在直觀、抽象、表達中發展學生的數學核心素養

李馨

摘? 要：在“直線與圓的位置關系”起始課的教學中，設計了兩個動態情境，基于直觀想象引導學生抽象出其中的幾何元素；通過表達直線與圓的位置關系的幾何特征，進一步抽象直線與圓的位置關系的代數特征. 聚焦直線與圓相切的特殊位置關系，用過切點的半徑與切線的位置關系表達相切的代數特征，抽象出切線的性質和判定，并通過演繹推理加以證明；通過納入知識體系，建立知識間的聯系，發展學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力及圖形關系的抽象能力．

關鍵詞：直觀想象；數學抽象；代數表達；教學設計

浙教版《義務教育教科書·數學》九年級下冊“2.1 直線與圓的位置關系”一課的內容處于初中平面幾何主要教學內容的末段，介于點與圓的位置關系和圓與圓的位置關系之間. 三者的研究方法一脈相承，都是從幾何特征（交點個數）和代數特征（圓心的距離和半徑的關系）兩個角度考慮. 因為直線與圓的位置關系研究的是直線形與曲線之間的位置關系，所以對學生來說比較陌生. 聚焦直線與圓只有一個公共點（幾何特征）這一“恰到好處”的位置，理解為什么可以用圓心到直線的距離和圓的半徑相等（代數特征）去刻畫，是學好直線與圓的位置關系的關鍵．類比點與圓的位置關系的研究方法，把直線與圓的位置關系問題轉化為點與圓的位置關系問題進行研究，可以讓學生學會用相似的方法研究不同的問題，學會學習．

一、創設動畫情境，基于直觀想象，抽象直線與圓的位置關系

教學片斷1：動態情境驅動直觀想象.

教師借助信息技術呈現如下情境：① 觀察日出的過程中，太陽從地平線升起至完全脫離地平線；② 夜里開著大燈的汽車從墻前的電線桿旁經過，電線桿在墻上的影子從圓形窗口劃過．

問題1：在這兩個情境中，你觀察到了哪幾類幾何圖形？

師生活動：教師引導學生從兩個情境中抽象出直線和圓這兩類幾何圖形．

追問1：這兩個情境中，直線與圓之間的位置關系發生變化了嗎？

追問2：在每個情境中，直線與圓各有幾種不同的位置關系？

【設計意圖】情境①是學生熟悉的日出的過程，可以把地平線抽象成直線，把太陽抽象成圓，展現了直線與圓的位置從相交到相切再到相離的過程. 情境②中，可以把窗子抽象成圓，把電線桿的影子抽象成直線，展現了直線與圓的位置從相離到相切，然后到相交，再到相切，最后相離的全過程. 情境①呈現了直線不動而圓在動的幾何直觀，情境②則恰好相反，圓不動而直線在動. 這兩個具體情境的創設有利于學生從中歸納出共性，從而抽象出研究對象；兩個情境都是動態的，有利于學生直觀感知圓與直線的三種不同的位置關系，獲得研究對象之間的關系. 同時，這兩個情境的設計也為學生能夠順利地進行后面的數學活動作了鋪墊.

動手操作：試畫出表示直線和圓的三種不同位置關系的圖形．

師生活動：學生自主畫圖，教師巡視指導.

【設計意圖】雖然學生此時并沒有學習過直線與圓的位置關系，但是對直線與圓的三種不同位置關系的認知產生于無意識的活動. 學生通過直觀感知，即使不能用數學語言準確表述三種不同的位置關系，也能夠辨別三種位置關系的差異，并通過畫圖描述這三種不同的位置關系. 通過這一活動，引導學生初步感知直線與圓的三種位置關系，并通過畫圖建立幾何直觀.

教學片斷2：通過分類和語言表達抽象直線與圓的位置關系.

問題2：如圖1所示的三個圖形分別具有怎樣的特點？嘗試用語言表達出來．

師生活動：教師引導學生通過分享和交流，把三種位置關系的分類推廣到一般，并用語言給出三種位置關系的定義，從直線與圓的公共點的個數出發描述幾何特征.

當直線與圓有兩個公共點時，我們說這條直線與圓相交，這條直線叫做圓的割線；當直線與圓有唯一的公共點時，我們說這條直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，公共點叫做切點；當直線與圓沒有公共點時，我們說這條直線與圓相離．

【設計意圖】借助文字語言抽象出直線與圓的三種位置關系，并給出定義. 在這一過程中發展學生抽象圖形與圖形之間關系的能力．

二、基于質疑和類比引導學生進一步量化研究

直線與圓的三種位置關系的幾何特征是直觀的．然而，僅靠肉眼觀察有無公共點并不可靠，只有給出量化的判定方法，才能對直線與圓的位置關系進行精確且可靠的判斷. 因此，借助直線與圓相切的特殊位置關系設計活動，制造兩次認知沖突，啟發學生繼續思考．

教學片斷3：啟發學生質疑，引出定量的判定方法.

問題3：在這三種不同的位置關系中，你認為最特殊的是哪種位置關系？

追問：在直線與圓相切的這種特殊的位置關系下，直線與圓有幾個公共點？

師生活動：教師選擇一個由學生畫的直線與圓相切的圖形，在實物投影下將其放大到適當的大小（此時屏幕上呈現的直線與圓沒有公共點或有兩個公共點），學生指出公共點的位置．

【設計意圖】引導學生質疑，使學生發現用肉眼看到的“一個公共點”并不可靠，需要進一步找到定量的判定方法．

教學片斷4：探究定量判定直線與圓的位置關系的方法.

問題4：怎樣獲得定量判定直線與圓的位置關系的方法？我們在前面已經學習過點與圓的位置關系，是怎樣判定的？對直線與圓的位置關系的判定有什么啟發？

追問：如果把直線看作點的集合，你能把直線與圓的位置關系轉化為點與圓的位置關系來研究嗎？

師生活動：教師引導學生類比點與圓的位置關系的研究方法，用點與圓心的距離與半徑作比較.

設⊙O的半徑為r，點到圓心O的距離為d，則：d > r ? 點在⊙O外；d = r ? 點在⊙O上；d < r ? 點在⊙O內.

進一步地，如果把直線看作點集，則可以把直線與圓的三種位置關系對應轉化為點與圓的位置關系：直線與圓沒有公共點?直線上的點都在圓外?直線上到圓心距離最近的點在圓外；直線與圓有且只有一個公共點?直線上除此點外都在圓外?直線上到圓心距離最近的點在圓上；直線與圓有兩個公共點?直線上有無數個點在圓內?直線上到圓心距離最近的點在圓內.

【設計意圖】經歷直觀觀察和想象活動，引導學生把直線與圓的位置關系轉化為直線上到圓心距離最近的點與圓的位置關系，使學生抓住問題的本質，發展抽象能力．

問題5：類比點與圓的位置關系，你發現定量判定直線與圓的位置關系的方法了嗎？

師生活動：教師引導學生抽象定量判定直線與圓位置關系的方法，并用符號語言表達.

設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則：d > r ? 直線l與⊙O相離；d = r ? 直線l與⊙O相切；d < r ? 直線l與⊙O相交．

【設計意圖】引導學生抽象直線與圓的位置關系的定量判定方法，并用符號語言表達，發展學生的抽象能力.

三、應用新知推理判斷，發展學生的幾何直觀和推理能力

教學片斷5：應用新知推理判斷.

問題6：如圖2，已知P為∠ABC的角平分線上一點，BC與⊙P相切. 求證：AB與⊙P相切．

追問1：BC與⊙P相切的位置關系可以轉化為哪兩個量之間的數量關系？

追問2：要證明AB與⊙P相切，需要哪兩個量之間具有怎樣的數量關系？

追問3：由已知條件“P為∠ABC的角平分線上一點”，可以建立哪兩個量之間的聯系？它們之間具有怎樣的數量關系？

師生活動：學生獨立思考，在明確問題中的已知條件和需要實現的目標的基礎上，分析并解決問題. 教師板書示范證明過程.

【設計意圖】通過解決與教學目標和內容匹配的問題，讓學生應用新知進行推理，鞏固本節課所學知識，發展學生的空間觀念、幾何直觀和推理能力．

四、基于課例的思考

1. 重視知識之間的聯系

要把直線與圓的位置關系納入學生的知識系統，需要建立更廣泛的聯系. 兩點之間的位置關系是幾何圖形中最基本的位置關系，可以由方向和距離來刻畫兩個點之間的位置關系. 直線與圓的位置關系歸根結底是通過點與點的距離來刻畫的：r與d即為兩點之間的距離與點到線的距離，其中，圓心到圓上一點的距離為r（r的確定與方向無關），圓心到直線的距離為d（d的確定與方向有關）；進一步把圓心到直線的距離d看成圓心到垂足的距離. 由此獲得研究對象中最基本的要素：圓心、圓上一點和垂足. 事實上，這三個點是進一步研究切線的性質的關鍵．

2. 教學設計契合知識發生發展邏輯和學生認知規律

本節課中，借助信息技術呈現了兩個動態的情境，由此引入研究對象，提出研究問題. 首先，學生通過把現實情境抽象為直線與圓之間位置關系變化的數學情境，從而對變化過程中圓與直線的三種特殊位置關系進行分析、比較、綜合，歸納共同特征；其次，根據直線與圓的公共點個數的幾何特征進行分類并下定義，通過教師的引導質疑，進一步提出對直線與圓的位置關系進行量化研究的問題；最后，通過類比點與圓的位置關系的研究，規劃直線與圓的位置的關系的研究路徑，經歷把直線與圓的位置關系問題轉化為點與圓的位置關系的過程，從而抽象出直線與圓位置關系的代數特征. 研究過程從知覺運動經驗開始，先基于視覺直觀進行直線與圓位置關系的分類，并借助幾何中的公共點進行邏輯表達，在此基礎上通過類比點與圓的位置關系的研究方法進行定量研究，獲得直線與圓的位置關系的代數表達. 這些數學活動體現了從直觀到邏輯、從定性研究到定量研究的循序漸進的探索過程，符合數學知識發生發展的邏輯，也符合人們研究幾何問題的一般認知規律，實現了數學邏輯與學生學習認知規律的有效統一．

3. 融合內容，發展學生的數學核心素養

在引入直線與圓的位置關系、提出研究問題、抽象數學概念的過程中，通過創設情境引導學生經歷直觀觀察、想象與抽象，得到直線和圓這兩類幾何圖形，通過聚焦其位置關系進行分類，抽象出直線與圓的位置關系，并用文字語言給出定義，用符號語言表示. 經歷這些圖形關系的抽象活動，發展學生的空間觀念、幾何直觀和抽象能力．

在研究直線與圓的位置關系代數表達的過程中，通過教師的引導質疑，啟發學生進一步提出量化研究問題，并實時引導學生通過類比點與圓的位置關系的量化研究經驗，規劃研究思路，把直線與圓的位置關系問題轉化為點與圓的位置關系問題. 在這一過程中，引導學生進行數學思想方法的抽象和遷移應用，發展學生的抽象能力．

在類比點與圓的位置關系，用點集的觀點看直線的活動中，其實是引導學生用新的視角去觀察問題，這樣可以發展學生的創新意識．

在類比點與圓的位置關系，抽象出直線與圓的位置關系，并用文字語言和符號語言進行表達的過程中，發展學生的數學抽象能力和數學表達能力．

總之，在“直線與圓的位置關系”一課中，筆者通過創設適當的情境、提出適當的問題，融合內容引導學生經歷直觀觀察與想象、數學抽象、邏輯推理等數學活動. 在這些活動中發展學生的空間觀念、幾何直觀、抽象能力和推理能力，從而發展學生的數學核心素養. 這種教學設計的策略可以遷移到其他幾何內容的教學中．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］李海東. 義務教育教科書（人教版）教師培訓手冊·數學（七 ～ 九年級）［M］. 北京：人民教育出版社，2014．