2022年高考全國甲卷與全國乙卷數學立體幾何試題評析

胡凱林

【摘要】本文分析2022年高考全國甲卷與全國乙卷4套數學試卷中的立體幾何試題，認為試題整體上題型結構保持穩定，考點覆蓋全面且突出主干知識，難度適中兼具選拔價值與育人價值，文科卷與理科卷同題情況顯著，建議教師在備考教學中研究高考真題以把握教學方向，聚焦核心素養與能力培養，引導學生掌握知識的本質，創設多樣化的情境讓學生舉一反三。

【關鍵詞】立體幾何 2022年高考 試題評析

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）14-0059-05

立體幾何是研究空間內幾何圖形、位置關系及數量關系的一門數學分支，是高中數學學習的重要內容之一。立體幾何源于對現實生活中圖形的抽象，聯系具體情境是立體幾何的特點之一。立體幾何考查學生對基本圖形性質的理解、數學語言的表達和數與形的轉換，考查學生的閱讀理解能力、信息整理能力、語言表達能力、批判性思維能力等四項關鍵能力。學習立體幾何有利于提高學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學抽象等數學學科核心素養。

2022年高考數學學科共有10套試卷，其中全國卷6套，地方卷4套。本文分析2022年高考全國甲卷、全國乙卷數學學科文科卷和理科卷4套試卷中的立體幾何試題，并對立體幾何的教學提出一些建議。

一、試題整體評析

（一）題型結構保持穩定

筆者分析2022年高考全國甲卷與全國乙卷4套數學試卷中的立體幾何試題發現，試題結構相對穩定，變化不大（如表1所示）。

從題型和分值來看，4套試卷基本相同，均包含若干道選擇題或（和）填空題，以及1道簡答題，其中甲卷理科卷包含3道選擇題、1道填空題與1道解答題共計32分，約占試卷總分的21.33%，甲卷文科卷包含3道選擇題與1道解答題共計27分，約占試卷總分的18.00%，乙卷的理科卷與文科卷均包含2道選擇題與1道解答題，共計22分，約占試卷總分的14.67%。可見，立體幾何試題分值相對穩定且占比較大。

（二）突出主干知識，覆蓋全面

根據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）對主干知識重點考查的要求，2022年高考全國甲卷與全國乙卷4套數學試卷的立體幾何試題在真實情境或數學問題情境下，試題命制凸顯能力立意，突出主干知識，考查關鍵能力和核心素養。4套試卷15道試題的幾何形狀常規中有創新，考查全面，其中以正方體、長方體為背景的試題6道，以四棱柱為背景的試題2道，以三棱錐、四棱錐為背景的試題4道，以圓錐為背景的試題2道，以球體為背景的試題2道。

考點覆蓋全面，設計合理，主要涉及三個方面。一是空間位置關系，如點、線、面之間的平行或垂直關系的判定與證明；二是空間的量，包括二面角、線面角、線線角等角度的考查，也包括幾何體的表面積與體積、旋轉體展開圖形的考查；三是其他知識在立體幾何中的應用，主要有空間向量、解三角形、函數的最值、基本不等式等知識。

（三）難度適中，兼具選拔價值和育人價值

2022年高考全國甲卷與全國乙卷4套數學試卷的立體幾何試題以中等難度為主，既設置了考查基礎知識的試題，又設置了梯度鮮明可以調控試卷難度的試題，為高校選拔人才提供了區分度和信度。例如甲卷理科卷、文科卷第4題（文科卷、理科卷試題相同）通過三視圖考查學生對基本幾何圖形的理解，還原立體圖形并計算體積，難度較低；乙卷理科卷第9題和文科卷第12題（文科卷、理科卷試題相同但題號不同）對學生的思維水平和綜合運用知識的能力有較高的要求，突出對學生的關鍵能力的考查。其他試題難度適中，圍繞數學學科核心素養，堅持立德樹人，體現數學文化的價值。

（四）文理同題或為姊妹題

筆者經過對比發現，考查立體幾何知識的選擇題和填空題中，全國甲卷中除理科卷第15題沒有出現在文科卷中，其他試題文科卷與理科卷完全相同，全國乙卷的文科卷和理科卷的選擇題也是完全相同；解答題中，全國甲卷理科卷和文科卷則是同題異構的姊妹題，因為文理科學生所學知識不同所以試題考查的側重點不同。另外，文科學生和理科學生數學學習的難度不同，所以會有試題相同但是題號并不完全相同的情況。文理同題現象符合取消文理分科的實際，題號不同起到了調節整份試卷難度的作用。文理趨同是新高考的要求，傳遞了未來考查方向的信號。

二、命題導向與試題評析

立體幾何試題通過創設真實情境考查學生的學科素養和關鍵能力，既考查主干知識，又在知識交匯處命題，也對數學綜合知識進行考查。2022年高考全國甲卷和全國乙卷4套數學試卷試題扎實穩定，且穩定中有變化創新，很好地從數學知識的綜合運用高度對學生的知識、能力與素養進行綜合考查。下面筆者結合具體試題展開分析。

（一）設置真實情境，滲透五育并舉

立體幾何基本圖形來源于對生活中物體的抽象，學生通過學習立體幾何知識能發現并解決生活中的問題，體現了數學源于生活又服務于生活的特點。2022年高考全國甲卷數學文科卷第19題以綜合實踐活動中制作包裝盒為背景，設置真實情境，不僅考查了學生的空間想象能力和計算能力，還滲透了勞動教育，凸顯育人價值及教育導向作用。

例1（2022年全國甲卷文科第19題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖1所示：底面ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直。

（1）證明：EF//平面ABCD；

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）。

此題依托真實情境考查立體幾何知識。第一小問要求證明線面平行，屬于常規問題，解決的思路主要有兩種：一是在平面ABCD中尋找到一條直線與EF平行，二是證明EF所在的某一個平面與平面ABCD平行。學生需要根據直觀感受在這兩種思路里面找到一個簡便快捷的方法。解答此問對基本圖形的理解和空間想象能力有一定的要求。由已知給出的面面垂直可以發現，分別過E、F作底面的垂線后，可以容易得到線線平行。第二小問考查容積，即體積的大小，是文科試卷中常見的考點。本題的難點在于幾何圖形是正方體的切割體，在求解切割體的體積時通常使用切割法或補體法，考查學生在真實情境下使用基本解題模型去分析問題和解決問題的能力。

（二）追溯知識根源，探尋概念本質

《課程標準》指出：借助正方體和長方體等基本圖形，認識和理解空間點、線、面的位置關系；借助正方體和長方體等基本圖形，掌握空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系的分類及表示；通過直觀感知、操作確認，能夠歸納出直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直的判定定理及性質定理，并能夠證明。因此，教材編排也按照從特殊到一般、從整體到局部、從具體到抽象的原則，符合認識事物的發展規律，促使學生全面掌握知識發展變化，理解概念的本質。2022年高考全國甲卷和全國乙卷4套數學試卷立體幾何試題大多以突出概念、通性通法的長方體或正方體為載體，強調基本圖形，從知識根源出發深化理解空間點、線、面的位置關系及空間數量關系。

例2（2022年全國甲卷理科第7題、文科第9題）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則（ ）。

A.? AB=2AD

B.? AB與平面AB1C1D所成的角為30°

C.? ? AC=CB1

D.? B1D與平面BB1C1C所成的角為45°

例3（2022年全國乙卷，理科第7題、文科第9題）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，BC的中點，則（ ）。

A.平面B1EF⊥平面BDD1

B.平面B1EF⊥平面A1BD

C.平面B1EF//平面A1AC

D.平面B1EF//平面A1C1D

兩道試題在長方體和正方體等基本圖形中考查空間中平面與平面的位置關系、直線與平面所成角、兩點間距離等核心內容。教師要注重引導學生關注基本圖形的特征，在基本圖形中探尋基本概念和基本原理，強化知識本源，從而使學生更好地理解空間中的位置關系和數量關系。

此外，例3問題設計精心細致，四個選項圍繞平面B1EF展開設問，多角度考查了空間位置關系，達到全面考查目的的同時避免了一道題變成四道題，減輕了學生的心理負擔，節約考試用時，讓學生能有時間充分展示數學能力。

（三）注重幾何關系，強調關鍵能力

例4（2022年全國甲卷理科第9題、文科第10題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2π，側面積分別為[s甲]和[s乙]，體積分別為[v甲]和[v乙]。若[s甲s乙=2]，則[v甲v乙=]（ ）。

A.[5]? B.[22]? C.[10]? D.[5104]

例5（2022年全國乙卷理科第9題、文科第12題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）。

A.[13]? ?B.[12]? ?C.[33]? ?D.[22]

棱錐、圓錐、球體等基本幾何圖形也是高考中的常考圖形，這一類問題往往注重考查幾何相互關系和數學綜合知識，以中等題和難題為主。例4涉及兩個圓錐的幾何體關系和側面展開圖這一圖形關系，例5涉及四棱錐和球兩個幾何體。例5對空間想象能力和邏輯推理能力要求比例4更高，難度更大，因此成了文科卷選擇題壓軸題。解答多面體和球的問題要抓住球心這個核心要素，通過直觀想象，構建幾何圖形，假設變量建立數學模型，利用導數或不等式進行求解。求解過程難度較大，對學生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力等要求較高。

（四）改變命題模式，發展核心素養

例6（2022年全國甲卷理科第15題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為? ? 。

例7（2022年全國甲卷理科第18題）在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=[3]。

（1）證明：BD⊥PA；

（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值。

例8（2022年全國乙卷理科第18題）如圖4，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點。

（1）證明：平面BED⊥平面ACD；

（2）設AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值。

《中國高考報告（2023）》指出，高考試題的命題范圍不受限于學生擁有多少知識或知識掌握的程度如何，突出主干知識和在知識的交匯處命題，考查學科素養和關鍵能力是未來命題的趨勢。例6以立體幾何體為載體，考查概率的知識，以概率問題促進學生對正方體結構特征的理解。例8第1小問涉及全等三角形、等腰三角形，考查勾股定理、初高中銜接問題，也有最值等知識的綜合應用；第2小問的問題設置上有創新，改變了以往的命題邏輯聯系，打破模式化命題，從以往的求最值轉變為已知最值求線面角，整道題注重數學主干知識的互通理解，不局限知識多少及知識深淺，而是突出能力立意，強調數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算等核心素養。

例7和例8都是解答題，考點全面，注重知識的綜合運用。兩道題的第1小問均考查空間位置關系，第2小問均考查直線與平面所成角的正弦值。試題對邏輯思維能力和計算能力也有較高的要求，利用空間向量求解有利于簡化求解過程。

（五）借助數形結合，重視知識內在聯系

例9（2022年全國甲卷理科第4題、文科第4題）如圖5，網格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（ ）。

A.8? ? B.12? ? C.16? ? D.20

著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”數形結合是數學思維、思考角度、表征語言的相互轉化，有助于揭示問題的本質，發現解決問題的途徑。在平面上繪制立體圖形，是常見的立體幾何作圖問題。例9以三視圖為情境考查多面體的體積問題，從三視圖轉化到平面直觀圖形，實際是數學圖形語言的相互轉化。數學語言包括數學圖形語言、符號語言和文字語言。重視數學幾種語言的內在聯系和轉化，強化對數學語言的理解，有助于掌握空間幾何體的結構特征，培養空間想象能力，強化空間意識，深化對性質和定理的理解。

三、教學建議

（一）研究高考，把握方向

2023年是廣西向新高考過渡之年，教師需要認真學習《中國高考評價體系》及《課程標準》等綱領性讀本，研究對比新舊教材及新舊課程標準的異同，了解新課程、新教材改革及命題趨勢，在教學中實踐新課程理念。例如《課程標準》保留了舊課程標準中的棱柱、棱錐、球的表面積公式和體積公式，增加了棱臺的表面積和體積的計算公式，并要求學生能運用公式解決簡單的實際問題。以往高考針對空間距離問題主要考查點到面的距離，常局限于傳統綜合法或者采用等體積求解。《課程標準》新增了空間向量法求距離，使命題范圍得以擴大：不僅有點到面的距離，還有直線與平面的距離、兩平行平面的距離和較難求解的異面直線的距離。

除了學習以上讀本，教師還需要研究高考真題，尤其是近幾年的新高考真題，通過深入研究高考真題可以精準把握高考重難點。首先高考真題規范嚴謹，從整卷來看覆蓋全面，重點突出。其次，為平穩過渡，近年高考會逐步滲透新高考命題理念，如例1（2022年全國甲卷理科第19題）命題新穎，體現新高考命題理念。本題以正方體的切割體為圖形載體，素材新穎，考查考生在生活情境中使用基本解題模型分析問題和解決問題的能力。因此，在高考備考中，教師應深入研究高考，這樣才能有的放矢，把握備考方向，提高備考效率。

（二）回歸本質，深度學習

立體幾何涉及的元素較多，元素之間的關系復雜，既有位置關系又有數量關系。2022年高考全國甲卷和全國乙卷4套數學試卷的立體幾何試題多以長方體、正方體、棱錐、棱柱、圓錐、球等學生熟悉且能體現空間位置關系的簡單的常見的幾何體為載體。因此，立體幾何教學要回歸本質，關注簡單的基本圖形，加強學生對基本概念、定義、定理、性質、判定的理解。長方體是最基本、最簡單的立體圖形，蘊含立體幾何最簡要最本質的知識，《課程標準》多次提到借助長方體來研究立體幾何。在教學中，教師可以引導學生從長方體出發梳理立體幾何知識體系，形成解決問題的基本思維模式，回歸本質，基于能力立意，總結通性通法，靈活運用，舉一反三，從基本圖形逐步上升到變式圖形，再躍遷到綜合圖形。

《中國高考評價體系》對高考試題提出了綜合性和創新性的要求。教師應基于大單元視角，構建整體單元教學模式，按照“課程—章節—單元—課時”來設計教學內容，引導學生構建知識網絡。在平時教學中，教師要精心選擇例題，不僅關注知識、模塊和學科之間的聯系，例題設問方式和呈現形式還要力求新穎，能夠激發學生主動思考；同時，教師要改變過去碎片化的教學，設計一些具有開放性、探究性、綜合性的主題研究活動，促進學生深度學習，鼓勵學生主動思考，讓學生成為課堂的主角，積極創設師生、生生互動和討論的平臺，提高學生的計算能力、邏輯思維能力、分析解決問題能力等，提升學科素養，實現學生“學會”到“會學”轉變，服務“雙減”目標和人才強國戰略。

（三）關注情境，立德樹人

《中國高考評價體系》指出，問題情境是考查數學學科核心素養的重要載體，高考試題呈現“無情境，不成題”的特征，情境是“核心價值金線”和“能力素養銀線”的重要串聯線。教學中，教師應設置以實際生活中的真實情境和學習探索中的復雜情境為載體的新穎試題，引導學生在運用知識和技能解決問題的同時，總結分析解決問題的過程，如如何從情境中有效提取信息、數學模型的選擇與建立、求解過程用到的方法技巧等，從而形成解題技能，能夠類比遷移模型提升創新能力，解決新情境中的問題。

問題情境主要有數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術和數學史等類型，在表述上有附加型（文化要素僅以插圖、語言等形式添加在試題中，刪除后不會對試題本身造成影響）、單純背景型（以情境引出數學問題，往往是利用中華傳統文化創設試題情境，試題末會給出解釋或翻譯，對學生處理信息的能力要求不高，把情境刪除對試題無影響）、信息混合型（情境中包含重要解題信息，對學生處理信息的能力要求較高，學生需要仔細閱讀，提取有用信息，并將問題數學化，運用數學知識進行解題，此類問題大多數是真實情境，多與社會熱點、經濟發展有關，數據一般為公開可查的權威數據）等類型。立體幾何與社會生活息息相關，因此多以各類情境為載體，題面新穎，重點考查幾何體的表面積、體積以及空間角度與距離等問題。在備考中，教師要重點關注中華優秀傳統文化中與立體幾何有關的內容，特別是《周髀算經》《九章算術》等優秀經典著作中與土建、測量、天文等有關的篇目。重視立體幾何的德育功能，利用社會熱點、國家重大發展成就等情境和中華優秀傳統文化情境，激發學生的愛國熱情和民族自豪感，彰顯數學學科的育人功能，落實五育并舉，實現立德樹人根本任務。

（四）聚焦核心素養，突出能力

《中國高考評價體系》把高考考查內容凝練為“核心價值”“學科素養”“關鍵能力”“必備知識”等四個層面，在必備知識基礎上，以核心價值為導向，加大力度考查學生的學科素養和關鍵能力。教師在立體幾何教學中應著重培養學生的閱讀理解能力，在解題過程中注重培養學生信息處理能力和批判性思維能力，在書寫解答中鍛煉學生語言表達能力。學生在解決問題過程中要注重反思總結，減少機械重復刷題，歸納解題模型，淡化解題技巧，優化解答過程。

立體幾何是數學主干知識，學習立體幾何對邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學學科核心素養的發展起著至關重要的作用，是數學學習過程中不可缺少的一部分，也是高考重點考查的內容。2023年高考立體幾何試題或將延續2022年命題方向，繼續聚焦核心素養，關注情境，突出能力，為選拔人才和育人發揮應有的功能。

參考文獻

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］教育部考試中心.中國高考評價體系說明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］徐尚昆，楊汝岱，郝保偉.中國高考報告（2023）［M］.北京：新華出版社，2022.

注：本文系南寧市教育科學“強基計劃拔尖人才培養”專項課題“基于合作學習理念的文科拔尖創新人才培養路徑研究”（2021QJ009）、南寧市教育科學“強基計劃拔尖人才培養”專項課題“強基計劃背景下培養高中數學競賽拔尖創新人才的實踐研究”（2021QJ002）的研究成果。

（責編 劉小瑗）