“形如y=kx+b（k≠0，b為任意數）的函數為一次函數”轉化為“一次函數的自變量指數為1，系數不為0”，從而解決上述問題，在這一過程中，學生對一次函數的概念認識得更加充分，不僅有助于學生在解決一次函數題目時靈活選擇解題方式，還有利于學生減少因為忽略k≠0而出現的錯誤.

1.2 提升解題效率

在初中數學題目中，有些題目利用正向思維解題，其步驟可能會比較繁瑣，利用逆向思維解題則會比較簡單，例如學生在解答“若二次函數y=mx²+x+m-3的圖象與坐標軸最多有2個交點，求m的取值范圍”這一題目時，若利用正向思維，分別討論二次函數圖象與坐標軸有0個交點、1個交點和2個交點的情況，則要分三種情況計算，而當學生利用逆向思維，計算二次函數圖象與坐標軸恰好有3個交點的情況，然后將計算得到的m的取值做逆向處理，解題效率會有效提升.

1.3 提升創新能力

初中數學題目根據題目難度、開放性等不同，可將題目劃分為簡單題、中等難度題和復雜題三類，其中復雜題對學生的基礎知識掌握程度、思維創新能力等有要求，學生只有基礎知識掌握扎實、具備一定的創新解題能力，才能順利解出復雜題.逆向思維是一種比較復雜的思維，學生在利用逆向思維解題的過程中，其抽象思維、類比思維、推理思維、創新思維等也得到發展，學生的解題創新能力得到提升.

2 逆向思維的具體應用

2.1 利用逆向思維揣摩解題思路

在實際解題教學中，教師可以指導學生利用逆向思維揣摩解題思路，主要可從以下三方面入手，一是利用逆向思維分析重點知識，例如在幾何章節中，等腰三角形的“三線合一”是重點知識，也是幾何題目中的“常客”，教師利用逆向思維將“等腰三角形底邊上的高線、中線和頂角的角平分線重合”轉化為“若三角形同一條邊上的高線和中線重合，則該三角形為等腰三角形”等結論，進而推理出“當題目中出現等腰三角形、高線、中線、角平分線四個量的其中兩個時，則應考慮利用等腰三角形的‘三線合一結論解題”的解題策略；二是利用逆向思維解決復雜的幾何證明題，例如當某一幾何證明題需要證明兩線段相等時，學生可以通過觀察兩線段之間的位置關系倒推證明方式，當兩線段位于同一直線且有共同端點時，考慮通過證中點的方式證明線段相等；當兩線段有共同端點但不在同一條直線上時，考慮通過“等角對等邊”證明線段相等；當兩線段無共同端點時，考慮通過證全等的方式證線段相等；三是利用逆向思維解決具有多個小問的復雜類題目，例如當某一復雜題目共3小問時，當學生做第2小問時，應該思考上一問得出了什么結論及衍生結論和上一問的結論與本小題題干內容有何聯系，從而確定解題思路，同理，當學生做第3小問時，也應考慮第2小問的結論或解題方法是否能應用于第3小問，從而獲得解題靈感，順利完成解題過程.

2.2 利用逆向思維簡便運算

2.3 利用逆向思維驗證題目答案

3 促進學生利用逆向思維解題的教學措施

3.1 激發學生利用逆向思維解題的意識

初中數學教師應該在日常教學中激發學生利用逆向思維思考問題、解答問題的意識，從而令學生認識到抽象思維對數學解題的重要性，從而主動自覺地參與逆向思維訓練過程，提升個人逆向思維能力.

首先，教師可以從教材入手，利用教材內容為學生講解逆向思維的具體內涵和應用意義.例如教師在講解數學定義時從正、逆兩方面幫助學生理解思考，教師在講解絕對值的概念和性質時，除了要求學生記住“正數的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數”，還要向學生提供例如“已知|m|=-m，求m取值范圍”的題目，引導學生利用逆向思維解題，令學生初步理解逆向思維的內涵并明確逆向思維的使用場景.

其次，教師在講解數學解題方法時滲透逆向思維的具體應用，幫助學生進一步提升對逆向思維的認識，令學生更直觀地感受逆向思維對數學解題的促進作用.例如教師在講解幾何證明題目時，除了幫助學生利用已知條件和幾何定理推理結論，還要指導學生分析待證明結論，掌握反向推理證明方法；例如教師講解“求作一個方程，使它的根為-2和3”這一數學題目時，教師引導學生思考哪個知識點與一元二次方程的根有關，在教師的引導暗示下，學生聯想到因式分解法能夠直接顯示一元二次方程的兩個根，學生便可以利用因式分解法解題，即將方程設為a（x+2）（x-3）=0，學生可以取a為除0以外的任意值，進而得出答案.

最后，教師可以通過向學生提供已知條件和結論恰好互逆的題目，幫助學生更深刻的理解逆向思維在初中數學解題過程中的妙用，例如教師為學生出示如下兩道題目：

（1） 二次函數y=x²+bx+c的圖象向左平移三個單位，再向上平移2個單位，得二次函數y=x²-2x+1的圖象，求b、c的值.

（2） 將拋物線y=-（x-1）²+6先向下平移1個單位，再向左平移4個單位，求平移后的拋物線解析式.

這兩道題目的題設和結論是互逆的，題目（1）除了利用正向思維解題，即直接利用“上加下減常數項，左加右減自變量”的解題知識，將y=x²+bx+c處理為y=（x+3）²+b（x+3）+c+2，然后令（x+3）²+b（x+3）+c+2=x²-2x+1，解出b、c的值.還可以利用逆向思維解題，即將二次函數y=x²+bx+c的圖象看做是二次函數y=x²-2x+1的圖象下移2個單位，右移三個單位得到的.題目（2）除了利用正向思維直接解題，還可以設平移后的拋物線解析式為y=-x²+bx+c，然后將拋物線y=-（x-1）²+6的圖象看做是拋物線y=-x²+bx+c的圖象上移1個單位，右移4個單位得到的.教師指導學生利用不同的解題方法完成解題后，要求學生仔細觀察兩個題目的解題過程，體會逆向思維的具體應用，令學生知其然然后知其所以然.

3.2 設計逆向思維解題專題課

為了提升學生對逆向思維的重視和深化學生對逆向思維的理解，初中數學教師應該設計專門的逆向思維解題專題課，為學生提供提升逆向思維水平的機會.教師在設計逆向思維解題專題課時，要堅持重點突出、學生主體和有效總結的原則，提升專題課效率.

首先，教師要堅持重點突出的設計原則，即教師提前選擇適合利用逆向思維解題的題目，并通過題目對比為學生呈現逆向思維的使用過程.例如教師欲讓學生認識到逆向思維對數學解題的促進作用，則教師應該選擇利用正向思維比較難解或無法利用正向思維解題的題目，令學生比較利用正向思維解題和利用逆向思維解題在解題過程、解題難度上的區別.

其次，教師要堅持學生主體的教學原則，因為逆向思維是策略性教學內容，逆向思維培養的重點不在于教師為學生灌輸多少有關逆向思維的觀念或技巧知識，而是教師引導學生在實際解題過程中，自覺利用逆向思維探索解題方案，從而完成解題任務.所以教師在設計逆向思維解題專題課時，應該為學生留出足夠的思考空間和小組討論時間，令學生在實踐中真正掌握利用逆向思維解題的方法.

最后，教師要堅持有效總結的教學原則，即教師在教學過程中和教學結束之前，要利用科學有效的教學評價幫助學生深化知識和提升能力.逆向思維的培養效果很難通過默寫、提問等方式考核，必須通過觀察學生的實踐情況才能有效把握，所以教師要針對學生的實踐過程做出有針對性、導向性的評價，幫助學生認清自身存在的問題和把握未來能力提升的方向.

3.3 為學生提供逆向思維解題練習

解題練習是數學學習必不可少的環節，教師應該為學生提供逆向思維解題練習，幫助學生積累足夠的感性經驗，從而方便學生在合適的時機下迸發解題靈感.一方面，教師可以利用周末作業為學生提供專題性質的逆向思維解題練習，例如教師在完成二次函數章節的教學后，收集有關二次函數的、適合利用逆向思維解題的題目，作為學生的周末作業，要求學生認真完成；另一方面，教師可以在周中作業中增加逆向思維解題練習.需要注意，并不是所有的初中數學題目都適用于逆向思維解題，有些題目利用正向思維解題更為簡單，所以教師在講解逆向思維解題方法時，要向學生強調根據題目特點選擇解題方法，不可生搬硬套使用逆向思維解題.

4 結 語

逆向思維在數學解題中具有深化數學概念、提升解題效率和提高創新能力的重要意義，逆向思維在初中數學解題過程中具有利用逆向思維揣摩解題思路、簡便運算和驗證題目答案的應用，基于此，初中數學教師應該在解題教學中有意識的滲透逆向思維，培養學生形成逆向思維，促進學生提升解題效率.

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