聚焦主線選編問題 開放留白變式追問
——以“等腰直角三角形補圖問題”教學為例

江蘇省南通市通州區文山初級中學 (226300) 葛蔚果

等腰直角三角形是一類重要的基礎圖形,在不少地區的中考幾何綜合題中都少不了它的身影．開展中考幾何專題復習時,以等腰直角三角形為背景的補圖問題是一類重要專題,值得安排專題復習課.近期筆者在學校備課組內開設一節“等腰直角三角形補圖問題”專題復習課,取得較好的教學效果,本文整理該課教學設計,并跟進教學思考,提供研討．

一、“等腰直角三角形補圖問題”專題教學設計

活動1 等腰直角三角形補圖問題與中點探究

問題1 如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC．D為AC延長線上一點,連接BD,將線段BD繞點D逆時針旋轉90°得到線段DE,過點EH⊥AC,垂足為H,連接AE．

圖1

(1)補全圖形后提出一個問題并解決;

(2)連接BE,M為BE的中點,連接CM,用等式表示線段CD,CM,BC之間的數量關系,并證明．

圖2

圖3

活動2 等腰直角三角形問題與一題多證

圖4

(1)在圖4中補全圖形,并求證點D為AA′的中點;

(2)連接BD,請分析BD的長的取值范圍．

教學預設：第(1)問先安排學生補全圖形,如圖5,作AE//A′C′交CD于點E．進一步證明的關鍵是攻克“AE=A′C′”．可設∠BCC′=β,由BC=BC′,可得∠BC′C=β,于是∠A′C′C=90°+β,由AE//A′C′,得∠AEC′=∠A′C′C=90°+β,根據鄰補角性質可得∠AEC=90°-β,而∠ACE=90-β,所以∠ACE=∠AEC,可得AE=AC,于是代換出AE=A′C′,可證△ADE≌△A′DC′,得出D為AA′的中點．另外,如果著眼于△ABA′是等腰三角形,如果能攻克BD⊥AA′,也能得到D為AA′的中點．沿著這個思路,可先證出△CBD∽△ABA′,可得∠DAB=∠DCB,進一步得到∠ADC=∠ABC=45°．也可發現四點A,C,B,D共圓,從而得出∠ADB=90°,實現問題解決．

圖5

活動3 等腰直角三角形與正方形的聯系

問題3 如圖6,已知AB=BC,∠ABC=90°,直線l是過點B的一條動直線(不與直線AB,BC重合),且45°<∠ABD<90°,分別過點A,C作直線l的垂線,垂足為D,E．連接AE,過點D作DG⊥AE于G,過點A作AH∥BC交DG的延長線于點H．

圖6

(1)補全圖形,求證AH=BC;

(2)用等式表示線段DH,BE,DE的數量關系,并證明．

教學預設：第(1)問先由學生獨立補出圖7,并想清待證的“AH=BC”的等價結論可以是四邊形ABCH是正方形,或者DH=AE,或者△ABE≌△HAD．在此基礎上,第(2)問中待分析的三條線段DH,BE,DE的數量關系,可以代換、轉化到直角三角形ADE中思考,結合勾股定理得出它們之間的平方關系．講評之后,可以將問題逆向設問,安排學生變式再練．

變式問題如圖7,正方形ABCH中,過點B在正方形內部的作射線l,AD⊥l,CE⊥l,垂足分別為D,E．連接DH,AE,求證AE=DH．

變式意圖學生證明的關鍵仍然是△ABE≌△HAD．全等判定的依據是“SAS”．

活動4 課堂小結

小結問題1 在求解與等腰直角三角形問題有關的補圖問題時,正確補全圖形是后續解題成功的關鍵,你在補圖過程中積累了哪些經驗?

小結問題2 本課中有不少設問需要用等式表示兩條或三條線段之間的數量關系,這類問題常常要將其中一條或兩條線段進行等量轉換,給你留下較深印象的是哪個問題?舉例說說．

小結問題3 等腰直角三角形與正方形聯系密切,本課中的“問題3”就是一例．你能將“問題3”再以正方形為背景,改編出一道新的問題嗎?

設計意圖：通過以上3個小結問引導學生對本課所學進行回顧反思,既要學會梳理解題經驗,又要學會辨別關鍵步驟或積累深刻印象的問題,同時對典型問題或基本圖形要能繼續設計出新的問題,這樣就追求了理解的深度．

二、關于幾何專題教學的進一步思考

1.聚焦主線選編問題,留白追問漸次呈現

幾何專題教學的關鍵在于課前的精心備課,特別是聚焦主線的選編同類問題,對這些問題進行必要的改編、刪減、變式、拓展,以適合不同教學環節的教學運用．此外,為了充分發揮學生主體地位,可以在課堂教學中運用留白藝術,這就需要教師在“備課時就應根據課型、教學內容、學生情況等因素對課堂留白進行預設．”[1]具體來說,當某個問題的題干呈現之后,教師不要急于提出系列問題,先將問題留白,引導學生參與設計問題、小組交流、大組展示,如果備課時準備好的類似問題已被學生提到,則在后續出示時就不必詳細討論,這樣的開放式教學,留白追問可以促進更多學生的思維充分卷入課堂,激發學生學習興趣和數學信心．

2.變換角度一題多解,變式設問多題歸一

幾何專題教學時選題不宜太多,一般來說,全課安排3～4個主問題即可,在每個主問題之下可以跟進系列小問,系列小問3～4個為宜．在總題量控制之后,教學重點可花在引導學生開展一題多解,從不同角度進行思路突破,這樣可以對不同數學分支進行復習、鞏固．當然,一題多解也要防范另一個極端,就是偏向“一題濫解”,比如對有些問題開展所謂“一題十解”“一題二十解”之類的展示,在專題教學課中就不太合適,畢竟教學時間寶貴,筆者以為一題給3～4種典型解法即可．另外,除了一題多解之外,教學點評或反思回顧環節,可以安排變式追問,促進學生從“一題多解”走向“多解歸一”,讓學生學會識別“等價問題”[2],以達到“做一題,會一類,通一片”解題目標．

3.精心預設小結問題,引導學生回顧反思

專題教學課要留出時間進行課堂小結,教師在課前就要精心預設小結問題,小結問題可聚焦本課主題,從所學習題的題型、解法、關鍵步驟、易錯點等帶領學生進行小結．當然,除了課前精心預設的小結問題之外,教師還可根據課堂生成進行小結,比如在課堂中有學生提出了一個精彩解法、獨特思路,超出了教師課前預設,這時教師可以在小結時特別提出來,讓其他學生復述或學習;再如,課堂解題進程或板演中,出現一些典型錯漏,在小結時也可以進行再回顧,引導學生注意汲取教訓．