一般觀念引領下的數學解題教學

黃暉明　吳國文

【摘 要】一般觀念是數學大概念的一種表現形式，一般觀念引領下的數學解題教學是以培養學生解決真實問題的專家思維為核心目標的教學。在教學實踐中，通過概念再認知提煉一般觀念，思考方法遷移深化一般觀念，進階追問驅動發展一般觀念，幫助學生突破“解題思路怎么獲得”的難題，形成專家思維。

【關鍵詞】一般觀念；解題教學

數學解題是由一定情境引起，按照一定的目標，綜合地、創造性地運用各種數學知識、技能，并經過一系列的思維操作去解決問題的過程，包括解決常規問題、實際問題和源于數學內部的問題。在解題教學過程中，多數教師通過類型題的訓練，幫助學生提煉出解題技巧及思維共性，再配以相關練習對知識和技能加以鞏固。為達到知識應用目的，教師容易簡化思維碰撞的過程，長此以往，會導致解題教學徘徊在傳授及應用專家結論的層面，無法觸及專家思維層面。不可否認，這樣的解題教學可以使學生的成績在短期內有所提升，但是缺點也是明顯的，即解題具體操作與解題策略由來之間缺少了溝通的橋梁，對“為什么這樣想”“如何才能想到”“具體怎么做”（即解題方法）等的思維、策略引導不夠，學生對問題的本質認識不夠清晰，解題只停留在模仿階段，變化問題情境后可能又會束手無策，這也就是“一說就懂、一做就錯”的根源所在。由傳授及應用專家結論轉向培養專家思維的解題教學轉型勢在必行。

一、數學一般觀念的內涵

一般觀念是數學大概念的一種表現形式。它是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括，是對數學對象的定義方式及其幾何性質、代數性質、函數性質、概率性質等“是什么”的一般性回答，是研究數學對象的方法論，對學生學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發現和提出數學問題等都具有指引作用。［1］

按照所在層級，一般觀念可以分為課程一般觀念、單元一般觀念和課時一般觀念。根據教學功能不同，這些不同層級的一般觀念還可以分為以下三類：一是指向內容“是什么”的一般觀念，如幾何圖形的性質是什么（即圖形的形狀特征、大小度量及位置關系）等；指向內容“怎么學”的一般觀念，如借助單位圓研究三角函數，通過運算研究數列相關問題等；指向內容所蘊含的數學基本思想的一般觀念，如三角函數性質是圓幾何性質（主要是對稱性）的直接反映，研究隨機問題的重要思想（將一個隨機變量表示成一個主要的確定性的量與一個次要的隨機量之和，只要控制次要的隨機量在一定的范圍之內，那么隨機問題就可以通過研究確定性問題得到理想的結果）等。［2］從教學功能看，一般觀念具有數學基本思想和具體研究策略雙重屬性，反映的是專家的思維方式，能將離散的知識結構化和內隱的方法系統化，能統領教學內容的組織，引領課堂教學的有序展開。

二、一般觀念引領下數學解題教學的優勢

一般觀念引領下的數學解題教學，是以培養學生解決真實問題的專家思維為核心目標的教學。“關聯”和“遷移”是一般觀念引領下解題教學的基本特征，也是優勢所在。

一般觀念在統攝和組織教學內容時，強調知識、方法的內在關聯性和邏輯性，突出一般觀念的串聯作用。解題教學中的關聯主要包含內容所處知識結構的關聯和內容所涉及思考方法的關聯。一般觀念是單元整合的依據和標準，一般觀念引領下的數學解題教學可以根據關聯性將教學內容迭代、累積、連接成主題單元，讓學生更加深刻地感受不同題型在同一思考方式下的解決過程，幫助學生構建出解決同一類相關問題的思維支架。

遷移被定義為把一個情境中學到的東西遷移到新情境中的能力，一般觀念引領下的解題教學的遷移機制是高通路遷移（新任務與原任務不相似），需要用到具體與抽象的協同思維。即從很多具體案例中抽象出一個原理，再用這個原理指導下一次任務的完成［3］，具體案例越豐富多樣，抽象出來的原理就會越高位。學生在“具體—抽象—具體”的循環過程中，反復體驗一般觀念在問題解決中的思維引領作用，在深化和發展一般觀念的同時實現自主解決現實問題的最終目標。思考方法的遷移是一般觀念引領下解題教學的重要任務，是利用相同或相似的方法研究一類問題，發生在較高的抽象層次，其遷移范圍根據思考方法本身的層次，或表現出與具體數學主題有關，或超越具體內容而表現出普遍的適用性［4］。

三、一般觀念引領下數學解題教學設計要點

一般觀念是高度抽象的，在解決問題中的引導作用并不是顯而易見的。一般觀念的學習也不可能一蹴而就，而是要經歷一個從接觸到熟悉、領悟再到自覺運用的“生長”過程。［5］一般觀念引領下的解題教學設計主要包含三個關鍵要點：概念再認知，提煉一般觀念；思考方法遷移，深化一般觀念；問題鏈驅動，發展一般觀念。

（一）概念再認知，提煉一般觀念

首先是要幫助學生將題目與知識關聯起來，并通過概念將知識結構組織起來，接著是對概念進行深入挖掘和拓展，厘清概念本質及所蘊含的基本思想方法，進而提煉出一般觀念。概念回顧不是簡單地“炒冷飯”，而是對概念的再認識，是揭示解題思路的由來進而形成一般觀念的首要環節。

（二）思考方法遷移，深化一般觀念

與具體數學內容相關的思考方法類型較多而且具體，將這些思考方法放在同一領域內容的學習或者問題解決中，其通用性能有效促進學生實現知識、方法的遷移。比如在解決函數極值、最值、恒成立等問題時，函數零點是解題的基礎，碰到零點不可求的時候，經常會轉化為新函數來研究，雖然轉化形式不同，但解題過程的核心思想都是“函數的觀點統領方程、不等式”“導數是研究函數性質與圖象的工具”的一般觀念。在教學中需要有意識地讓學生學習這種具有方法論意義的思考方法，這也就需要教師站在這類思考方法的關聯性角度整體地設計教學。

（三）問題鏈驅動，發展一般觀念

有效的數學學習需具備三個重要條件：好的學習素材，有效的研究思路，符合知識自然發生發展和學生認知規律的問題。解題教學需要借助具體的研究對象，以問題為載體，將一般觀念融于有邏輯、有結構的問題鏈中，通過問題鏈給出一般觀念的明確提示，引導學生開展系統化、系列化的數學活動。設計教學時還應適當變化問題情境，讓學生學會運用一般觀念去解決問題。設計邏輯、因果、關聯三個層級的追問，讓學生經歷“就題論題、就題論法、就題論道”的螺旋上升、層層遞進的解題分析過程，從微觀到宏觀，幫助學生洞察數學解題的邏輯思維過程，從而豐富知識結構，形成方法體系。問題由具體到綜合、由表象到本質的不斷進階，使得學生的數學思維不斷深化，思維層級從低階走向高階，在進階的過程中不斷深化、發展一般觀念。以問題鏈進行進階追問，是一般觀念引領下解題教學的主要析題模式。

四、一般觀念引領下數學解題教學實踐

本文以函數的“零點不可求問題”為例，探析一般觀念引領下的數學解題教學模式。

1.關聯：追尋策略由來，提煉一般觀念

【師生活動】學生通過觀察函數的結構特征，聯系函數零點個數與兩函數圖象交點個數的關系，利用全分離等價轉化為直線與曲線的交點個數或利用半分離等價轉化為二次曲線與指數函數圖象的交點個數。

追問2（因果追問）：解題思路是怎么想到的？

【師生活動】師生對內容所包含的概念進行梳理，形成知識結構，進而提煉出解題過程中的一般觀念。首先是對零點這一概念的把握，它是函數圖象與x軸交點的橫坐標，是函數的性質之一；同時函數有零點與方程有根、兩函數圖象有交點是等價命題，可以相互轉化。通過對概念的再次解析，學生對零點的知識結構有更加清晰的認知，同時從概念中提煉出“是什么”的一般觀念（零點是函數的性質之一）和“怎么學”的一般觀念（函數觀點統領方程、不等式，利用導數研究函數的性質與圖象），由此當零點不可求時，回歸到如何研究函數圖象及性質并作圖解決問題上。一般觀念便是解題思路的由來。

【設計意圖】例題教學旨在通過具體案例，抽象出解決問題的“原理”，不能僅僅止步于會解這道題，而是將學生的思維朝“為什么這樣解”“思路是怎么想到的”方向引導。首先是通過邏輯追問，引導學生對解題過程展開因果關系的探究，幫助學生追尋解題過程中的邏輯關系，明確解題過程每一個步驟的“理”，得出題與概念的關聯。接著，在明白解析過程的邏輯關系后，學生暫時學會解答一道題，此時設計因果追問，將分析視角引向知識本質、方法由來，探究出概念與思考方法的本質關聯，從而提煉出一般觀念。

2.遷移：強化思考方法，深化一般觀念

一般觀念引領下的數學解題教學是在高通路遷移的機制下進行的，它的重要特征在于案例背景不相似，但案例所承載的思考方法是一致的。遷移的實現有賴于反思性學習，教師在教學中可通過問題引領學生不斷反思，構建具體與抽象的關聯，從而實現有意識的、深思熟慮的遷移。基于上述考慮，本文選取的3道練習題涉及極值點個數判斷、單調性、恒成立等知識背景，并以方程、不等式、函數等不同載體呈現，目的在于引領學生發現解題過程中用到的思考方法是一致的，即“函數觀點統領方程、不等式”“導數是研究函數性質與圖象的工具”等。之后，通過問題鏈的進階追問，引導學生從具體的案例中抽象出解題的“原理”，再利用“原理”解決新問題。在這種高通路遷移的機制下，學生經歷具體到抽象、抽象到具體的循環往復過程，不斷體會一般觀念的思維引領作用。

【師生活動】引導學生歸納4道題在碰到零點不可求時都可以轉化為新函數來研究，雖然轉化形式不同，但解題過程都是在“函數的觀點統領方程、不等式”“導數是研究函數性質與圖象的工具”的一般觀念引領下進行的。

【設計意圖】因果追問后，學生獲得試題與知識、思考方法的表層關系，但這種關系是碎片化的，無法形成整體性的關聯。只有把這種孤立的表層關系放到思考方法的體系中，抓住事物的本質和規律，開展系統的理解活動，才能探明它們的內在聯系，建立良好的認知結構，實現知識和方法的遷移。由此設計關聯追問，旨在引導學生對一類題進行分析、綜合，進而豐富認知結構，發展一般觀念。學生需要調動以往的經驗參與當下的學習，又要將當下學習內容與已有經驗建立結構性的關聯，這是高階思維的重要體現。通過關聯追問，可以讓學生不斷接觸、反復體會解題過程中共通的思考方法，感受一般觀念在解題中的思維引領作用，從而凸顯一般觀念的統領性和策略性，深化、發展學生的一般觀念。

一般觀念引領下的解題教學，重在幫助學生突破“解題思路怎么獲得”的難題，形成專家思維，從而提升學生的解題水平和思維能力。一般觀念的滲透應該成為教師解題教學的重要策略。

參考文獻：

［1］章建躍.學會提問：之五［J］.中小學數學（高中版），2022（3）：封四.

［2］黃暉明.一般觀念為統領 方法體系成自然：例析一般觀念下高三數學二輪專題復習設計［J］.理科考試研究，2023（7）：2-5.

［3］劉徽.大概念教學：素養導向的單元整體設計［M］.北京：教育科學出版社，2022：18.

［4］唐恒鈞，張維忠.數學問題鏈教學的理論與實踐［M］.上海：華東師范大學出版社，2021：77.

［5］章建躍.核心素養導向的高中數學教材變革（續4）：《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫［J］.中學數學教學參考，2019（16）：7-11.

（責任編輯：潘安）