看似尋常最奇崛　解法紛呈顯素養(yǎng)

蔣曉銘

摘 要：對(duì)一道中考?jí)狠S題的解法進(jìn)行探究，試題以新定義的自位似對(duì)稱變換為背景，考查概念理解、尺規(guī)作圖、推理證明，綜合性強(qiáng)，區(qū)分度好.通過(guò)剖析試題特色，總結(jié)解題策略，以期提高學(xué)生解題能力，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的落地生根.

關(guān)鍵詞：自位似對(duì)稱變換；解法探究；核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022）版》首次對(duì)義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)做出了要求和說(shuō)明.中考試題作為學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)的重要素材，深入研究有利于理解課標(biāo)，引領(lǐng)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的落地生根.筆者通過(guò)對(duì)南京市中考?jí)狠S題的研究，剖析試題特色，進(jìn)行多解研究，尋求教學(xué)啟示，與讀者交流.

1 試題呈現(xiàn)

例題 （2022南京第27題）在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過(guò)該點(diǎn)的直線翻折，我們稱這種變換為自位似對(duì)稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱.

如圖1，先將△ABC以點(diǎn)A為位似中心縮小，得到△ADE，再將△ADE沿過(guò)點(diǎn)A的直線翻折，得到△AFG，則△ADE和△AFG成自位似軸對(duì)稱.

（1） 如圖2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＜AB，CD⊥AB，垂足為D.下列三對(duì)三角形：① △ABC和△ACD；② △BAC和△BCD；③ △DAC和△DCB.其中成自位似軸對(duì)稱的是________（填所有符合要求的序號(hào)）.

（2） 如圖3，已知△ABC經(jīng)過(guò)自位似軸對(duì)稱變換得到△ADE.Q是DE上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)P，使P與Q是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫出必要文字說(shuō)明）.

（3） 如圖4，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是△ABC內(nèi)一點(diǎn).∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD.連接DE.求證DE∥AC.

2 解法研究

第（1）問(wèn)根據(jù)自位似軸對(duì)稱的概念可知符合要求的是①②.從變換的角度看，③ 屬于自位似旋轉(zhuǎn)，不符合題意.以下重點(diǎn)展示第（2）、（3）問(wèn)的解法.

2.1 關(guān)于第（2）問(wèn)

解法1：先將△ABC自位似縮小得到△AFG，△AFG≌△ADE.截取FH＝DQ，找到此時(shí)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，再通過(guò)位似放大得到點(diǎn)P.如圖5所示.

解法2：先將△ADE自位似放大△AFG，△AFG≌△ABC.通過(guò)位似放大得到Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H，再在BC上截取BP＝FH得到點(diǎn)P.如圖6所示.

3 教學(xué)啟示

3.1 關(guān)注理解能力 重視直觀想象

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程目標(biāo)中指出：“核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn).小學(xué)階段側(cè)重對(duì)經(jīng)驗(yàn)的感悟，初中階段側(cè)重對(duì)概念的理解”.本題第（1）問(wèn)側(cè)重考查概念理解和辨析，解題過(guò)程中要通過(guò)想象、畫(huà)草圖分析正確區(qū)分位似翻折和位似旋轉(zhuǎn).第（2）問(wèn)以尺規(guī)作圖的形式考查概念運(yùn)用，重點(diǎn)在于理解題中“對(duì)應(yīng)”二字.可以基于變換視角，先將某個(gè)三角形通過(guò)位似放大或縮小，確定該圖形上的“橋梁”點(diǎn)，再通過(guò)找“對(duì)應(yīng)”點(diǎn)的方法確定所求點(diǎn).也可以基于確定性思考，利用相似圖形的性質(zhì)分析求作點(diǎn)滿足的條件，再分析構(gòu)造.本題將圖形的位似和翻折這兩種變換通過(guò)組合得到一種新的運(yùn)動(dòng)變換，它與平時(shí)所接觸的“旋轉(zhuǎn)手拉手相似”有一定的關(guān)聯(lián)，學(xué)生不至于感覺(jué)很陌生，但又需要辨析區(qū)分.只要學(xué)生基本功扎實(shí)，突破前兩問(wèn)是沒(méi)有問(wèn)題的.

3.2 合理構(gòu)造圖形 培養(yǎng)推理能力

本題第（3）問(wèn)短小精悍，看似尋常，實(shí)則別有洞天.證明兩條線平行方法較多，因此解題入口寬，有利于展現(xiàn)學(xué)生解題的個(gè)性品質(zhì).由中點(diǎn)這一條件聯(lián)想到構(gòu)造中位線、倍長(zhǎng)中線、添加平行線等輔助線添加方式.由角等想到證相似，將這些條件有序組合并挖掘隱含的相似形，解題思路便可產(chǎn)生，這些都屬于通性通法范圍.本題還可以通過(guò)對(duì)稱處理，將位似對(duì)稱轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)手拉手相似模型來(lái)解決，此外還有面積法和同一法等特殊的解題方法.不同的構(gòu)造方法，多種解題方式的探索與選擇，多角度、多層次地考查了學(xué)生的邏輯推理能力^［1］.

3.3 凸顯評(píng)價(jià)功能 引領(lǐng)教學(xué)方向

本題的問(wèn)題串設(shè)計(jì)層次分明，邏輯結(jié)構(gòu)清晰，很好地考查學(xué)生對(duì)新概念的理解、想象以及知識(shí)的綜合運(yùn)用，信度和效度好，又具有較高區(qū)分度，有利于中考的選拔.同時(shí)本題的解題過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般過(guò)程，不啻一堂精彩的解題教學(xué)課，對(duì)于日常的教學(xué)和命題都有著一定的指導(dǎo)意義.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 吳魏涯，姜曉翔.關(guān)注思想方法 凸顯核心素養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（29）：37-39.

［2］ 沈陽(yáng)，喻平.PISA2012與我國(guó)數(shù)學(xué)中考題的比較與公考——以南京市試題為例［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（1）：6-8+37.

［3］ 王富英.論中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（7）：35-39.

［4］ 李昌官.從數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力視角看考題、育素養(yǎng)——以2020年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第12、20題為例［J］.基礎(chǔ)教育課程，2020（Z2）：23-29.