一道高考函數試題的解題方略

江西省高安中學 (330800) 朱細秀

2020年江蘇卷命制的函數綜合題考查內容豐富,試題共設置了三小問,三小問中的函數各異,設問涵蓋了求函數解析式,參變量的取值范圍以及不等式的證明等眾多內容, 要求考生熟練地掌握函數的圖像與性質,運用導數這一研究函數性質的利器,以及數形結合、分類討論等眾多數學思想與方法才能順利地完成試題的求解,本文試對此作出評析.

試題已知關于x的函數y=f(x),y=g(x)與h(x)=kx+b(k,b∈R)在區間D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x).

(1)若f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-∞,+∞),求h(x)的表達式;

(2)若f(x)=x2-x+1,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,+∞),求k的取值范圍;

析解：(1)由f(x)≥h(x)≥g(x),說明等號也有成立的因素,故由x2+2x=-x2+2x,得x=0,則其中間函數h(x)滿足h(0)=0,所以b=0,又f′(x)=2x+2,g′(x)=-2x+2,所以g′(0)=f′(0)=2,所以h(x)=2x.由圖1可以看出,當h(x)=2x時,滿足要求.(實際上直線h(x)=2x在x=0處與兩函數f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x圖像都相切,在區間(-∞,0)∪(0,+∞)上,f(x)=x2+2x圖像恒在h(x)=2x圖像上方,g(x)=-x2+2x圖像恒在h(x)=2x圖像下方.)

圖1