考慮應變軟化特性的隧道圍巖位移與塑性區半徑解析解計算

胡濤濤, 劉可萌, 高咸超

(長安大學公路學院, 西安 710064)

在中國西部地區地質構造活動頻繁的地帶,廣泛分布著炭質板巖等軟巖,在隧道建設中,由于軟弱圍巖節理、裂隙發育較為破碎,強度低,圍巖的自穩性較差[1]。在富水地段,由于水的軟化作用,軟弱圍巖力學特性改變,其承載力和自穩能力會大幅降低,這極易導致在施工過程中發生塌方、變形、支護結構扭曲侵限等事故,因此研究富水軟弱圍巖隧道的受力特性顯得尤為重要。

目前,國內外研究人員針對軟巖隧道圍巖應力、開挖位移、塑性區半徑的計算進行了大量的研究。早在1974年,Ikeda等[2]通過聲波檢測技術就發現了巷道圍巖松動圈的存在。1986年,袁文伯等[3]根據巖體的應力應變曲線及圍巖軟化特性,建立了理想彈塑性軟化模型,推導出相較于經典卡斯特耐爾公式更具適用性和實際意義的計算公式。2006年,齊明山等[4]基于經典的芬納公式,在考慮圍巖和襯砌共同作用、假設塑性區體積變化的條件下,得到了塑性區半徑的理論解,并推導出了用于計算圍巖壓力的修正芬納公式。2012年,張結紅[5]采用彈塑性力學相關理論,以摩爾庫倫準則和軟弱圍巖的應變軟化模型為判別方法,對深埋炭質板巖隧道的塑性區求解并分析,提出了塑性區范圍的判定公式。2014年,陳志敏[6]針對現有本構關系對高地應力軟巖不適用和卡斯特耐爾公式的局限性,根據巖石室內試驗的應力應變曲線,采用直-曲-直模型推導了隧道圍巖壓力的計算公式。同年,Park[7]在符合線性Mohr-Coulomb (M-C)或非線性 Hoek-Brown (H-B)屈服準則的前提下,推導出在應變軟化巖體中開挖圓形硐室的塑性區范圍理論解。2016年,Mohammad[8]提出了考慮開挖沖擊損傷區影響的線性Mohr-Coulomb 準則或非線性 Hoek-Brown 破壞準則下的彈脆塑性巖石材料隧道圍巖應力和位移的解析解。2020年,蘇士龍等[9]采用統一強度理論推導了巷道圍巖松動圈理論計算公式,并依托實際工程對巷道圍巖松動圈厚度進行理論計算。2021年,徐強等[10]通過對深埋黃土隧道開挖后的圍巖應力狀態進行分析,明確了松動圈的定義,推導了松動圈的表達式,提出了基于松動圈理論的深埋黃土隧道圍巖壓力計算方法。2022年,劉杰[11]等結合公路隧道設計規范引入軟硬互層圍巖參數簡化方法,改進現有的均質圍巖壓力計算理論,得到了基于極限平衡法的水平軟硬互層隧道圍巖壓力解析解。

綜上所述,科研人員雖然在隧道軟弱圍巖的理論和力學特性方面進行大量研究,并取得較多成果,但研究人員多從屈服準則出發,求解隧道開挖所產生的塑性區,圍巖應力等參數,卻忽略了軟弱圍巖由于各種復雜環境(高地應力、富水等)會發生應變軟化的特性,現有巖石本構模型已經不再適合用來求解以上參數;另外,研究人員重視圍巖壓力計算公式的推導,卻忽視了圍巖塑性區和圍巖位移,對其解析解研究不夠深入,而研究圍巖塑性區和圍巖位移的變化對支護和襯砌的設計與圍巖穩定性分析同樣重要。因此,有必要對考慮應變軟化特性的炭質板巖隧道圍巖位移和塑性區半徑解析解進一步研究。現將采用“直-曲-直”軟化模型推導卡斯特耐爾拓展公式,獲得圍巖變形和塑性區半徑的解析解,并采用有限差分軟件FLAC3D對木寨嶺隧道進行施工過程力學數值模擬,得出該隧道圍巖變形和塑性區半徑的數值解,并將所得結果進行對比分析。

1 基于巖體軟化模型的卡斯特耐爾拓展公式推導

1.1 軟弱圍巖應變軟化模型介紹

為了便于后續塑性區半徑和圍巖位移計算公式以及計算過程的說明,首先對富水炭質板巖的應變軟化模型進行簡單的介紹。炭質板巖的力學參數具有隨著圍巖發生塑性變形而不斷改變的特征。當圍巖在應力作用下發生一定程度變形后,炭質板巖的力學參數會隨之降低。因此針對富水炭質板巖隧道,在開挖后,洞室周圍圍巖常常會自內向外分成四個區域,分別是塑性流動區,塑性軟化區,塑性硬化區和彈性區[12]。出于計算簡便的角度可將塑性硬化區圍巖按照彈性考慮計算,即將隧道圍巖看作三個力學分區:彈性與塑性硬化區、塑性軟化區、塑性流動區。

1.2 卡斯特耐爾拓展公式推導

經典卡斯特耐爾公式是一種基于原巖應力計算圍巖壓力的經典公式,以圍巖力學特性和隧道設計尺寸為基礎計算圍巖的塑性形變壓力,也可用于計算圍巖的塑性區位移、塑性區半徑。 其計算圍巖壓力的表達式[13]為

(1)

其計算塑性位移的表達式為

(2)

式(2)中:μ為圍巖泊松比;E為圍巖彈性模量。將式(2)命名為卡斯特耐爾拓展公式(c)。

經典卡斯耐爾公式是假定圍巖的力學性質(C、φ)在發生塑性變形時保持不變而獲得的結果。但在隧道施工實際開挖支護過程中,圍巖力學特性會發生一定程度的變化,塑性區圍巖的C、φ將變為其變形后的殘余值C*、φ*。

根據參考文獻[14],可獲得不同圍壓、不同泡水時間的炭質板巖在單軸試驗和三軸試驗下的實測應力應變曲線,參照巖體理想的彈塑性軟化模型,可近似將隧道圍巖的變形特征簡化為三條直線線段模型。用三條直線段模型來模擬圍巖軟化過程,可得理想彈塑性軟化模型下的塑性區半徑[3]

Rp=

(3)

前文將圍巖軟化模型簡化為三線段模型,其中將圍巖塑性軟化區的應力應變曲線視為直線,而現場測量和室內實驗結果都表明,二者關系更接近于二次曲線[15],并隨著巖體的結構和構造而發生變化,因此,采用“直-曲-直”模型,如圖1所示。

σp、σ*、εe、εf分別代表開始進入塑性區應力、殘余應力、彈塑性交界處應變和流動區應變。圖1 巖體“直-曲-直”軟化模型Fig.1 “Straight-curved-straight” softening model of rock mass

計算模型基本假設:巖體為連續介質、隧道為圓形坑道;不考慮圍巖自重帶來的影響;將圍巖視為彈塑性材料,符合Mohr-Coulomb準則;根據無限長隧道圍巖受力特性,考慮為平面應變問題;側壓力系數設為1.0;考慮圍巖軟化變形過程符合上述理想軟化模型;摩擦角、黏聚力、彈性模量、泊松比采用不同含水率下φ*、C*、E*、μ*的擬合公式參數[16]。

與經典卡斯特耐爾公式相似,圍巖在彈性階段服從虎克定律,在屈服階段均符合摩爾庫倫準則。即

(4)

式(4)中:τ、σn分別為剪切面上的剪應力和法向力;σ1、σ3分別為大、小主應力,分別對應切向應力σθ和徑向應力σr。圍巖處于塑性軟化階段時,φ、C隨著塑性區應變εP增大呈線性衰減[4],則對于軟化區任意一點有

(5)

式(5)中:Mc為內黏聚力軟化模量;Mφ為內摩擦角軟化模量;σ、ε為任一點的應力和應變;r、θ為任一點的徑向和切向;εθ,p、εθ,e為塑性軟化區和彈性區切向應變;C0、φ0為圍巖初始黏聚力和內摩擦角。

在塑性軟化區域,滿足Mohr-Coulomb準則,假定側壓力系數等于1.0,則

(6)

式(6)中:σθ,p為塑性軟化區域切向應力;σr,p為塑性軟化區域徑向應力圍巖處于塑性流動階段時,根據關聯流動準則[17],可得

(7)

式(7)中:

分別為塑性流動區域徑向和切向殘余應變;f為應變流動區最大塑性應變增量與最小塑性應變增量之比。

在塑性流動區巖體的φ、C分別等于其殘余值φ*、C*,且滿足Mohr-Coulomb準則。

對不同區域的應力和變形狀態進行推導。

(1)當圍巖處于彈性區時,根據彈性理論[18]可直接求得彈塑性交界處應力、應變、位移。即

(8)

式(8)中:Rs為圍巖彈性區半徑;ue為彈性區位移;σr,e、σθ,e、εr,e、εθ,e為彈塑性交界處徑向、切向應力和徑向、切向位移。

(2)當圍巖處于塑性軟化區時,對上述σθ,p強度表達式代入平衡方程有

(9)

將式(9)積分后,代入邊界條件r=Rs,即在彈塑性邊界處,σr,p=σr,e,ξ1=ξ,C1=C,可確定積分常數,繼而可得

(10)

式(10)中:εr,p、εθ,p、σr,p、σθ,p分別代表塑性軟化區域徑向、切向應變、徑向和切向應力。

根據全應變理論,全應變增量可以表示為彈性應變和塑性應變增量之和,再根據前文所求得的彈塑性交界處的應變及位移關系,假定應變軟化區最大塑性應變增量與最小塑性應變增量之比h=ξ*可得

(11)

解此一階微分方程,結合彈塑性交接處邊界條件r=Rs時,u=ue得出u的表達式,并代入幾何方程

可得

(12)

(3)當圍巖處于塑性流動區時:

(13)

式(13)中:

為塑性流動區域徑向和切向殘余應力;σr,f為塑性流動區域徑向應力;Rf為塑性流動圈半徑。

假設在塑性流動區某一點達到最佳支護時間,代入

即得塑性流動圈半徑為

[11]胡疊：《京劇的創新傳統與當代立場》，《中國戲曲學院.京劇與現代中國社會——第三屆京劇學國際學術研討會論文集》，中國戲曲學院，2009年，第7頁.

(14)

將式(14)塑性區半徑計算公式命名為卡斯耐爾公式拓展公式(b)。

根據幾何方程,假定h=f,則當r=a時,塑性流動區位移為

(15)

將式(15)命名為卡斯特耐爾拓展公式(d)。

2 建立計算模型

2.1 模型尺寸和邊界條件的確定

有限差分法軟件FLAC3D可較為準確地模擬模型材料的屈服、塑性流動、軟化甚至大變形,尤其是對于材料的彈塑性力學分析、圍巖大變形分析以及模擬施工過程力學變化等領域有著顯著的優勢[19],故采用此軟件建立模型并進行施工階段模擬。

隧道斷面形狀依據文獻[20]選取,對于深埋高地應力隧道,宜將數值模型水平和垂直方向的長度取為隧洞跨徑的3～8倍[21]。根據圣維南原理和參考資料,網格模型范圍為:沿開挖方向取100 m,垂直方向取80 m,水平方向取100 m。為了減少單元的數量,隧道開挖界限內部單元邊長設為0.5 m,隧道附近巖土體單元邊長設為1 m,距離隧道較遠的巖土體單元邊長設為3 m,同時將上覆巖層的重力作用等效為均布荷載加載在模型的上表面(相當于590 m埋深的均布荷載11.8 MPa)。模型邊界條件選用限制位移法固定邊界,對于垂直方向只在下邊界設置位移約束而上邊界不設約束,其余方向邊界(水平和前后方向邊界)設置位移約束。計算模型及網格劃分如圖2所示。

圖2 計算模型及網格劃分Fig.2 Calculation model and mesh generation

2.2 圍巖相關力學參數

當進行施工過程力學分析時,假定炭質板巖服從摩爾庫倫準則,需要考慮不同含水率下的巖樣參數,故采用參考文獻[15]中所進行的炭質板巖浸水試驗中的參數,即分別取用泡水0、5、15、25 d下的參數。巖體的各項力學參數如表1所示。

表1 不同含水率下的炭質板巖力學參數表

2.3 支護結構及施工過程模擬

表2 支護結構力學參數表

圖3 支護結構數值模型Fig.3 Numerical model of supporting structure

本文數值模型中,隧道開挖80 m,平均分為50步,每步1.6 m,通過繪制隧道斷面圖,網格劃分,非流形檢驗,網格擴展,邊界條件約束和施加荷載后得到三臺階七步開挖法的數值模型,如圖4、圖5所示。

圖4 三臺階七步開挖施工工序圖Fig.4 three-step seven-step excavation construction process

圖5 三臺階七步開挖數值模型Fig.5 Numerical model of three-step seven-step excavation

3 對比分析

3.1 經典卡斯特耐爾公式和卡斯特耐爾拓展公式對比分析

對木寨嶺隧道炭質板巖段分別采用經典卡斯特耐爾公式和卡斯特耐爾拓展公式進行計算,以驗證公式的實用性。

經典卡斯特耐爾計算塑性區半徑,公式為

(16)

計算基本假設:①計算時將圍巖全部設為炭質板巖;②將木寨嶺隧道模型簡化為圓形隧道;側壓力系數設為1.0;③為保證曲線的連續性,計算參數采用擬合值;④計算采用三臺階七步開挖法支護后的應力場;⑤支護壓力取拱頂和邊墻的均值。拓展公式(a)、(b)分別為三段直線式和直曲直軟化模型所得卡斯特耐爾計算塑性區半徑公式,拓展公式(c)、(d)分別為三段直線式和直曲直軟化模型所得卡斯特耐爾計算塑性區位移公式。

圖6(a)給出了采用不同卡斯特耐爾公式計算所得塑性區半徑結果,圖6(a)表明,對于塑性區半徑的計算值,經典公式較拓展公式(b)計算結果偏大。例如,高含水率下,經典公式計算值23.95 m與拓展公式(b)計算值19.47 m差距較大。相應地,圖6(b)為關于塑性區位移結果,對于位移的計算值,當含水率較低時,經典公式計算值13 cm與拓展公式(d)的計算結果9.58 cm相近,隨著含水率的升高,其計算結果與拓展公式(d)計算值52.5 cm差距較大。

圖6 理論計算與數值模擬對比Fig.6 Comparison of theoretical calculation and numerical simulation

3.2 理論計算與數值模擬結果的對比分析

塑性區變化如圖7所示,為便于對比,將數值模擬中Y=16 m截面的塑性區面積換算為塑性區半徑,與計算出的塑性區半徑進行比較分析。可知在隨著含水率的變化趨勢方面,卡斯特耐爾經典公式與拓展公式均能夠較好地描述。而對于計算結果方面,由于理論計算將模型簡化為圓形隧道,而數值模擬隧道不是圓形隧道,故塑性區形狀不是標準的圓形,不過按照等面積法等效后的塑性區半徑可以很好地量化對比以說明問題[23]。

圖7 不同泡水時間圍巖塑性區云圖Fig.7 Cloud map of plastic zone under different soaking time of surrounding rock

由圖6(a)可知,當含水率較低時,經典公式計算值11.96 m與數值模擬結果14 m相近,但隨著含水率的升高,水對圍巖的軟化作用加強,而經典公式未考慮圍巖軟化作用的影響,故其計算結果與模擬值22 m和拓展公式(b)計算值19.47 m差距變大。相應地,圖6(b)給出了塑性區位移計算結果,顯然考慮巖體“直-曲-直”軟化的拓展公式(d)能夠更好地符合數值模擬的結果。當含水率較低時,經典公式計算值13 cm與數值模擬結果16 cm相近,但在高含水率下,采用拓展公式(d)計算所得位移 52.5 cm,與相同含水率下數值模擬所得的結果 56 cm 更為接近,原因應為破碎區圍巖殘余強度的影響。

4 結論

在考慮“直-曲-直”軟化模型圍巖軟化的情況下,推導出一種卡斯特耐爾拓展公式,通過實例分析計算出木寨嶺隧道Ⅴ級圍巖位移和塑性區半徑,并將該計算結果與數值模擬和不考慮圍巖軟化作用的經典卡斯特耐爾公式所得結果進行了橫向對比。結果表明:隨著含水率升高,圍巖強度不斷降低,塑性區半徑和圍巖位移也不斷增大;在較高含水率(1.24%)下,通過數值模擬、經典和拓展卡斯特耐爾公式(b)、 (d)得出木寨嶺隧道Ⅴ級圍巖段的圍巖位移和塑性區半徑分別為56 cm和22 m,13 cm 和23.95 m,52.5 cm和19.47 m;采用基于直曲直軟化模型的卡斯特耐爾拓展公式(b)、 (d)計算結果更為接近數值模擬結果,由此驗證了所提出拓展公式的有效性和實用性。在實際工程中,只需確定炭質板巖相關性質和隧道支護參數便可計算隧道開挖后的塑性區半徑和圍巖位移,研究結果可為類似的隧道支護和襯砌設計提供一定參考。

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