立足基礎(chǔ)　聚焦能力　發(fā)展素養(yǎng)

蔣愛(ài)萍

【摘要】本文聚焦2022年高考數(shù)學(xué)數(shù)列試題，從內(nèi)容、題型、分值、難度等方面分析高考試題數(shù)列知識(shí)的考查情況，提出立足基本模型、圍繞基本問(wèn)題、突出通性通法教學(xué)，關(guān)注本質(zhì)探究，聚焦關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，重視知識(shí)的綜合應(yīng)用，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)等教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列 2022年高考 試題分析

命題特征

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）14-0055-05

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是每年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。本文通過(guò)分析2022年高考數(shù)列試題，得到復(fù)習(xí)數(shù)列知識(shí)的教學(xué)啟示。

一、高考真題考查內(nèi)容分析

（一）考查知識(shí)點(diǎn)

數(shù)列作為高中函數(shù)主線的重要內(nèi)容之一，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著緊密的聯(lián)系，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。筆者統(tǒng)計(jì)分析2022年高考部分?jǐn)?shù)學(xué)試卷中的數(shù)列試題的情況，整理如表1所示。

（二）題型分值

從分值分布來(lái)看，這些試卷數(shù)列試題分值均在10—25分之間；題型有選擇題、填空題、解答題。全國(guó)甲卷以解答題的形式考查數(shù)列內(nèi)容且文科卷、理科卷同題，均為12分；全國(guó)乙卷理科卷有2道選擇題，文科卷有1道選擇題和1道填空題，均為10分。除全國(guó)乙卷未在解答題中考查數(shù)列知識(shí)外，本文分析的其他高考試卷均在解答題中考查了數(shù)列知識(shí)。值得注意的是，在新高考Ⅱ卷、北京卷和浙江卷中，數(shù)列相關(guān)的試題所占分值較高，其中北京卷數(shù)列試題共25分，分值最高，新高考Ⅱ卷、浙江卷考查數(shù)列相關(guān)的試題達(dá)到19分。

（三）難度設(shè)置

高考試題在數(shù)列模塊的命題展現(xiàn)了良好的區(qū)分度。在選擇題和填空題的命題上，全國(guó)甲卷、全國(guó)乙卷和新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷以容易題和中檔題為主，立足基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力；北京卷和浙江卷在選擇題和填空題中出現(xiàn)難度較大的數(shù)列綜合題。而解答題以中檔題和難題為主，如全國(guó)甲卷理科卷第17題、文科卷第18題，新高考Ⅰ卷第17題，新高考Ⅱ卷第17題都屬于中檔題；新高考Ⅱ卷第22題第（3）問(wèn)、天津卷第18題第（3）問(wèn)、北京卷第21題、浙江卷第20題等，對(duì)學(xué)生分析和處理問(wèn)題的能力要求較高，難度較大。

二、高考命題特征分析

從2022年高考數(shù)列試題來(lái)看，命題繼續(xù)遵循“能力為重、素養(yǎng)導(dǎo)向”的原則，形成了知識(shí)與應(yīng)用結(jié)合、素養(yǎng)與能力并舉的命題特點(diǎn)。試題突出考查數(shù)列的主干內(nèi)容，即以等差數(shù)列、等比數(shù)列兩大基本模型為基礎(chǔ)，圍繞求通項(xiàng)、求前n項(xiàng)和兩類基本問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)，引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注數(shù)列的核心是運(yùn)算、數(shù)列的靈魂是遞推、數(shù)列的本質(zhì)是函數(shù)，進(jìn)而引導(dǎo)教學(xué)注重基礎(chǔ)、注重通性通法、回歸教材、回歸本質(zhì)——核心概念；在此基礎(chǔ)上，將數(shù)列與方程、不等式等適度綜合，注重知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的理性思維；此外，數(shù)列依托創(chuàng)新情境，著重考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向。

（一）立足基本模型，圍繞基本問(wèn)題，突出通性通法

等差數(shù)列、等比數(shù)列是研究數(shù)列的兩大基本模型，數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其通項(xiàng)公式確定了項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是確定并表示一個(gè)數(shù)列的重要工具，而數(shù)列求和是數(shù)列區(qū)別于一般函數(shù)的重要特征。因此，以等差數(shù)列、等比數(shù)列為基本模型，求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基本問(wèn)題自然就成了高考命題的重要內(nèi)容。而研究數(shù)列的概念和性質(zhì)等，都是依據(jù)數(shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)、項(xiàng)與和、和與和之間的確定關(guān)系，其本質(zhì)是“運(yùn)算中的不變性和規(guī)律性”。因此，用通性通法的運(yùn)算手段解決數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題是高考數(shù)列考查的基本方向。

例1（2022年全國(guó)乙卷理科第8題）已知等比數(shù)列[an]的前3項(xiàng)和為168，[a2-a5=42]，則[a6=]（ ）。

A.14? ?B.12? ?C.6? ?D.3

三、教學(xué)啟示

（一）立足基礎(chǔ)知識(shí)，貫徹通性通法

上述高考數(shù)列試題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷和證明、基本量的求解、判斷單調(diào)性、求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)和基本問(wèn)題。計(jì)算等差、等比數(shù)列兩類模型的基本量是數(shù)列運(yùn)算的基礎(chǔ)，而圍繞著求通項(xiàng)公式與求前n項(xiàng)和的問(wèn)題是高考考查的重要內(nèi)容，重視對(duì)通性通法的考查，不設(shè)置“繁”“偏”“怪”的問(wèn)題，淡化特殊技巧。因此，等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念及性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式是教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，用通性通法解決數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題應(yīng)貫穿數(shù)列教學(xué)的始終。而遞推作為數(shù)列的靈魂，圍繞數(shù)列遞推關(guān)系的命題主要考查學(xué)生在復(fù)雜情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)和規(guī)律的能力，其命題思路常常立足于已知遞推關(guān)系或從實(shí)際問(wèn)題中抽象出遞推關(guān)系，實(shí)現(xiàn)前一項(xiàng)到后一（兩）項(xiàng)的遞推，以遞推形式為載體求解數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有較高要求。因此，教師在教學(xué)中需強(qiáng)調(diào)遞推關(guān)系，重視累加法、累乘法、構(gòu)造法等求通項(xiàng)公式的通性通法，以及分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、放縮法轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列等求解數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法和手段。教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)通性通法的研究，具體體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解上，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的深刻認(rèn)識(shí)上，把深化基礎(chǔ)性的考查轉(zhuǎn)向?qū)λ季S靈活性的考查。

（二）加強(qiáng)思維關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化關(guān)鍵能力

數(shù)列是研究其他函數(shù)的基本工具，高考關(guān)于數(shù)列綜合問(wèn)題的考查主要通過(guò)考查數(shù)列的函數(shù)性實(shí)現(xiàn)——將數(shù)列與函數(shù)、不等式、數(shù)論、集合、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等知識(shí)相結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)高考全面考查知識(shí)的目標(biāo)。此外，在與數(shù)列有關(guān)的綜合問(wèn)題中，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力提出較高層次的要求，而數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力是高考數(shù)列模塊重點(diǎn)考查的關(guān)鍵能力，是學(xué)生通過(guò)數(shù)列學(xué)習(xí)應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，以此為切入點(diǎn)搭建數(shù)列與高中數(shù)學(xué)其他知識(shí)間的聯(lián)系。教師要幫助學(xué)生理解數(shù)列與其他數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等基本思想方法的滲透，在數(shù)列教學(xué)中通過(guò)適度拓展，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)與探究活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成有效的問(wèn)題分析邏輯、知識(shí)關(guān)聯(lián)邏輯、方法運(yùn)用邏輯，進(jìn)而提升學(xué)生面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題情境或探索問(wèn)題情境時(shí)自主分析和解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力，實(shí)現(xiàn)高考由“以綱定考”到“考教銜接”的轉(zhuǎn)變。

（三）重視情境教學(xué)，發(fā)展核心素養(yǎng)

高考評(píng)價(jià)體系有效引導(dǎo)教學(xué)。高考評(píng)價(jià)體系指導(dǎo)下的高考命題呈現(xiàn)“無(wú)價(jià)值，不入題；無(wú)思維，不命題；無(wú)情境，不成題”的典型特征。教學(xué)中教師可通過(guò)引入創(chuàng)新情境、命制創(chuàng)新題型來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和時(shí)代特征，彰顯高考“立德樹(shù)人、服務(wù)選才”的核心功能。教師需重視對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和思維過(guò)程的培養(yǎng)，避免機(jī)械刷題，即求解與數(shù)列有關(guān)的現(xiàn)實(shí)情境題時(shí)，需引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境抽象出數(shù)列的表示形式，如通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算進(jìn)行求解，最后結(jié)合實(shí)際意義作答，即經(jīng)歷審題、建模、解模、反饋等系列過(guò)程，幫助學(xué)生在實(shí)踐中不斷提高創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人功能。此外，教師需積極提升自身學(xué)科素養(yǎng)，關(guān)注學(xué)科理論產(chǎn)生的場(chǎng)景或與學(xué)科密切相關(guān)的現(xiàn)實(shí)情境，增強(qiáng)在真實(shí)情境、復(fù)雜情境中進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的能力，深化對(duì)開(kāi)放性試題和探究性試題的研究，重視滲透創(chuàng)新題型，引導(dǎo)學(xué)生形成適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需的必備品格和關(guān)鍵能力。

參考文獻(xiàn)

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注：本文系南寧市教育科學(xué)“強(qiáng)基計(jì)劃拔尖人才培養(yǎng)”專項(xiàng)課題“強(qiáng)基計(jì)劃背景下培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽拔尖創(chuàng)新人才的實(shí)踐研究”（2021QJ002）的研究成果。

（責(zé)編 劉小瑗）