雙鏈超導量子電路中的拓撲非平庸節點*

關欣 陳剛

1) (太原學院材料與化學工程系,太原 030032)

2) (山西大學激光光譜研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

3) (山西大學極端光學協同創新中心,太原 030006)

4) (鄭州大學物理學院,鄭州 450001)

拓撲無能隙系統作為不同量子相的連接,目前已經成為備受關注的前沿科學.超導量子電路作為一個重要的全固態量子器件是宏觀調控量子效應的優秀平臺.本文在超導量子電路中構建了雙鏈的Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型并發現了拓撲非平庸的節點.首先設計了電容耦合的雙鏈transmon 比特,之后用兩個交流微波驅動每一個transmon 比特,從而實現比特間耦合強度的獨立調控,最后通過選擇比特間合適的耦合參數實現交錯的雙鏈SSH 模型.接下來探索了交錯雙鏈SSH 模型的拓撲性質,首先計算了k 空間中雙鏈SSH 模型的本征能量,并發現了兩種類型的相邊界.之后在參數空間中畫出了拓撲相圖,發現了兩類拓撲絕緣相,其拓撲數分別為1 和—1,對應有兩類邊界態.拓撲相圖也進一步給出了兩類相邊界的分布以及它們兩側拓撲數的值.最后分析了兩類相邊界的拓撲性質,發現其中一類拓撲相邊界對應的能帶有兩個拓撲非平庸的節點.本文的工作為探索鏈條型物理系統、拓撲物態以及節點型拓撲半金屬提供了新的途徑.

1 引言

近年來,微納米技術的快速發展使得全固態量子器件超導量子電路成為了量子信息[19-22]、量子計算[23-26]以及量子模擬[27-34]的優秀平臺.相比于其他量子平臺,超導量子電路系統在擴展性、集成性、調控性等方面都具有更大的優勢[35-38].基于這些優勢,大量的量子模擬工作已經在超導量子電路系統中實現,如多體局域化[28]、動力學量子相變[27]、磁性物理[29,30]、量子行走[39]以及拓撲材料[31,32]等.最近,實驗[40]上已經實現了由24 個最近鄰耦合的transmon 比特構造的雙鏈結構,并模擬出了雙鏈玻色-哈伯德模型,進一步探索了系統中單激發和雙激發的動力學特性.同時,實驗[41,42]中實現了transmon 比特之間耦合強度的獨立可調,并且模擬出了單鏈的Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型,進一步觀測到了拓撲非平庸的磁子絕緣體[31].因此,基于目前的實驗現狀,可以通過改變雙鏈transmon 比特間的耦合強度在超導量子電路中實現雙鏈SSH 模型.

基于以上的實驗及理論工作,本文提出了利用transmon 比特實現耦合強度獨立可調的雙鏈SSH 模型的可行性實驗方案,并在這一模型中發現了拓撲非平庸的節點.本文首先設計了電容耦合的雙鏈transmon 比特,然后用兩個交流微波驅動每一個transmon 比特,從而實現比特間耦合強度的獨立調控,最后通過改變比特間耦合參數實現交錯耦合的雙鏈SSH 模型.接下來探索雙鏈SSH 模型的拓撲性質,首先計算k空間中雙鏈SSH 模型的本征能量,并發現了兩種類型的相邊界.之后在參數空間中畫出拓撲相圖,發現了兩類拓撲絕緣相,拓撲數分別為1 和—1,對應有兩類邊界態.拓撲相圖也進一步給出了兩類相邊界的分布以及它們兩側拓撲數的值.最后分析了兩類相邊界的拓撲性質,將布洛赫態映射為k空間的矢量場,發現第一類相邊界對應能帶的節點處,矢量場存在兩個扭結.兩個節點有相反的拓撲荷分別為1 和—1,并且受到平移和反轉對稱性的保護.另外,本文發現第二類相邊界的能帶節點是拓撲平庸的.本文的工作為探索鏈條型物理系統、拓撲物態以及節點型拓撲半金屬提供了新的途徑.

2 理論模型

目前,雙鏈耦合的超導量子比特鏈已經在實驗上實現[40].基于這一實驗,本文用transmon 比特設計了雙鏈的Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型.如圖1(a)所示,兩條比特鏈中所有最近鄰比特之間都通過電容進行耦合,相應的拉氏量表示為

圖1 雙鏈SSH 模型 (a) 兩條transmon 比特鏈分別標記為A 和B.每個transmon 比特都與其最近鄰比特兩兩耦合.這里所有的耦合器均為電容. Q νj 表示的是第ν 條鏈上的第j 個比特. C νj 和分別是第ν 條鏈上,第j 個比特的有效電容和約瑟夫森能.Cνij 是耦合第ν 條鏈上,第i 和第j 個比特的電容. C ABj 表示A,B 兩條鏈上第j 個比特之間耦合的電容. φ νj 是第ν 條鏈上,第j 個比特的約瑟夫森結的相位.本文中transmon 比特的約瑟夫森結由超導量子干涉儀(SQUID)形成,是SQUID 中每個約瑟夫森結的能量.每個比特都受到兩個外加磁通的調制.(b) 雙鏈SSH 模型示意圖,圖中紅色和藍色的實心球表示SSH 模型中一個原胞的兩種比特Fig.1.Two-leg SSH model: (a) Two-leg (labeled respectively by A and B) superconducting circuits with transmon qubits.The qubits are coupled with their nearest-neighbor sites.All couplers are capacitors. C νj andare the effective capacitance and the Josephson energy of the qubit at the jth site on the ν th leg. C νij and C ABj are the capacitors to couple the qubits at the jth site on the ν th leg with its nearest-neighbor sites along each leg and between the legs,respectively. φ νj is the phase of the Josephson junction of the qubit at the jth site on the ν th leg.The Josephson junction of the transmon qubit is a superconducting quantum interference device(SQUID).is the Josephson energy of SQUID.Each qubit is modulate by two external magnetic fluxesand

式中,每條鏈上比特的位置用j標記,不同的鏈用ν=A/B來標記.第ν條鏈上,第j個比特的電容用Cνj來表示.第ν條鏈上,第j個比特的約瑟夫森能用表示.第ν條鏈上,第i和第j個比特之間耦合的電容用Cνij表示.A,B兩條鏈上第j個比特之間耦合的電容用CABj表示.第ν條鏈上,第j個比特中約瑟夫森結的相位用φνj表示,φ0=1/(2e)是其量子化單位.〈i,j〉是每條鏈上最近鄰比特的求和.如果選擇為正則坐標,相應的正則動量可以表示為

為了實現雙鏈SSH 模型,需要調節比特間的耦合強度,本文利用兩個交流微波對每個transmon比特進行驅動.實驗上可以通過磁通偏置線實現這種驅動[41,42].如圖1(a)所示,將transmon 比特的約瑟夫森結替換成超導量子干涉儀(SQUID).將兩個獨立可控的交流磁通設置在SQUID 的回路中

3 拓撲相圖

式中ε(k)=(εx,εy,εz) ,其中εx=(t1+t2)cos(k)+1,εy=(t1-t2)sin(k),εz=0 .是三維泡利算符.k空間中的能譜可以通過對角化哈密頓量(28)式得到:

討論 SPT多好發于30歲左右的年輕女性[4]。Papavramidis等[5]的一組大數據中97.8%的患者為女性，平均年齡為22歲。Yu等[6]報道中國人SPT患者男女比例為1∶8.37，平均年齡27歲，本組患者女性占85.19%，平均年齡為30歲，與文獻報道結果相符。

由(29)式可知,能譜的兩個能帶會在ε±=0時發生簡并.當ε±=0 時有:

其中kc是能帶簡并點的波矢.通常情況下,參數空間中能帶簡并點兩側的拓撲性質會發生變化.由(30)式和(31)式可知,根據kc的不同取值,拓撲相邊界可以分為兩類.第一類是當kc/=0 時,有t1=t2以 及 c os(kc)=-1/(2t2) .第二類是當kc=0 時,即 s in(kc)=0 時,有 c os(kc)=-1/(t1+t2) .那么,可以得到第一類相邊界:

第一類相邊界的能帶有兩個節點±kc.第二類相邊界的能帶有一個節點kc=π 或kc=0 .兩類相邊界有兩個交點,為t1=t2=±1/2 .本文將兩類相邊界以及交點t1=t2=±1/2 上對應的能帶圖畫在了圖2中,可以更直觀地看到第一類相邊界對應能帶的兩個節點(圖2(a))以及第二類相邊界對應能帶的一個節點(圖2(b)).另外,第一類相邊界能帶的兩個節點在相邊界交點處相遇,變為一個節點(圖2(c)).

圖2 雙 鏈SSH 模型的能譜圖 (a) t1=t2=1.5 ;(b) t1=-1.5 和t2=0.5 ;(c)t1=t2=-0.5Fig.2.Energy bands of SSH model: (a) t1=t2=1.5 ;(b) t1=-1.5 and t2=0.5 ;(c) t1=t2=-0.5 .

接下來,進一步探索相邊界兩側的拓撲性質.首先需要計算拓撲不變量.本文中,由于哈密頓量有PT 對稱性,因此根據Altland-Zirnbauer拓撲分類[44],能帶的拓撲不變量為繞數:

根據拓撲不變量N的分布,圖3 給出了參數空間中的相圖.圖中紅色實線標記的是第一類相邊界((32)式),發現相邊界兩側的拓撲不變量分別為—1 和1.這表明第一類相邊界的兩側區域中,能帶都是拓撲非平庸的,并且兩側區域的拓撲不變量之差為2.黑色實線標記的是第二類相邊界((33)式),邊界兩側的拓撲不變量分別為0 和1 或0 和—1.這表明第二類相邊界兩側中總有一側是拓撲平庸的,另一側是拓撲非平庸的,并且兩側區域的拓撲不變量之差為1.

圖3 雙 鏈SSH 模型在參數空間 t1-t2 中的拓撲相圖.深綠色的區域是拓撲數 N =-1 的區域,淺咖色的區域是拓撲數 N =1 的區域,淺綠色的區域是拓撲數 N =0 的區域;紅色的線標記的是第一類相邊界,黑色的線標記的是第二類相邊界Fig.3.Topological phase diagram in the t1-t2 plane.The bottle green,light coffee color and pale green areas indicate the areas with N =-1,N =1 and N =0 respectively.N denotes the winding number.The red and black lines indicate the first and second phase boundaries respectively.

接下來進一步討論開邊界條件下相圖中不同區域的特性.根據體邊對應原理[45,46],當體態表現為拓撲非平庸時,邊界態是沒有能隙的.因此,圖3中的拓撲非平庸區域在開邊界條件下其能帶會出現準0 能模.為了證明這點,圖4 給出出了開邊界條件下的能帶圖以及相應的波函數.圖4(a1)是N=1時對應的能帶,可以看出,在能量0 點處出現了兩個簡并的能隙閉合點.相應的波函數ψα(j)畫在圖4(b1)中,可以看出其呈指數地局域在系統的邊界上,這正是拓撲相在開邊界條件下的一個顯著特征.圖4(a2)和圖4(b2)是N=-1 時對應的能帶及波函數,它們與圖4(a1)和圖4(b1)有相同的特征.圖4(a3)和圖4(b3)是N=0,也就是拓撲平庸時對應的能帶及波函數,可以發現此時0 能簡并消失,出現能隙,并且波函數沒有邊界局域的特征.

圖4 開邊界能帶和邊界態 (a1) t1=1.5 和 t2=0.5 ;(a2) t1=0.5 和 t2=1.5 ;(a3) t1=0.5 和 t2=0.3 .(b1 )—(b3 )是(a1)—(a3)中第20 個能帶的波函數Fig.4.Energy bands with open boundary condition with (a1 ) t1=1.5 and t2=0.5 ;(a2 ) t1=0.5 and t2=1.5 ;(a3 )t1=0.5 and t2=0.3 .The wave functions corresponding with the 20th energy bands of (a1 ),(a2 ),and (a3 ) are plotted in (b1 ),(b2),and (b3),respectively.

4 節點的拓撲特性

由上文知,系統存在兩種類型的相邊界.可以發現,這兩類相邊界最顯著的不同是,第一類相邊界兩側的相區域都是拓撲非平庸的且拓撲數相差2;第二類相邊界兩側的相區域總有一側是拓撲平庸的,另一側拓撲非平庸且兩側拓撲數相差1.那么這兩類相邊界是否有不同的拓撲性質呢? 本節將討論這個問題.

由哈密頓量(29)知,ε在布洛赫球的x-y平面上的軌跡為一個正橢圓:

對于第3 節中拓撲數為1 和—1 的相區域,該橢圓運動軌跡的旋轉方向相反但均將原點 (0,0) 包含在橢圓內部(圖5(a)和圖5(b)).而對于拓撲數為0 的相區域,該橢圓始終沒有將原點 (0,0) 包含在橢圓內部(圖5(c)).布洛赫球上的原點正是上文中得到的能級簡并點.這與第3 節得到的結論是一致的.那么,當參數取在相邊界上時,橢圓軌跡會有怎樣的變化呢? 對于第一類相邊界,參數滿足(30)式,橢圓軌跡方程(35)變為布洛赫球x軸上的線段(圖5(d)):

圖5 不同參數下 ε 在布洛赫球的 x -y 平面上的軌跡 (a)拓撲數 N =1 時 ε 的軌跡,參數設定為 t1=1.5 和 t2=0.5 ;(b)拓撲數 N =-1 時 ε 的軌跡,參數設定為 t1=0.5和t2=1.5 ;(c)拓撲數 N =0 時 ε 的軌跡,參數設定為 t1=1 和t2=-0.7 ;(d)參數滿足第一類相邊界 t1=t2 時 ε 的軌跡,參數設定為 t1=t2=1 ;(e)參數滿足第二類相邊界t1+t2=1 時 ε 的軌跡,參數設定為t1=0.8 和 t2=0.2 ;(f)參數滿足第二類相邊界 t1+t2=-1 時 ε 的軌 跡,參 數設定為 t1=-1.3和t2=0.3 .圖中紅點表示原點,箭頭表示軌跡的運動方向Fig.5.The curve of the vector ε in x -y plane of the Bloch sphere with (a) t1=1.5 and t2=0.5 ;(b) t1=0.5 and t2=1.5 ;(c) t1=1 and t2=-0.7 ;(d) t1=t2=1 ;(e) t1=0.8 and t2=0.2 ;(f) t1=-1.3 and t2=0.3 .The red points and arrows indicate the origin points and direction of the curve respectively.

顯然,這是一個以 (1,0) 為平衡位置,4|t1|為振幅的簡諧振動.對于第二類相邊界,參數滿足(31)式,橢圓軌跡(35)式仍為一個正橢圓(圖5(e),(f)):

該橢圓的半軸長度分別為1和|2t1±1|,并且可以注意到,該橢圓會經過原點 (0,0) .至此可以看到,ε在這兩類相邊界上有完全不同的運動軌跡.最重要的是,軌跡方程(36)在完成一個振動周期后會經過兩次原點 (0,0),并且兩次運動軌跡的方向相反,而軌跡方程(37)在完成一個運動周期后只經過了一次原點 (0,0) .從這里可以看出第一類相邊界上的能帶是拓撲非平庸的,而第二類相邊界上的能帶是拓撲平庸的.

接下來,分析拓撲相邊界的另一些拓撲特性.首先,在k空間定義一個三維的矢量場F(k) :

其中sgn(·)是符號函數.可以看出,場F存在扭結,扭結出現在kc=arccos(-1/2t1) 的位置,在第一布里淵區 (-π,π] 中,kc有兩個取值.這兩個扭結正是第一類相邊界的能帶簡并點.兩個扭結的拓撲荷分別為1 和—1.為了直觀地看到場F的扭結,圖6 給出了(40)式中自旋期待值隨k的變化.從這里也能夠判斷出,第一類相邊界上的兩個能帶簡并點(也稱為節點)是受到拓撲保護的.

圖6 參數設定為 t1=t2=1 (第一類相邊界上)時矢量F(k) 隨波矢k 的變化.圖中箭頭表示自旋的方向,kc 為能級簡并點處的波矢Fig.6.The variation of the vector F (k) as k changes with t1=t2=1 .The arrows and kc indicate the direction of the spin and degenerate energy point respectively.

對于第二類相邊界,即參數滿足|t1+t2|=1時,場矢量F(k) 為

此時場矢量F與k無關,也就是說這時不存在扭結.因此,這時的節點是拓撲平庸的.

至此,了解到只有第一類相邊界的能帶節點是受到拓撲保護的,因此在這一節點處一定有其獨有的對稱性.接下來討論這一問題.當系統處在第一類相邊界時,參數滿足t1=t2.這時系統不再是雙鏈SSH 模型,而變成了兩條完全相同的比特鏈.這時會出現兩個雙鏈SSH 模型中沒有的對稱性.這兩個對稱性分別用一步平移算符和子格子反演算符來刻畫.這兩個算符的作用分別為

由上文知,節點出現在波矢為kc的位置,對應的能量簡并本征態為

這些本征態滿足:

這說明本文第一類相邊界的節點受到一步平移對稱性和子格子反演對稱性的保護.

5 結論

本文提出了利用transmon 比特實現耦合強度獨立可調的雙鏈SSH 模型的可行性實驗方案,發現了拓撲絕緣體和兩類不同拓撲性質的相邊界.構建模型時,本文首先設計了電容耦合的雙鏈transmon 比特,然后用兩個交流微波驅動每一個transmon 比特,從而實現比特間耦合強度的獨立調控,最后通過改變比特間耦合參數實現交錯的雙鏈SSH 模型.雙鏈SSH 模型是探索拓撲物態的重要模型之一,本文提供了一種構建雙鏈SSH 模型的新途徑.接下來探索了交錯雙鏈SSH 模型的拓撲性質,首先計算了k空間中雙鏈SSH 模型的本征能量,并發現了兩種類型的相邊界.之后在參數空間中畫出了拓撲相圖,發現了兩類拓撲絕緣相,其拓撲數分別為1 和—1,對應有兩類邊界態.拓撲相圖也進一步給出了兩類相邊界的分布以及它們兩側拓撲數的值.最后分析了兩類相邊界的拓撲性質.本文將布洛赫態映射為k空間的矢量場,發現第一類相邊界兩個能帶節點處的矢量場有兩個扭結.兩個節點的拓撲荷分別為1 和—1,并且受到平移和反轉對稱性的保護.另外,本文發現第二類相邊界的能帶節點處的矢量場不存在扭結,節點是拓撲平庸的.本文的結果填補了超導量子電路系統中實現雙鏈SSH 模型的空白,并為探索鏈條型物理系統、拓撲物態以及節點型拓撲半金屬提供了新的途徑.