初等行變換求齊次線性方程組通解的教學(xué)探討

尹江華 馬國(guó)棟

摘?要：求齊次線性方程組的通解在“線性代數(shù)”與“高等代數(shù)”的教學(xué)中占據(jù)著重要地位。教材的解法是利用初等行變換，將系數(shù)矩陣化為行階梯形矩陣，從而確定基本未知量和自由未知量，然后根據(jù)行階梯形矩陣寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，并用自由未知量表示基本未知量，從而得到齊次線性方程組的通解。本文通過(guò)利用初等行變換將系數(shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，直接產(chǎn)生基礎(chǔ)解系，進(jìn)而獲得齊次線性方程組的通解。

關(guān)鍵詞：初等行變換；齊次線性方程組；通解；行最簡(jiǎn)形

Teaching?Exploration?on?Solving?Homogeneous?Linear

Equations?by?Elementary?Row?Transformation

Yin?Jianghua?Ma?Guodong*

College?of?Mathematics?and?Physics，Guangxi?Minzu?University?GuangxiNanning?530006

Abstract：Finding?the?general?solution?of?homogeneous?linear?equations?plays?an?important?role?in?the?teaching?of?Linear?Algebra?and?Advanced?Algebra.The?solution?of?the?textbook?is?to?convert?the?coefficient?matrix?into?the?row?echelon?matrix?by?using?elementary?row?transformation.It?follows?that?one?can?determine?the?basic?and?free?unknowns，and?then?write?the?corresponding?homogeneous?linear?equations?according?to?the?row?echelon?matrix.Finally，using?the?free?unknowns?to?express?the?basic?ones?yields?the?general?solution?of?the?homogeneous?linear?equations.In?this?paper，the?coefficient?matrix?is?transformed?into?its?row?simplest?form?by?the?elementary?row?transformation，and?thus?the?fundamental?solution?system?is?generated?directly.Therefore，the?general?solution?of?homogeneous?linear?equations?is?obtained?quickly.

Keywords：elementary?row?transformation；homogeneous?linear?equations；general?solution；row?simplest?form?of?matrix

1?概述

無(wú)論是在“線性代數(shù)”，還是在“高等代數(shù)”的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，初等變換都是非常重要的工具和方法，初等變換包括初等行變換和初等列變換。為了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不出現(xiàn)混淆，初等行變換是在教學(xué)中使用最多的方法。初等行變換有很多重要應(yīng)用，如求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式［1］、求矩陣的秩與逆矩陣、求向量組的極大無(wú)關(guān)組與秩、求一個(gè)n維向量由一組向量線性表出的表達(dá)式、判定向量組的線性相關(guān)性、判定線性方程組和矩陣方程是否有解等。

另一方面，線性方程組的求解是學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”和“高等代數(shù)”的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其包括齊次線性方程組的求解和非齊次線性方程組的求解，齊次線性方程組的求解是求解非齊次線性方程組的基礎(chǔ)。對(duì)于一般的齊次線性方程組，常采用初等行變換進(jìn)行求解，其基本求解過(guò)程是：將齊次線性方程組的系數(shù)矩陣通過(guò)初等行變換化為行階梯形矩陣，由此確定基本未知量和自由未知量，然后根據(jù)所得行階梯形矩陣寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，并用自由未知量表示基本未知量，進(jìn)而得到齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，從而根據(jù)基礎(chǔ)解系寫(xiě)出齊次線性方程組的通解。顯然，該求解過(guò)程需要根據(jù)行階梯形矩陣再次寫(xiě)出相應(yīng)的齊次線性方程組。本文嘗試?yán)贸醯刃凶儞Q實(shí)現(xiàn)齊次線性方程組的快速求解。這里的“快速”意味著不需要根據(jù)行階梯形矩陣寫(xiě)出相應(yīng)的齊次線性方程組，而通過(guò)將行階梯形矩陣進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣，從而直接產(chǎn)生基礎(chǔ)解系，進(jìn)而獲得齊次線性方程組的通解。

2?預(yù)備知識(shí)

定義1［23］：形如a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1，

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2，

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm的方程組稱為線性方程組，其中x1，…，xn表示n個(gè)未知量，m是方程的個(gè)數(shù)，aij（i=1，…，m，j=1，…，n）稱為方程組的系數(shù)，bi（i=1，…，m）稱為常數(shù)項(xiàng)。常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組。

設(shè)齊次線性方程組為a11x1+a12x2+…+a1nxn=0，

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0，

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=0.

令A(yù)=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn，x=x1

x2

xn，則上述齊次線性方程組等價(jià)于Ax=0。下面給出行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣的定義。

定義2［23］：若矩陣滿足：（1）可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階只有一行非零行；（3）階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素（首非零元），則稱這樣的矩陣為行階梯形矩陣。

注意：在行階梯形矩陣中，全零行應(yīng)位于所有非零行的下方。

定義3［23］：若行階梯形矩陣滿足：（1）非零行的首非零元為1；（2）首非零元所在的列的其他元素都為零，則稱其為行最簡(jiǎn)形矩陣。

其中A和B為行階梯形矩陣，C為行最簡(jiǎn)形矩陣，而D不是行階梯形矩陣。

下面有關(guān)基本未知量和自由未知量的定義取自參考文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［3］。

定義4：設(shè)齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為行階梯形矩陣B，則矩陣B中各非零行的首非零元所在的列對(duì)應(yīng)的未知量稱為基本未知量，其余未知量稱為自由未知量。

例如，齊次線性方程組x1－x2+x3+2x4=0，

2x1－2x2+3x3－4x4=0的系數(shù)矩陣A=1－112

2－23－4經(jīng)一次初等行變換化為B=1－112

001－8，則x1，x3為基本未知量，而x2，x4為自由未知量。

與非齊次線性方程組不同，齊次線性方程組一定有零解，本文僅考慮齊次線性方程組有非零解的情形。

命題1［23］：齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是r（A）

3?利用初等行變換快速獲得齊次線性方程組的通解

根據(jù)命題1，在齊次線性方程組有非零解的情況下，求其通解的關(guān)鍵在于基礎(chǔ)解系的計(jì)算。下面通過(guò)具體例子闡述如何利用初等行變換快速獲得齊次線性方程組的通解。

例1?試求下列齊次線性方程組的通解：

x1－x2+x3+2x4=0，

2x1－2x2+3x3－4x4=0.

為了找到基礎(chǔ)解系中解向量與行最簡(jiǎn)形矩陣的關(guān)系，首先按照教材中的做法求解上述方程組，然后總結(jié)規(guī)律，進(jìn)而獲得求解齊次線性方程組通解的快速方法。

解：對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換：

A=1－112

2－23－4r2－2r11－112

001－8.

故基本未知量為x1和x3，自由未知量為x2和x4寫(xiě)出行階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組：

x1－x2+x3+2x4=0，

x3－8x4=0.（1）

于是，

x1=x2－10x4，

x3=8x4.（2）

取x2

x4=1

0，0

1，則基礎(chǔ)解系為：

ξ1=1

1

0

0，ξ2=－10

0

8

1.（3）

從而通解為x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1和c2為任意常數(shù)。

總結(jié)：方程組（2）等價(jià)于：

x1－x2+10x4=0，

x3－8x4=0.（4）

將方程組（1）化為（4），相當(dāng)于將上述行階梯形矩陣通過(guò)初等行變換進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣：

Ar2－2r11－112

001－8r1－r21－1010

001－8.

ξ1可這樣得到：取x2

x4=1

0，即ξ1=1

0，對(duì)比（3）式和上述行最簡(jiǎn)形矩陣知，ξ1缺失的兩個(gè)分量（即基本未知量所在的位置）恰好是行最簡(jiǎn)形矩陣中與x2對(duì)應(yīng)列的相反數(shù)，并按從上至下的順序依次填補(bǔ)ξ1缺失的分量。于是ξ1=1

1

0

0，類似，ξ2可這樣得到：取x2

x4=0

1，即ξ2=0

1，ξ2缺失的兩個(gè)分量恰好是行最簡(jiǎn)形矩陣中與x4對(duì)應(yīng)列的相反數(shù)，并按從上至下的順序依次填補(bǔ)ξ2缺失的分量。

下面給出利用初等行變換求齊次線性方程組Ax=0通解的基本步驟。

第一步：將系數(shù)矩陣A通過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣；

第二步：確定基本未知量和自由未知量，而自由未知量的個(gè)數(shù)=基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)；

第三步：基礎(chǔ)解系中的解向量是通過(guò)在自由未知量的位置依次選取其中一個(gè)為1，而其余位置取0；基本未知量的位置恰好是取值為1的自由未知量在行最簡(jiǎn)形矩陣中所對(duì)應(yīng)列的相反數(shù)，并按從上往下的順序依次填入基本未知量所在的位置。從而得到基礎(chǔ)解系并給出通解［自由未知量個(gè)數(shù)=n-r（A）=通解中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)］。

4?應(yīng)用實(shí)例

下面通過(guò)三個(gè)具體例子，驗(yàn)證上述方法的有效性。

例2?試求下列齊次線性方程組的通解：

3x1+2x2－5x3+4x4=0，

3x1－x2+3x3－3x4=0，

3x1+5x2－13x3+11x4=0.

解?對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換：

A=32－54

3－13－3

35－1311r1019－29

01－8373

0000.

故基本未知量為x1和x2，自由未知量為x3和x4，于是，基礎(chǔ)解系為ξ1=－19

83

1

0，ξ2=29

－73

0

1.

故通解為x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1和c2為任意常數(shù)。

例3?試求下列齊次線性方程的通解：

2x1－3x2+x3+2x6=0.

解：對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換：

A=（2－31002）12r1（1－3212001）.

因此，基本未知量為x1，而自由未知量為x2，x3，x4，x5和x6，于是，基礎(chǔ)解系為：

ξ1=32

1

0

0

0

0，ξ2=－12

0

1

0

0

0，ξ3=0

0

0

1

0

0，ξ4=0

0

0

0

1

0，ξ5=－1

0

0

0

0

1.

故通解為x=c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3+c4ξ4+c5ξ5，其中c1，c2，c3，c4和c5為任意常數(shù)。

例4?試求下列齊次線性方程組的通解：

x1－x2+2x3+x5－2x6=0，

2x1－2x2+4x3+x4－x6=0.

解：對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換：

A=1－1201－2

2－2410－1r2－2r11－1201－2

0?001－23.

因此，基本未知量為x1和x4，自由未知量為x2，x3，x5和x6，由此可得基礎(chǔ)解系：

ξ1=1

1

0

0

0

0，ξ2=－2

0

1

0

0

0，ξ3=－1

0

0

2

1

0，ξ4=2

0

0

－3

0

1.

故通解為x=c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3+c4ξ4，其中c1，c2，c3和c4為任意常數(shù)。

利用上述規(guī)律求解齊次線性方程組減少了煩瑣的還原方程組的步驟，起到了事半功倍的作用。同時(shí)，對(duì)于初學(xué)者而言，這能極大地增加學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”或“高等代數(shù)”的成就感和學(xué)習(xí)興趣。

結(jié)語(yǔ)

講解“線性代數(shù)”或“高等代數(shù)”的過(guò)程中，在傳授基本知識(shí)與理論的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生分析、總結(jié)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力是重要的，這有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。利用本文的思想方法，探討如何利用初等行變換快速獲得非齊次線性方程組的通解是有意義的。

參考文獻(xiàn)：

［1］王文省，姚忠平，鐘紅心.初等變換的思想方法在高等代數(shù)中的應(yīng)用［J］.聊城師院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000（3）：7678.

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編.王萼芳，石生明修訂.高等代數(shù)（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2014.

基金項(xiàng)目：廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目（2022JGA175）；廣西民族大學(xué)校級(jí)引進(jìn)人才科研啟動(dòng)項(xiàng)目（2022KJQD03）；廣西高校中青年教師科研基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目（2023KY0168）

作者簡(jiǎn)介：尹江華（1989—?），男，湖南邵陽(yáng)人，博士，講師，碩士生導(dǎo)師，研究方向：最優(yōu)化方法及其應(yīng)用。

*通訊作者：馬國(guó)棟（1983—?），男，湖南邵陽(yáng)人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：最優(yōu)化方法及其應(yīng)用。