從2022年高考試題看數(shù)學(xué)教材題源的使用途徑

黃國穩(wěn)　黎福慶

【摘要】本文分析2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)理科卷試題與教材題源的關(guān)聯(lián)，論述教師用好教材題源的途徑：改變題源的條件、問題，或?qū)㈩}源的條件和結(jié)論互換，將題源中的結(jié)論進(jìn)行遷移應(yīng)用，歸納同類題找解題規(guī)律，深挖題源背景以發(fā)揮其育人功能。

【關(guān)鍵詞】教材題源 高考試題 試題改編

【中圖分類號】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）14-0051-04

數(shù)學(xué)教材是教師實施教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料，也是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體。本文論述的教材題源，指的是課本中的典型例題、習(xí)題及閱讀材料中的相關(guān)題目。筆者通過分析2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)理科卷試題與教材題源的關(guān)聯(lián)性，論述在日常教學(xué)中用好教材題源的策略。

鄧軍民在《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的題源教學(xué)法研究》一書中提到，“根據(jù)創(chuàng)造學(xué)理論，任何一個數(shù)學(xué)問題都包括‘結(jié)構(gòu)‘關(guān)系‘順序三個部分，這三部分并不是獨立的，而是相互聯(lián)系，形成有機(jī)整體。只要對其中部分進(jìn)行改變，都能產(chǎn)生新的問題”。我們通過分析高考真題與教材題源關(guān)聯(lián)性可知，將教材題源改編為試題的主要途徑有：改變題目中的條件、將條件和結(jié)論調(diào)換、引申推廣進(jìn)行深度的變形。下面筆者結(jié)合具體例題詳細(xì)闡述在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中用好教材題源的策略。

一、改變題目的條件

根據(jù)數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)特征，教師可以通過改變題目的條件進(jìn)而引申出新的問題。改變條件的途徑很多，既可以進(jìn)行淺層的改變，如單一的橫向變化，又可以進(jìn)行深層的改變，如通過升維或降維、強(qiáng)抽象或弱抽象，或?qū)讉€問題進(jìn)行重組等。

（一）將條件進(jìn)行淺層的改變

將條件進(jìn)行淺層的改變就是從某個角度出發(fā)從整體上將題目的條件進(jìn)行改變，比如改變考查三角函數(shù)的題目中的函數(shù)類型、改變考查圓錐曲線的題目中的曲線類型等。

五、歸納同類題找規(guī)律

奧蘇貝爾（Ausubel）提出的有意義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，新舊知識聯(lián)系的性質(zhì)既受學(xué)習(xí)者原有知識背景的影響，也受要學(xué)習(xí)的材料本身的性質(zhì)的制約。可見，學(xué)習(xí)材料在學(xué)習(xí)過程中有著重要的作用，學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式也會影響學(xué)生對知識的理解。教師科學(xué)有效地組織材料并將其呈現(xiàn)出來，有利于學(xué)生在掌握基本知識的同時理解知識的內(nèi)在邏輯關(guān)系，從而使學(xué)生明晰知識間的聯(lián)系，形成相對穩(wěn)定的知識網(wǎng)絡(luò)。要想科學(xué)有效地組織材料，教師要考慮材料的外部結(jié)構(gòu)、內(nèi)部結(jié)構(gòu)以及它們與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的適配性等。不少教材題源具有相同的結(jié)構(gòu)，但是它們分布在不同的板塊中，教師可以整合這些同類結(jié)構(gòu)題，在備考復(fù)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生找出題目的共性，進(jìn)而抓住解題規(guī)律，或是發(fā)現(xiàn)題目之間的區(qū)別，在比較中厘清數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系。

比如，在教學(xué)橢圓的過程中，教師整合教材中的例題、習(xí)題以及閱讀材料，將形成橢圓的九種途徑串在一起，讓學(xué)生建立全面的知識結(jié)構(gòu)，同時掌握求曲線軌跡的方法。

（一）用直接法求動點的軌跡方程

解答上文提到的例3時，設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），可用含x，y的式子表示距離，從而得出x，y的關(guān)系。

（二）用相關(guān)點法求動點軌跡方程

例10（人教A版數(shù)學(xué)教材必修2第124頁B組第2題）長為2a的線段的兩個端點在x軸和y軸上移動，求線段AB的中點M的軌跡方程。

例11（人教A版數(shù)學(xué)教材選擇性必修第一冊第108頁例2）在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？（當(dāng)點P經(jīng)過圓與x軸的交點時，規(guī)定點M與點P重合。）

例12（人教A版數(shù)學(xué)教材選擇性必修第一冊第115頁第9題）在圓x2+y2=4上任取一點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，點M在DP的延長線上，且[|DM||DP|=32]，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀。

上述例題是點P運動引起點M運動，可以建立點M與點P的坐標(biāo)關(guān)系，由點P的坐標(biāo)滿足圓的方程，即可得到點M的軌跡方程。

（三）用定義法求動點的軌跡方程

例13（人教A版數(shù)學(xué)教材選擇性必修第一冊第115頁第10題）一個動圓與圓[x2+y2+6x+5=0]外切，同時與圓[x2+y2-][6x-91=0]內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

例14（人教A版數(shù)學(xué)教材選修2-1第43頁）用一個與圓柱母線斜交的平面截圓柱，得到一條截口曲線，你能仿照上述方法，證明截口曲線也是橢圓嗎？

上述兩道例題均可以利用橢圓的定義求解。

此外，教師還可以歸類整理函數(shù)板塊中的比較大小問題，形成比較大小的微專題。

六、深挖題目背景發(fā)揮育人功能

教材題源是專家精心編制的成果，有些題考查知識體系中的必備知識，有些題是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的經(jīng)典問題，有些題考查跨學(xué)科知識。在教學(xué)中，教師要充分挖掘這些題源的背景，尋找問題背后的故事，讓學(xué)生在解題過程中感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從而發(fā)揮題目的育人功能。

例如人教A版數(shù)學(xué)教材必修2第30頁中的閱讀材料提及《九章算術(shù)》，其中記載了我國古代數(shù)學(xué)家祖暅在計算球的體積時使用的一個原理：冪勢既同，則積不容異。這就是祖暅原理，其含義為：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面的面積相等，則它們的體積相等。祖暅提出上面的原理，要比其他國家數(shù)學(xué)家早一千多年。以此為背景的題目比比皆是，教師可以引導(dǎo)學(xué)生了解這些文化背景，堅定文化自信。

又如人教A版數(shù)學(xué)教材選修2-3第32頁“‘楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)”談及我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》，其中提到：表里“一”以外的每一個數(shù)都是等于它肩上兩個數(shù)的和。這個方法的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右。由此可見，我國古代數(shù)學(xué)的成就是偉大的，非常值得我們自豪。教材上類似這樣的素材有很多，需要教師深入挖掘、收集和整理。

綜上所述，教師可以在研究高考真題與教材題源關(guān)聯(lián)性的基礎(chǔ)上，從改變題源的條件、問題，將題源的條件和結(jié)論互換、將題源中的結(jié)論進(jìn)行遷移應(yīng)用，歸納同類題，以及深挖題源背景等方面入手，充分發(fā)揮教材題源鞏固所學(xué)、拓展遷移的作用，幫助學(xué)生高效備考的同時，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力，使學(xué)生在掌握知識的過程中獲得數(shù)學(xué)思想方法，獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的“四能”。

參考文獻(xiàn)

［1］鄧軍民.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的題源教學(xué)法研究［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2020.

［2］陳真麗，周瑩，陳基河.基于高考評價體系的高考數(shù)學(xué)試題分析：以2021年新高考Ⅰ卷為例［J］.理科考試研究·數(shù)學(xué)版，2022（4）.

［3］林晴嵐，陳柳娟，張潔.探尋高考試題之源，找準(zhǔn)復(fù)習(xí)目標(biāo)回歸教材［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2017（12）.

［4］董成勇，劉志華.深研課本習(xí)題提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（13）.

［5］蔣永鴻.基于高考復(fù)習(xí)視角下的課本題研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2018（2）.

［6］周永興.從課本題到高考題［J］.數(shù)理化解題研究，2018（13）.

注：本文系南寧市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“以課本題為生長點的深度學(xué)習(xí)策略與案例研究”（2022C395）、南寧市教育科學(xué)“強(qiáng)基計劃拔尖人才培養(yǎng)”專項課題“強(qiáng)基計劃背景下培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)競賽拔尖創(chuàng)新人才的實踐研究”（2021QJ002）的研究成果。