2022年高考數(shù)學(xué)文化試題評(píng)析及教學(xué)建議

黃邵華

【摘要】本文分析2022年高考數(shù)學(xué)試卷中涉及數(shù)學(xué)文化的試題，發(fā)現(xiàn)這些試題分別以我國(guó)工程建設(shè)、環(huán)境治理等為背景考查數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，以科技創(chuàng)新為背景展示數(shù)學(xué)與其他學(xué)科融合的意義，以及以古代建筑為背景展示數(shù)學(xué)文化之美，認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教師有必要學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)教育改革與高考改革精神，與時(shí)俱進(jìn)地調(diào)整教學(xué)方式，充分發(fā)掘和利用教材中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，重視在復(fù)雜情境教學(xué)中凸顯學(xué)生的主體地位，開展數(shù)學(xué)課外閱讀，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化 數(shù)學(xué)高考 試題分析 教學(xué)建議

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）14-0048-04

黨的教育方針強(qiáng)調(diào)要把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，不僅要教會(huì)學(xué)生知識(shí)和技能，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生正確、科學(xué)的道德觀念和價(jià)值觀念。基于此，以情境為依托，使學(xué)生堅(jiān)定“四個(gè)自信”，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，成為近年高考的熱點(diǎn)，并將是2023年高考命題的核心要旨。

“數(shù)學(xué)文化”狹義上是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義上的“數(shù)學(xué)文化”除包含上述內(nèi)涵外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育等。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出，要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。本文展示2022年高考數(shù)學(xué)卷中有關(guān)數(shù)學(xué)文化的試題，分析這些高考數(shù)學(xué)試題如何通過具體的問題情境來考查數(shù)學(xué)知識(shí)，并提出教學(xué)建議。

一、試題評(píng)析

（一）以我國(guó)工程建設(shè)為背景，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作用

例1（2022年新高考Ⅰ卷第4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0 km2；水位為海拔157.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0 km2，將該水庫(kù)在兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時(shí)，增加的水量約為（ ）。

A.1.0×109 m3 ? ? B.1.2×109 m3

C.1.4×109 m3 ? ? D.1.6×109 m3

本題主要考查立體幾何板塊中棱臺(tái)體積的求法。而有關(guān)臺(tái)體（包含棱臺(tái)和圓臺(tái)）的體積和面積的問題，沒有在2022年之前的近十年廣西高考試題中出現(xiàn)過。本題的出現(xiàn)，是新高考改革釋放的一個(gè)信號(hào)，即注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的全面性和系統(tǒng)性。本題根據(jù)水庫(kù)的形狀建立棱臺(tái)的數(shù)學(xué)模型，在已知棱臺(tái)的兩個(gè)底面積和高的條件下求解棱臺(tái)的體積，考查和發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本題建立數(shù)學(xué)模型的難度不大，關(guān)鍵在于學(xué)生要記憶和理解棱臺(tái)的體積公式這個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)，而臺(tái)體的體積公式比柱體、錐體的要復(fù)雜，建議教師在教授新課或高三復(fù)習(xí)過程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茖?dǎo)，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶公式而不是機(jī)械地記憶。

（二）以我國(guó)環(huán)境治理為背景，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值

例2（2022年全國(guó)乙卷理科卷第19題，節(jié)選）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)略），并計(jì)算得

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186 m2。已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比。利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值。

這是一道統(tǒng)計(jì)板塊的解答題，考查的知識(shí)包括樣本的數(shù)字特征、兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)、正比例函數(shù)等，考查和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。這道題以環(huán)境治理為背景，給出樹木根部橫截面積與樹木的材積量這組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)樣本數(shù)據(jù)，考查學(xué)生對(duì)均值、相關(guān)系數(shù)、估算等統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用，使其領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)比較多，分散在必修第二冊(cè)和選修第三冊(cè)兩冊(cè)教材的兩個(gè)模塊中，但在高考試題的考查中往往會(huì)綜合出現(xiàn)。因此建議教師在教學(xué)選修第三冊(cè)中的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的過程中，多與必修第二冊(cè)中的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比教學(xué)和綜合應(yīng)用，使學(xué)生感受收集、整理、分析數(shù)據(jù)以及利用統(tǒng)計(jì)分析進(jìn)行決策的連貫性和系統(tǒng)性，體會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。

（三）以我國(guó)科技創(chuàng)新為背景，體會(huì)學(xué)科融合意義

例3（2022年北京卷第7題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar。下列結(jié)論中正確的是（ ）。

A.當(dāng)T=220，P=1 026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270，P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300，P=9 987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360，P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

本題以北京冬奧會(huì)為背景，展示數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉應(yīng)用，展示我國(guó)在科技創(chuàng)新領(lǐng)域取得的成就。本題考查的知識(shí)有函數(shù)的圖象、對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等，屬于較易題，考查和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)。本題中出現(xiàn)的“溫度”“壓強(qiáng)”“液態(tài)”“氣態(tài)”“二氧化碳”“超臨界狀態(tài)”等名詞，是物理、化學(xué)等學(xué)科中的專業(yè)術(shù)語，此題體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)知識(shí)中函數(shù)的運(yùn)算、性質(zhì)以及圖象等相關(guān)內(nèi)容與其他學(xué)科在科技創(chuàng)新領(lǐng)域中的交叉融合。歷史上許多數(shù)學(xué)新知識(shí)，往往是在其他一些實(shí)踐性較強(qiáng)的學(xué)科的發(fā)展和應(yīng)用過程中產(chǎn)生的。因此，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，一方面要多利用其他學(xué)科的知識(shí)背景創(chuàng)設(shè)情境，闡述數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，另一方面也要引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于解決其他學(xué)科的問題，體會(huì)數(shù)學(xué)在多學(xué)科交叉融合中的意義。

（四）以我國(guó)古代建筑為背景，感受數(shù)學(xué)文化之美

例4（2022年天津卷第8題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120°，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）。

A.23? ? B.24? ? C.26? ? D.27

本題主要考查立體幾何板塊中的組合體的體積問題，要求學(xué)生從“十字歇山”這個(gè)具體的實(shí)例中抽象出兩個(gè)直三棱柱重疊的組合體形象，同時(shí)借助空間想象力理解該組合體的對(duì)稱性，并利用棱柱和棱錐的體積公式進(jìn)行求解，主要考查和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)。立體幾體中組合體的體積和面積的求解問題是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，學(xué)生在解題過程中容易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)的情況，建議教師在教學(xué)過程中利用實(shí)物模型讓學(xué)生獲得直觀感知，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生多動(dòng)手作圖，提升他們的空間想象力。

2022年的高考數(shù)學(xué)試題中，除了此題以美輪美奐的中國(guó)古代建筑“十字歇山”為背景，與中國(guó)傳統(tǒng)文化相關(guān)的試題的背景還有自然科學(xué)、工藝技術(shù)及社會(huì)歷史現(xiàn)象的綜合性筆記體巨著《夢(mèng)溪筆談》，中國(guó)古代建筑的特色結(jié)構(gòu)“舉架結(jié)構(gòu)”，發(fā)現(xiàn)了“三斜求積”公式的中國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家秦九韶……考查的知識(shí)覆蓋三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何等。中華民族在源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的歷史長(zhǎng)河中，在文化、藝術(shù)、科技等方面都有著巨大的貢獻(xiàn)，積淀了屬于中華民族的智慧結(jié)晶和精神追求。這些試題既考查了學(xué)生的知識(shí)和技能，又讓學(xué)生感受和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之美，加深學(xué)生對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展及獲得成就的了解，使學(xué)生堅(jiān)定文化自信。

二、啟示和建議

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》提及的“一核四層四翼”中，“一核”指的是高考的核心功能，即“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”，回答“為什么考”的問題。2023年度高考藍(lán)皮書《中國(guó)高考報(bào)告（2023）》中也指出，高考要落實(shí)立德樹人，鮮明體現(xiàn)時(shí)代主題，將立德樹人這一根本任務(wù)融入高考試題命制中，引導(dǎo)學(xué)生堅(jiān)定“四個(gè)自信”，助力培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興大任的時(shí)代新人。在教育改革理念的指導(dǎo)下，2022年及近年的高考數(shù)學(xué)試題充分體現(xiàn)了這方面的要求，也必將成為今后高考試題命題的重點(diǎn)。

鑒于以上分析，針對(duì)高中一線數(shù)學(xué)教師如何把握高考改革趨勢(shì)，通過數(shù)學(xué)文化教學(xué)落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，筆者提出以下教學(xué)建議。

（一）學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)教育改革和高考改革精神，緊跟時(shí)代步伐調(diào)整教學(xué)方式

隨著我國(guó)教育改革和高考改革的不斷深入，將德育滲透于各學(xué)科的課堂已經(jīng)成為趨勢(shì)和常態(tài)。數(shù)學(xué)是一門強(qiáng)調(diào)邏輯分析和理性思維的學(xué)科，因此更需要教師學(xué)會(huì)與時(shí)俱進(jìn)地調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)方式，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)。教師不能只講數(shù)學(xué)知識(shí)，只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和發(fā)展，只關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理的過程與結(jié)論正確與否，還應(yīng)該調(diào)整和更新教學(xué)方式，多創(chuàng)設(shè)問題情境切入，重視數(shù)學(xué)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，積極展示我國(guó)在人類社會(huì)發(fā)展歷程中取得的輝煌成就，使學(xué)生堅(jiān)定“四個(gè)自信”。

（二）充分利用和發(fā)掘教材中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，滲透立德樹人理念

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。在現(xiàn)今各個(gè)版本的教材中，許多章節(jié)或知識(shí)板塊都會(huì)以適當(dāng)?shù)奈幕尘盀榍榫尺M(jìn)行切入或延伸，教師在教學(xué)中應(yīng)充分利用這些教學(xué)資源滲透德育。例如教材中利用“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車引入函數(shù)概念，教師可以介紹我國(guó)高鐵的快速發(fā)展史；教材中通過“恩格爾系數(shù)”引出函數(shù)的表示方法，教師則可拓展恩格爾系數(shù)的相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生感受我國(guó)人民幸福指數(shù)的不斷增長(zhǎng)；教材中以我國(guó)政府減少水資源浪費(fèi)為背景提出統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)問題，教師可以強(qiáng)調(diào)我國(guó)在尊重人類社會(huì)發(fā)展規(guī)律方面提出的正確理論；等等。又如教材中由“趙爽弦圖”闡述重要不等式的幾何意義、由“祖暅原理”推導(dǎo)體積公式等，教師可以強(qiáng)調(diào)我國(guó)古代數(shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中的重要地位和作用，使學(xué)生堅(jiān)定文化自信。這樣的例子還有很多，教師在以數(shù)學(xué)文化為背景進(jìn)行教學(xué)的同時(shí)，應(yīng)多嘗試發(fā)掘其背后的德育價(jià)值，滲透立德樹人理念。

（三）重視在復(fù)雜情境教學(xué)中凸顯學(xué)生主體地位，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

有了合適的數(shù)學(xué)文化作為情境背景，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題便成為教學(xué)的關(guān)鍵。復(fù)雜的背景情境蘊(yùn)含了諸多信息，在處理信息的過程中，教師要重視學(xué)生的主體地位，嘗試讓學(xué)生自主閱讀材料，找到需要解決的關(guān)鍵問題，而不能過多引導(dǎo)或直接給出問題背后的數(shù)學(xué)模型。在復(fù)雜背景情境中，教師要重視培養(yǎng)和提升學(xué)生的信息處理能力，一方面，要教授學(xué)生在具體問題中學(xué)會(huì)舍棄無用信息、留下有用信息；另一方面，要注重建立關(guān)鍵信息之間的聯(lián)系，嘗試將這種聯(lián)系與已有數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的概念聯(lián)系相結(jié)合；最后一個(gè)方面，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)抽象、科學(xué)的假設(shè)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過求解數(shù)學(xué)問題，獲得解決實(shí)際問題的辦法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

（四）提倡數(shù)學(xué)課外閱讀，發(fā)展學(xué)生綜合素養(yǎng)

教師在常規(guī)教學(xué)活動(dòng)之余，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多進(jìn)行與數(shù)學(xué)相關(guān)的課外閱讀。閱讀的內(nèi)容可以是數(shù)學(xué)課上的內(nèi)容的深化，也可以是數(shù)學(xué)課外拓展內(nèi)容；可以是數(shù)學(xué)發(fā)展史，也可以是數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用等。通過數(shù)學(xué)閱讀，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程有更加清晰的理解；了解數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)科交叉和實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，培養(yǎng)實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力；了解和學(xué)習(xí)到更多課本中沒有的知識(shí)，拓寬數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣度，加深數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力；發(fā)展理解和組織數(shù)學(xué)語言的能力以及信息處理能力，提升邏輯思維水平；了解中外數(shù)學(xué)的歷史和現(xiàn)狀，關(guān)注時(shí)事，提升政治素養(yǎng)。

（五）開展數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，加強(qiáng)理論與實(shí)踐的結(jié)合

對(duì)學(xué)生而言，不論是教材中提供的數(shù)學(xué)文化背景還是高考題中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化背景，終究都是他人提供的情境信息，而不是學(xué)生自主提出和發(fā)現(xiàn)的。因此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)注重開展數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，可以引導(dǎo)學(xué)生以個(gè)人或小組為單位，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，開展學(xué)科交叉融合的創(chuàng)新實(shí)踐課題研究，讓學(xué)生在參與活動(dòng)的過程中自主觀察、自主思考、自主發(fā)現(xiàn)、自主探索、自主解決問題。發(fā)現(xiàn)問題到解決問題的過程，可以讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和數(shù)學(xué)之美，大大激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就感，提升學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和實(shí)踐意識(shí)。開展數(shù)學(xué)研究活動(dòng)，將理論與實(shí)踐相結(jié)合，既讓學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，又在教學(xué)中滲透德育，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，為社會(huì)主義事業(yè)培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞母咚刭|(zhì)人才。

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注：本文系廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度廣西高考綜合改革專項(xiàng)課題“基于中學(xué)數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)發(fā)展的教師新教材實(shí)施的實(shí)踐能力培養(yǎng)研究”（2021ZJY1755）、南寧市教育科學(xué)“強(qiáng)基計(jì)劃拔尖人才培養(yǎng)”專項(xiàng)課題“強(qiáng)基計(jì)劃背景下培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽拔尖創(chuàng)新人才的實(shí)踐研究”（2021QJ002）的研究成果。

（責(zé)編 劉小瑗）