廣義馬爾科夫跳變系統的滑模控制

楊冬梅，杜玲秀

（東北大學理學院,遼寧 沈陽 110819）

近年來，馬爾科夫跳變系統的研究[1-2]取得了重要的研究成果。廣義馬爾科夫跳變系統是一類特殊的隨機系統，能夠更全面地反映實際過程中的物理特性，進而在實際的工程中更加適用，如電路和電力系統、機器人系統等[3-5]。半馬爾科夫系統[6-7]的駐留時間服從于更一般的非指數分布，使得轉移概率是時變的。文獻[8]研究了轉移概率存在不確定性時，馬爾科夫跳變系統的穩定性；文獻[9]給出了轉移概率已知的廣義馬爾科夫跳變系統隨機容許的充要條件；文獻[10]研究了部分轉移速率未知時的馬爾科夫跳變系統的穩定性；文獻[11]研究了轉移概率部分未知的馬爾科夫跳變系統的穩定性問題；Zhang等[12]基于自由連接加權矩陣方法給出了部分轉移概率未知時的馬爾科夫跳變系統容許的條件；趙霞等在文獻[13]中引入了非線性函數的一種特性，研究了非線性馬爾科夫跳變系統的H∞控制；文獻[14]利用雙線性方法研究了不確定轉移速率的廣義馬爾科夫跳變系統的輸出反饋控制；文獻[15]研究了部分未知轉移概率的離散馬爾科夫跳變系統的H∞控制。

本文針對轉移概率不完全已知的廣義馬爾科夫跳變系統設計了一種狀態反饋滑模控制，對轉移概率中已知部分和未知部分進行分析，并利用李雅普諾夫函數法給出了系統容許的條件，利用MATLAB中的LMI 工具箱，對控制器的增益求解，并給出仿真實例。

1 問題描述及預備知識

1.1 問題描述

考慮如下廣義馬爾科夫跳變系統：

針對跳躍過程的轉移概率是部分未知的，系統(1)具有N個操作模態的轉移速率矩陣為

1.2 預備知識

定義1對于廣義馬爾科夫跳變系統：

1) 如果(E,Ai)是正則的，無脈沖的，則系統(2)是正則的，無脈沖的。

2) 對于任意的初始值(x(0),r(0))，有成立，則稱系統(2)隨機穩定。

3) 若同時滿足1)和2)，則稱系統(2)是隨機容許的。

定義2對任意給定常數γ＞0，在零初始條件即φ=0下滿足則稱系統隨機可容許，且滿足H∞性能指標γ。

引理1[5]系統(2)是隨機容許的,當且僅當存在正定對稱矩陣Pi∈Rn×n和矩陣Si∈R(n-r)×n能夠對任意的i∈N滿足如下不等式

其中，R∈R(n-r)×n為列滿秩矩陣且滿足ETR=0。

引理3由如下給定的對稱矩陣

其中，S1，S2和S3是適當維數的矩陣，下列式子等價：

通過滑模理論，滑模函數沿著系統(1)的解的軌跡對時間t的導數=0得到等效控制器

將式(4)代入系統(1)，我們可得

其中：

2 主要結果

本文先給出系統(5)的容許性條件，之后給出系統(5)的控制器設計。

定理1如果存在適當維數的正定矩陣Pi，以及矩陣Si使得以下不等式成立，則系統(5)的標稱系統是H∞隨機容許的。

證明首先，證明系統(5)是正則無脈沖的，由于rank(E)=r＜n，存在可逆矩陣M,N∈Rn×n使得：

當轉移速率部分未知時，通過增加項的方法，可以得到

以下證明在H∞擾動抑制水平γ 的作用下隨機容許。

根據定理1，討論增益矩陣Ki，使得系統(5)在H∞擾動水平γ 的作用下隨機容許。

定理2若存在適當維數的正定矩陣Xi∈Rn×n，矩陣Mi，Yi，以及正標量i=1,2,···,N，使得以下不等式成立，

則系統(5)是H∞隨機容許的，反饋增益矩陣Ki可表示為

定理3給定常數α ＞0,矩陣Gi，Ki其中Ki由式(11)所得，設計如下形式的滑?？刂破?/p>

其中，

那么廣義馬爾科夫跳變系統的狀態軌跡能夠在有限時間內到達滑模面，并在滑模面上穩定運動。

證明選取如下形式的李雅普諾夫函數

3 數值仿真

例1考慮三階廣義馬爾科夫跳變系統具有兩個模態(i=r(t)∈{1,2})的情況，系數矩陣和相關參數如下：

狀態轉移概率矩陣給定為

例2考慮廣義馬爾科夫跳變系統具有兩個模態(i=r(t)∈{1,2})的情況,系數矩陣和相關參數如下

狀態轉移概率矩陣給定為

仿真過程中，將sign(s(t))表示為無控制器的開環系統狀態如圖1 所示，可知開環系統是不穩定的；圖2 為系統模態變化；圖3 為閉環系統狀態的運動軌跡。

圖1 無控制器的開環系統狀態運動軌跡Fig.1 Motion trajectory of the open-loop system without a controller

圖2 系統模態Fig.2 System modal

圖3 閉環系統狀態的運動軌跡Fig.3 The trajectory of motion in the state of the closed-loop system

4 結束語

本文利用積分滑模，研究部分未知狀態轉移概率的廣義馬爾科夫跳變系統式(1)的H∞控制，首先給出了系統滿足H∞容許性的線性矩陣不等式；之后設計出對應的控制器；最后，通過MATLAB 進行數值計算與圖像仿真，證明了系統的可行性。在之后的工作中，將考慮對半馬爾科夫跳變系統的穩定性進行研究。