卷煙單規格月度銷量的時間序列預測方法研究

楊 蕾，何雪峰，張 濤，馮洪濤，向其鳳，楊紅玉，夏體淵

(1.云南中煙工業有限責任公司技術中心，云南 昆明 650231；2.云南財經大學 統計與數學學院，云南 昆明 650221；3.昆明學院 農學與生命科學學院，云南 昆明 650214)

1 引言

中國的卷煙消費市場已經從高速發展的階段進入平穩成熟的階段，新的經濟環境也使得單規格卷煙的銷量規律弱化。對單規格卷煙銷量的精準預測，有助于企業及時把握市場狀態，提高企業對市場的響應能力，提升卷煙營銷水平。

對于卷煙銷量的預測，學者和業界人士已經做過許多研究。在預測的時間類型上，年度數據的預測因時間短，樣本少，沒有周期、節假日等問題，相關研究最多。季度數據的預測需要解決季節性問題，但是節假日的影響不用單獨考慮，因此該類型的研究也較多，如石濤等(2021)[1]。月度數據因其頻率短，波動多，應用需求大，近年來也頗受關注，相關的研究有羅彪等(2012)[2]、武牧等(2016)[3]、吳明山等(2019)[4]。且數據獲取困難且波動性過大，相關的研究非常少，目前僅見一篇，即鄧超等(2021)[5]。從預測方法上看，樣本量較小的年度預測通常使用灰色模型[6-7]、灰色馬爾科夫模型[8-9]、回歸模型[10-11]、組合模型[12-13]、系統動力學模型[14]、隨機森林算法[15]。在季度預測和月度預測中，數據的周期性必須得到處理，相應的方法有趨勢比率模型[16]、季節ARIMA模型[17]、時間序列分解模型[18]、組合模型[4，19]、混頻模型[1]等。隨著大數據技術的興起，機器學習方法也運用到卷煙銷量預測中，如支持向量機[3]、神經網絡[20]等。并且，有學者注意到節假日尤其是農歷的春節等對卷煙銷量的影響，提出了針對性的改進方法[21]。

已有的文獻為研究卷煙銷量的月度預測提供了堅實的基礎。但是，在以下幾點上仍然存在改進的空間。一是現有的月度預測集中在一個區域的總銷量上，鮮有單規格卷煙的銷量預測；二是對春節等農歷節假日的處理仍不盡如人意，春節屬于移動假日，其影響的月份不固定，簡單的設置成0～1虛擬變量難以準確度量春節效應；三是在預測方法上，考慮了季節調整、趨勢循環、不規則變動和移動節假日的Census X13-ARIMA-SEATS方法還未應用到卷煙的月度銷量預測中，而該方法是目前為止最新的季節調整方法[22]。文章擬以某省單一規格玉溪(軟)的月度銷量數據為基礎，構建和引入五種預測方法，對其月度銷量進行預測，并選出最優方法。

2 材料與方法

2.1 研究對象

文章使用2015年1月至2020年12月共72個月的數據進行模型估計并預測，利用2021年1月至10月的實際銷量數據進行預測的檢驗。

2.2 研究方法

2.2.1 回歸分析預測方法

回歸分析通過建立變量間的回歸方程，根據解釋變量的預期值來對被解釋變量進行預測[23]。考慮影響卷煙月度銷量的影響因素，假設卷煙銷量的長期趨勢與周期性之間沒有疊加效應，擬建立如下加法回歸預測模型：

式中，yt為卷煙月度銷量，μt為隨機誤差項；t為長期趨勢變量，t=1，2，…，T；Sit為季節虛擬變量(=1，銷量屬于第i個月，=0，銷量不屬于第i個月，i=1，2，…，11)；Zt為春節虛擬變量，假設春節對銷量的影響在春節前是均勻的，計元旦到春節時的天數為m，Zt為Z1-Z12的循環取值。

式中，Dt為政策變量(=1，提稅順價(2015年6月)前，=0，提稅順價后)；參數αi度量了第i個變量對月度銷量的凈影響；若卷煙銷量的長期趨勢和周期性之間存在疊加效應，還可建立銷量預測的乘法回歸模型。

2.2.2 指數平滑方法

指數平滑法是一種常用的中短期預測方法，按照平滑的次數，可以進行一次、二次和三次指數平滑。三次指數平滑模型又分為加法和乘法模型。乘法模型主要用于周期性和線性疊加的序列。平滑序列公式為：

yt+k=(a(t)+b(t)k)ct+k

加法模型主要用于周期變化穩定、線性趨勢簡單合成的序列。序列由下列公式給出：

yt+k=a(t)+b(t)k+ct+k

式中，yt+k為t+k時期的卷煙月度銷量，α(t)為截距；b(t)為斜率，隨時間t變化而變化，ct+k為季節因子。

2.2.3 引入虛擬變量的時間序列分解法

時間序列分解將原始序列拆分為長期趨勢變動、循環變動、季節變動和不規則變動[24]。常用的模型有加法、乘法和混合模型。一般卷煙月度銷量的趨勢和周期存在疊加效應，多選擇乘法或混合模型。

yt=TCt·St·It或yt=St·(TCt+It)

式中，yt為卷煙月度銷量，TCt、St和It分別代表長期趨勢變動、季節變動和不規則變動。

文章在處理季節因素時，將傳統節日設為虛擬變量，構建基于時間序列分解和虛擬回歸結合的改進模型，估測傳統節日對序列的影響。用D1t(=1，1月，=0，其它月份)和D2t(=1，提稅順價前，=0，提稅順價后)分別表示春節變量和政策變量，建立卷煙銷量長期趨勢的回歸模型。

TCt=β0+β1t+β2D1t+β3D2t+μt

2.2.4 季節ARIMA模型

按照博克斯—詹金斯的時域分析方法，建立季節ARIMA模型。假設季節變化周期為s，首先用季節差分法消除周期性變化，其次用一階差分算子去除線性趨勢。對于差分后的序列，可能還存在季節效應和隨機波動間的交互影響，短期相關性和季節效應之間具有乘積關系，所以季節乘法模型實際上為ARIMA(p，q)和ARIMA(ms，ns)的乘積[25]。季節乘法模型的形式如下：

Φp(L)Am(Ls)(1-L)(1-Ls)yt

=Θq(L)Bn(Ls)εt

式中，L為滯后算子，Φp(L)、Θq(L)分別是L的一元p次和q次多項式，Am(Ls)、Bn(Ls)分別是Ls的m次和n次多項式，εt為白噪聲。

2.2.5 X-13A-S方法

X-13A-S方法是X-11-ARIMA與SEATS的結合，主要用于經濟數據的季節調整。X-13A-S方法首先建立RegARIMA模型，調整原始序列中的極端值和日歷效應。RegARIMA模型是回歸模型與ARIMA模型的組合，其形式如下：

Φp(L)Am(Ls)(yt-∑iβixit)=Θq(L)Bn(Ls)εt

式中，yt為被解釋變量，xit為解釋變量，回歸殘差yt-∑iβixit為平穩時間序列，滿足季節ARIMA模型。X-13A-S方法運用RegARIMA模型對經過預調整后的序列進行向前和向后預測來補充數據，通過移動平均法從原序列中分離出趨勢成分、循環成分、季節成分和不規則成分，最終對結果進行診斷。

3 結果與分析

3.1 五種模型的估計和優化選擇

如圖1所示，某省玉溪(軟)卷煙從2015年1月到2021年10月的月度銷量具有明顯的周期性，但周期的振幅沒有規律變化，2015年和2018年的峰值明顯偏低，趨勢變化不明顯，不規則因素的影響較大。

圖1 玉溪(軟)月度銷量的時序圖情況

3.1.1 回歸模型

分別估計加法和乘法回歸模型，模型擬合優度為0.9532和0.9492，選擇擬合優度較高的加法模型作為最終的預測模型，估計結果見表1所示。模型的擬合優度為0.9532，F統計量對應的P值為0，模型擬合的較好，在1%的水平下模型顯著。解釋變量中，除了季節變量S2不顯著以外，其余變量均在5%的水平下顯著，說明虛擬解釋變量有較好的解釋作用。模型的DW值為2.0577，表明模型不存在隨機誤差項的序列相關，可用于預測。時間變量t的系數為-23.9669，表明去除周期性和政策影響后，月度銷量每月平均下降23.9669箱。春節效應變量Z和政策效應D均顯著為正，表明春節所在月份確實高于其他月份的銷量，提稅順價前的銷量也明顯高于提稅順價后的銷量。

表1 回歸分析的加法模型估計結果

3.1.2 指數平滑模型

分別估計三參數指數平滑加法和乘法模型，結果如下。

加法模型：

yt+k=0.05(yt-ct(t-s))+0.95(a(t-1)+b(t-1)+b(t-1)k-ct+k(t+k-s)

乘法模型：

(0.26(a(t)-a(t-1))+0.74b(t-1))k]ct+k(t+k-s)

式中，0.05，0.06和0.26為阻尼因子估計值。兩個模型中的s均為“季節性周期”中指定的季節性頻率，文章中s為12。加法模型的殘差平方和為83821095，均方誤差為1078.97。

乘法模型的殘差平方和為1.15×108，均方誤差為1261.26。加法季節因子和乘法季節因子見表2。從均方預測誤差來看，加法模型的預測誤差更小，選擇加法模型作為預測模型。

表2 指數平滑模型提取的季節因子

3.1.3 時間序列分模型的預測結果

考慮到文章中的月度銷量趨勢和周期存在著疊加效應，因此選擇乘法分解模型。首先使用季節指數提取周期性，其次采用線性回歸提取趨勢，剩余部分歸為不規則變動。剔除季節因素后的趨勢回歸模型為：

式中，S1t和Dt為1月和政策的虛擬變量。經檢驗，模型整體顯著，擬合優度為0.5251，所有變量均在5%的顯著性水平下顯著。分別對趨勢和季節進行估計，然后合并成總的估計，結果如表3所示。

表3 加入虛擬變量的時間序列分解模型預測結果 單位：箱

3.1.4 季節ARIMA模型的估計和優化

首先對銷量序列進行1階差分去除趨勢，然后進行12步差分消除季節性，通過繪制自相關和偏自相關圖，確定可以估計AR(2)、MA(1)、ARMA(1，1)、ARMA(1，12)、SARMA(1，1)×(1，1)12以及SARMA(2，1)×(1，1)12等模型。運用ML法估計識別出的所有模型，經模型顯著性檢驗(殘差白噪聲檢驗)和參數顯著性檢驗后，SARIMA(1，1，1)×(0，1，0)12，SARIMA(1，1，1)×(1，1，0)12和SARIMA(1，1，1)×(0，1，1)12通過檢驗，可以用來預測。三個模型估計結果的對比如表4所示。

表4 SARIMA模型的優化選擇

模型的選擇通常根據信息準則來決定。從表中可知，SARIMA(1，1，1)×(0，1，0)12具有最小的SC值，SARIMA(1，1，1)×(0，1，1)12具有最小的AIC值。因此選擇模型通過LR檢驗來進行。以SARIMA(1，1，1)×(0，1，1)12為基礎模型，SARIMA(1，1，1)×(0，1，0)12作為嵌套模型，檢驗SMA項的系數是否為0的原假設，其LR統計量為3.84(prob>0.05)，因此不拒絕原假設，應該以SARIMA(1，1，1)×(0，1，0)12作為最終的預測模型，其估計結果如下式：

3.1.5 X13-A-S方法

文章運用Eviews10軟件中的Census X-13A-S程序，對數據不做轉換，不考慮交易日影響和移動假日影響(對消費者而言，卷煙銷售不存在交易日；前文的研究表明季節效應已經將春節和中秋效應包含在內)，由X-11 Auto選擇ARIMA模型，用X-11方法進行季節調整，X-13 Auto 進行趨勢和季節過濾，可得到一個相對較好的預測。

在無季節性影響的假設下，穩定季節性F檢驗的統計量為18.367，在1%的顯著性水平下存在季節性，穩定季節性非參數檢驗的Kruskal-Wallis統計量為79.354，在1%的顯著水平下季節性存在；移動季節性F檢驗(原假設為年變化無影響)的統計量為1.354，在5%的顯著性水平下沒有證據表明移動季節性存在。綜合三個檢驗的結果來看，玉溪(軟)在某省的卷煙銷量存在穩定的季節性，季節性隨月變化，不隨年變化。季節調整后的序列進行季節性檢驗的結果表明，在1%的顯著性水平下序列中沒有剩余的季節性。綜上說明，X-13A-S方法能較好的消除卷煙銷量中的季節性。

3.2 五種方法的預測結果對比分析

3.2.1 銷量的預測結果分析

采用五種不同的時間序列預測方法，對某省玉溪(軟)2021年1月至12月的銷量進行預測。根據表5，各方法的預測基本體現了季節性，符合卷煙銷售的周期性特點，在銷量1月最大，12月最小。五種方法在1月的銷量預測上差異最大，12月的差異最小。預測的差異和當月的實際銷量總體呈正相關。

表5 五種方法的銷量預測結果 單位：箱

3.2.2 預測的絕對誤差分析

五種方法預測的絕對誤差如表6所示。1月預測的絕對誤差最大，4月最小。文章計算了1至10月的實際銷量為49780.78箱，預測最為接近的是季節ARIMA模型，相差23.68箱，占實際銷量的0.057%，預測差距最大的是時間序列分解法，相差8381.48箱，占實際銷量的18.72%。

表6 五種方法的預測絕對誤差分析 單位：箱

3.2.3 預測的相對誤差分析

相對誤差的計算結果如表7所示。從結果看，X13-A-S方法平均相對誤差最小，為8.57%，其中6月預測誤差最大，10月最小。時間序列分解、指數平滑和回歸分析方法預測的平均相對誤差均較大，主要原因在于1月份和2月份的預測偏差較大。

表7 五種方法的預測相對誤差 單位：%

3.2.4 預測的標準誤差分析

上述五種方法中，指數平滑方法和時間序列分解方法無法給出預測的標準誤差，剩下三種方法的標準誤差如表8所示。

表8 五種方法的預測標準誤差 單位：箱

根據表8，標準誤最小的是回歸分析，在710箱左右。季節ARIMA模型和X13-A-S方法的標準誤相差不大，在1400箱左右。X13-A-S方法的標準誤差略低于季節ARIMA模型。

4 結論與建議

文章使用5時間序列分析預測方法對某省單規格(玉溪(軟))的月度銷量進行了預測。結果顯示：回歸模型、指數平滑、時間序列分解、季節ARIMA和X13-A-S方法均能有效提取季節因素、趨勢和節假日效應，預測結果能較好地反映序列波動性，為未來卷煙的投放提供一定的參考。

卷煙銷量主要受經濟社會發展中長期趨勢、周期和節假日因素影響。傳統回歸模型基于因果關系建立，再通過原因變量的已知或設定值，去估計總體均值[23]。卷煙銷售市場監測指標如零售戶個數、零售戶進貨量等和卷煙銷量存在著高度的同期相關，并不適合做預測，因此文章的回歸預測法主要使用可以外推的外生解釋變量：時間變量t、月度虛擬變量和政策虛擬變量，避免了預測解釋變量帶來的誤差。指數平滑法是使用過去若干期銷量的加權平均作為下一期的預測，因此其趨勢具有滯后性。單規格卷煙的月度銷量在前一年的12月和后一年的1月由于銷售策略和春節的影響，會產生較大幅度的跳躍。而每一年1月的銷量預測是上一年最后幾個月銷量的加權平均，由此導致1月的銷量預測出現嚴重的偏低。因此，指數平滑法可能不太適合周期波動比較大的時間序列預測。回歸分析，指數平滑和時間序列分解模型在可變季節效應和不規則移動節假日效應處理方面欠缺，這可能是三類模型預測誤差偏大的原因。

5 結論

預測方法中，季節ARIMA模型和X13-A-S方法在預測均值上擁有相對較小的絕對誤差和相對誤差。季節ARIMA模型和X13-A-S方法都使用趨勢差分和季節差分來提取時間序列中的趨勢和周期性，對隨機趨勢或波動復雜的周期效應更有效。不同之處在于X13-A-S方法增加了預調整、濾波和移動平均等來處理節假日效應、周期效應、趨勢以及交易日效應等，從而能對周期性和節假日效應更充分剝離。

在銷量均值的預測上，季節ARIMA模型和X13-A-S方法無絕對誤差和相對誤差在五種預測方法中都相對較低，因此預測效果明顯優于其他三種方法，可作為卷煙單規格月度銷量均值預測的基本方法和通用方法。