小學數(shù)學典型錯例分析及矯正策略

（江蘇省高郵市天山小學 薛 剛）

（江蘇省高郵市周山鎮(zhèn)實驗小學 王 鋒）

數(shù)與代數(shù)

【錯例1】

A.用去的多 B.剩下的多

C.同樣多 D.無法確定

2.把3 米長的繩子平均分成5 段，每段是全長的（ ），每段繩子長度是（ ）米。

錯解：

正確答案：

【診斷】

1.分數(shù)意義缺少抽象。

借助直觀圖例，學生很容易表示出分數(shù)，致使學生造成錯覺，以為完全理解了分數(shù)的本質特征。而一旦出現(xiàn)了抽象的文字表述題，學生脫離了直觀的素材圖，形象思維和抽象思維之間出現(xiàn)斷層，就會導致思維短路。

2.分數(shù)知識構建缺位。

教學中，教師沒有引導學生對知識的主動構建，導致學生沒能真正理解具體數(shù)量和分率之間的區(qū)別與聯(lián)系。此外，從“分數(shù)的初步認識”到“分數(shù)的意義”，教學間隔時間較長，知識間銜接不緊湊，沒有形成一個牢固的知識體系。

【對策】

1.知識構建需內(nèi)化。

教師可以結合生活實際來引導學生正確區(qū)分具體數(shù)量和分率，還可以結合畫圖的策略幫助學生建立起具體數(shù)量和分率之間的對應關系。

2.知識銜接要強化。

在教學分數(shù)認識的各個階段，教師要合理強化分數(shù)前后知識的串聯(lián)，使得學生真正理解分數(shù)的意義，并能用較準確的語言表達對分數(shù)的理解。

【練習】

1.把4 米長的繩子平均分成7 段，每段長度相當于1 米的2 段 這 樣 的 繩 子長米。

A.第一堆重 B.第二堆重

C.兩堆同樣重 D.無法比較

3.張師傅把一根3 米長的木棒截成同樣長的小段，一共截了4 次，每段長米，每段占全長的。

【錯例2】

1.8.34+0.6

2.7.29-0.9

錯解：1.8.4 2.7.2

正確答案：1.8.94 2.6.39

【診斷】

1.思維定式影響。

學生剛接觸小數(shù)加減法時，受整數(shù)加減法運算法則的影響，寫豎式不是將小數(shù)點對齊（相同數(shù)位對齊），而是將小數(shù)的末位對齊。

2.算理掌握不牢。

小數(shù)加減法的算法和算理是相輔相成的。學生還沒有真正建立小數(shù)的數(shù)位概念，對小數(shù)運算的算理理解不到位，就不能真正掌握算法。

3.學習體驗膚淺。

學生沒有從小數(shù)的運算法則中獲得“小數(shù)點對齊就是相同計數(shù)單位對齊”的數(shù)學體驗，只是根據(jù)自己的判斷，隨意地確定小數(shù)的位數(shù)及小數(shù)點的位置，計算時比較盲目，導致在小數(shù)加減混合運算中錯誤率較高。

【對策】

1.自主探究，經(jīng)歷過程體驗。

教學中，教師要主動放手，引導學生通過小組合作來自主探究運算法則，在合作與分享中體驗知識形成的過程，真正掌握小數(shù)的運算法則。

2.注重對比，強化反思習慣。

在學生基本掌握算法能夠獨立完成小數(shù)的四則運算后，教師可以安排題組對比練習，如：“8.34+0.6= ”和“8.34+0.06= ”、“7.29-0.9= ”和“7.29-0.09=”，引導學生關注算法和算理上的區(qū)別和聯(lián)系，形成主動驗算的意識，提高做題正確率。

【練習】

1.2.75+3.5=

2.12.04-5.4=

3.每個籃球35 元，張教練買了24 個籃球。用豎式計算買籃球應付的錢數(shù)，豎式中箭頭所指的這一步表示（ ）。

A.買20 個籃球應付的錢數(shù)

B.買4 個籃球應付的錢數(shù)

C.買2 個籃球應付的錢數(shù)

D.買40 個籃球應付的錢數(shù)

【錯例3】

錯解：

正確答案：

【診斷】

1.錯誤的“強”信息的干擾。

學生學習運算律和性質以后，大腦中留下了“簡便就是湊整”的印象。當遇到要求簡算的題目時，原有的“強”信息會被進一步激活，干擾正確認知。如第1 題，學生看到，就誤以為可以“湊整”，不顧及正確的運算順序，產(chǎn)生錯誤。

2.正確的“弱”信息的消退。

教師在教學過程中過分強調運算律和性質的使用，使學生淡化了四則混合運算基本法則，忽視了運算順序，容易出現(xiàn)錯例中被“”和“”等看似好算的式子所忽悠的現(xiàn)象。

【對策】

1.突出算理，形成知識技能。

教學中，無論是口算、估算、筆算，還是混合運算（簡便計算），教師都應幫助學生樹立以“理”解題的觀念。口算、筆算要有算理，混合運算要有法則或者是規(guī)律性質作支撐。在進行簡便運算教學時，最好同時呈現(xiàn)不能簡算和能簡算的習題，讓學生在對比中形成正確使用運算律的技能。

2.避開誤區(qū)，培養(yǎng)良好習慣。

簡便運算的教學，不僅讓學生體驗到運算的簡便，還能夠感受到數(shù)學思維的靈活性，但是不能讓學生步入“簡便計算就是湊整”的誤區(qū)。一方面，教師要強化學生對四則混合運算法則和運算律的認識和理解；另一方面，教師要引導學生培養(yǎng)良好的學習態(tài)度，養(yǎng)成估算或按運算順序再算一遍進行驗算的習慣。

【練習】

1.計算下列各題，怎樣簡便就怎樣計算。

2.在下面的括號里填入合適的數(shù)，并在○里填上合適的運算符號，使這道題能運用簡便方法進行計算。

12.5×9○（ ）

【錯例4】

1.互為倒數(shù)的兩個數(shù)不成比例。 （ ）

2.圓周長一定，直徑和圓周率成反比例。（ ）

錯解：

1.√ 2.√

正確答案：

1.× 2.×

【診斷】

1.概念不清，意識模糊。

對于正、反比例知識的學習，學生如果概念理解不到位，對“定量”“變量”“一定”等數(shù)學名詞認識模糊，一些常用的數(shù)量關系記憶不牢，公式之間的轉化混淆不清，就容易出現(xiàn)錯誤。

2.本質不明，理解膚淺。

第1 題雖然沒有明確交代兩個數(shù)的乘積一定，但實際上兩個互為倒數(shù)的數(shù)，乘積肯定是1，就說明這兩個數(shù)成反比例。第2 題明確說明圓周長是一個定量，我們知道，圓周率也是定量，那么直徑也就是定量，三個量都是定量，很顯然不成比例關系。學生由于對正、反比例的本質理解不到位，不能正確辨析三個量之間的關系，導致判斷錯誤。

【對策】

1.細化教學環(huán)節(jié)。

教學中，教師應把學生感覺陌生的數(shù)學名詞結合實例來闡釋。如:兩個互為倒數(shù)的數(shù)，乘積是1，也就是說乘積一定，這里互為倒數(shù)的兩個數(shù)肯定成反比例。再如：圓的周長等于圓周率乘直徑，圓周率是定量，周長和直徑是變量。

2.強化數(shù)量關系。

教學中，教師要引導學生對一些常見的數(shù)量關系和公式進行熟練的轉換，如：時間、速度和路程以及單價、數(shù)量和總價等。學生熟記常用的公式、定理、數(shù)量關系式之后，才能熟練應用，正確解決實際問題。

3.適當構建模型。

對于一些不常接觸的數(shù)量關系，教師應幫助學生建立適當?shù)哪Ｐ停莆张袛喾椒ê图记伞Ｈ纾涸谕粫r間同一地點，物體的高度和影子的長度；鋼材的質量和體積之間的關系。另外，還要注意不成比例的兩個量的情況，如：正方形的面積和邊長，兩個量之間是平方關系；人的身高和跳高的高度，兩個量之間不存在必然的關聯(lián)。

【練習】

1.互為倒數(shù)的兩個數(shù)成（ ）比例。

2.圓周長=（ ）×（ ）。（ ）一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。

4.如果a 與b 成正比例，則x=（ ），如果a 與b 成反比例，則x=（ ）。

【錯例5】

甲、乙兩人完成同樣的零件任務，甲單獨完成需要4 小時，乙單獨完成需要6 小時，甲、乙兩人工作效率的最簡比是（ ）。

錯解一：2∶3

錯解二：6∶4

正確答案：3∶2

【診斷】

1.審題能力不強。

錯解一，學生沒有看清楚題目要求，把“工作效率”這幾個重要的字忽略了，直接用題中的兩個數(shù)去求比值。錯解二，學生雖注意到了“工作效率”，但是沒有寫出最簡比。

2.意義理解不透。

本題可以把工作總量抽象為“1”，用分數(shù)表示工作效率，根據(jù)“比”的意義，用“甲的工作效率比乙的工作效率”進行解答。從表象上看是學生審題不清，本質上是學生對“比”的意義理解不透徹。

【對策】

1.理解概念的核心意義。

本題中工作效率是工作總量除以工作時間的商，抽象的分率也可以表示工作效率。“比”只能表示兩個量之間的倍數(shù)關系，最簡比不是本題考查的重點。所以，應該重點引導學生側重理解怎么求出甲、乙兩人的工作效率。

2.重視積累解題的方法。

本題只告訴完成零件所需的時間，要引導學生思考怎么得出甲、乙兩人的工作效率。方法有兩種：一是引導學生假設兩人完成的零件都是12 個，然后根據(jù)“工作總量÷工作時間”求出工作效率；二是把工作總量抽象為“1”，用分數(shù)分別表示兩人的工作效率，再利用比的基本性質化簡即可。

【練習】

3.小紅從家到學校用12 分鐘，從學校沿原路返回家用10 分鐘，小紅從家到學校往返的速度比是（ ）。

4.做同一個零件，甲5 分鐘做6 個，乙6 分鐘做5 個。甲、乙兩人工作效率的比是（ ）。

【錯例6】

小華和小麗出同樣多的錢合買一箱12 千克的蘋果，結果小華拿了4 千克，小麗拿了8 千克。這樣，小麗就要給小華10 元。蘋果的單價是每千克多少元？

錯解：10÷（8-4）=10÷4=2.5（元）

正確答案：

方法一：10×2÷（10-6）=20÷4=5（元）

方法二：（10-6）÷2=4÷2=2（千克）10÷2=5（元）

【診斷】

1.對應關系錯位。

學生從問題出發(fā)，認為求“蘋果的單價是每千克多少元”，直接依據(jù)“總價÷數(shù)量=單價”即可，沒能抓住總價與數(shù)量的對應關系。這里10 元對應的數(shù)量不是4 千克，按照平均分的原則，10 元是小麗應該還給小華的2 千克蘋果的錢。

2.思維定式干擾。

學生在解決此類問題時，受思維定式的影響，以為直接代入“總價差÷數(shù)量差=單價”即可，并沒有深入地分析出這里的10 元并不是總價的相差量，真正的相差量是20 元。

【對策】

1.優(yōu)化學習方式，激發(fā)學生思維。

教學中，教師要注意盡量避免讓學生死記硬背公式，要想方設法激發(fā)學習的興趣，優(yōu)化學習方式，把順向思維和逆向思維練習作為課堂思維訓練的常規(guī)手段，讓學生能夠正確選用適合的數(shù)量關系式。

2.注重知識對比，養(yǎng)成反思習慣。

教師不應該立即給出對或錯的判斷，要引導學生自己解釋，如果有不合理的地方，可以讓其他同學進行補充，并對正確和錯誤的解答方式進行對比，讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。

【練習】

1.甲、乙兩人出同樣多的錢合買一箱水果，如果甲拿了這箱水果的，乙拿了這箱水果的，那么乙就要給甲4元。這箱水果的價格是多少元？

2.有兩個工廠，已知甲廠人數(shù)與乙廠人數(shù)的比是7∶6，從甲廠調20 人到乙廠后，兩個工廠人數(shù)相等。原來甲、乙兩個工廠各有多少人？

【錯例7】

錯解：

正確答案：

【診斷】

1.綜合分析能力欠缺。

要解決“田徑隊有男生多少人”的問題，需要找出男生人數(shù)、女生人數(shù)、田徑隊總人數(shù)之間的關系。錯例中學生的思路是正確的，但是弄錯了女生人數(shù)相當于男生人數(shù)的幾分之幾，兩個分率的單位“1”不同，因而不能直接相減。

2.思維表征形式單調。

【對策】

1.強化數(shù)量關系對應。

借助有效的解題策略能幫助學生以較短的時間、用靈活的方法解題。無論是分數(shù)、百分數(shù)解決問題還是比的應用，都應該強調“對應”一詞。因此，教師應引導學生在解決問題的過程中尋找對應關系，借助線段圖的直觀性審清題意，順利找到關系式進行解答。

2.注重開放思維訓練。

練習時，習題設計要體現(xiàn)層次性、開放性,進行拓展訓練，促進思維發(fā)展。引導學生在審題時能夠想到更多的條件，培養(yǎng)發(fā)散性思維。例如，利用變式來改變題目的條件或結論，或把結論與條件對調，啟發(fā)學生尋找不同解題方法間的關聯(lián)，促進知識和方法的遷移，實現(xiàn)解題能力的提高。

【練習】

1.操場上有一些蝴蝶，其中花蝴蝶與黑蝴蝶只數(shù)的比是5∶7；后來飛走了4 只黑蝴蝶，這時花蝴蝶與黑蝴蝶的只數(shù)正好相等。操場上有多少只花蝴蝶？

2. 小明讀一本故事書，上午讀了全書的15%。下午又讀了8 頁，這時已讀頁數(shù)與未讀頁數(shù)的比是1∶4。這本故事書共多少頁？

【錯例8】

1.如圖，擺1 個三角形用3 根小棒，擺2 個三角形用5 根小棒，擺3 個三角形用7 根小棒……照這樣擺下去——

（1）擺10 個三角形要用（ ）根小棒。

（2）用99 根小棒可以擺（ ）個三角形。

（3）擺a 個三角形要用（ ）根小棒。

錯解：（1）30 （2）33 （3）3a

正確答案：（1）21 （2）49 （3）1+2a

【診斷】

1.數(shù)形結合能力欠缺。

本題重點考查學生的數(shù)形結合及數(shù)學概括能力，學生沒有讀懂圖例以及問題所求，只是想當然地認為，擺1 個三角形要用3 根小棒，擺2 個三角形肯定需要6 根小棒……錯誤地以為小棒的根數(shù)是三角形個數(shù)的3 倍。其實從圖中就可以看出，這種擺法不是擺獨立的三角形，而是有重復使用的小棒。如果學生能讀懂圖的意思，問題就迎刃而解了。

2.數(shù)學抽象能力不足。

前兩個問題，通過數(shù)一數(shù)或者找規(guī)律的方法也能得出正確結果。但是第（3）題，很多學生束手無策，說明學生只能借助直觀數(shù)據(jù)或圖形得出答案，不能夠結合具體實例，理解字母式的意義，建構數(shù)學模型。

【對策】

1.動手操作與動腦思維并行。

在動手擺一擺、畫一畫、寫一寫的基礎上，開展找規(guī)律的實踐探索，引導學生在頭腦中進行抽象，通過比較、推理確定小棒的根數(shù)和三角形個數(shù)之間的關系，積累解決此類問題的經(jīng)驗。

2.直觀感知和抽象概括并重。

引導學生動手擺一擺、拼一拼，在擺完第1 個三角形的時候，稍稍停頓一下，讓學生思考小棒的根數(shù)和三角形的個數(shù)之間的變化規(guī)律，激活學生對規(guī)律探尋的興趣，自覺辨析兩者的數(shù)量關系。當學生發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，問題也就解決了。

【練習】

1.如圖，一張小長桌可以坐6 人，兩張小長桌排成一排可以坐10 人。食堂有10 張這樣的桌子，如果排成一排，可以坐（ ）人。

2.如圖，在直徑為4 分米的圓形車輪上繞一圈履帶，按這樣的規(guī)律，n 個車輪連在一起需要多長的履帶？

探究：

結論：按這樣的規(guī)律，n 個車輪連在一起需要（）分米的履帶。

（江蘇省高郵市天山小學 薛 剛）

圖形與幾何

【錯例1】

如圖，李玲在夏娟的南偏西60°方向，那么夏娟在李玲的（ ）。

錯解一：南偏東30°方向

錯解二：北偏東30°方向

正確答案：北偏東60°方向

【診斷】

1.觀察力不強，幾何直觀弱。

結合圖示，夏娟在李玲的上面，就是在李玲的北面。學生還不能很好地統(tǒng)一實際生活與地圖上東南西北的關系，辨別和觀察能力比較弱。

2.觀測點不明，位置關系亂。

描述李玲在夏娟的南偏西60°方向時，是以夏娟為觀測點；而問夏娟在李玲什么位置時，是以李玲為觀測點。學生對觀測點的轉變未能適應，出現(xiàn)了位置關系混亂。

【對策】

1.抓住位置關系的前提。

學習《用方向和距離確定位置》時，首先要明確的是觀測點（觀察者），確定觀測點是研究位置關系的前提條件。與此同時，學生要明白，同一題中在不同問題情境下觀測點有時會發(fā)生變化。

2.深化判斷位置的方法。

引導學生在正確找到觀測點的前提下，以南北為基準線輔以測量工具熟練測得方向，通過測量以及比例尺換算得到距離。在理解的基礎上，通過多次變式訓練內(nèi)化方法，使學生能夠順利解決位置關系問題，發(fā)展空間觀念。

【練習】

（1）小明從家向_____走_____米，再向_____走_____米到學校。

（2）商店在學校的_____面。

（3）小軍家在商店東面200 米處，也可以說在學校_____面_____米處。用“☆”標出小軍家的位置。

2.在南京火車站的出站口，豎著一面道路指示牌。你能根據(jù)道路指示牌回答下面的問題嗎？

（1）揚州在火車站_____偏__________方向上，距離是_____千米。

（2）火車站在蕪湖_____偏__________方向上，距離是_____千米。

（3）常州在火車站_____偏__________方向上，距離是_____千米。

3.下圖是火車站周邊的平面圖，看圖回答問題。

（1）科技館在火車站_____偏__________方向上，距火車站_____米。

（2）學校在火車站_____偏__________方向上，距火車站_____米。

（3）從學校經(jīng)火車站去科技館應該怎樣走？

【錯例2】

畫出小旗子繞O 點按逆時針方向旋轉90°后的圖形。

【診斷】

1.知識要素掌握不全面。

對于圖形旋轉運動的三要素——“旋轉中心”“旋轉方向”“旋轉角度”，學生掌握得不夠全面，實際操作時會顧此失彼，注意了方向忽視了旋轉中心，關注了旋轉中心，又弄反了方向，做不到同時準確把握所有要素。

2.空間想象力不夠豐富。

圖形的運動是一個過程，學生往往只關注靜態(tài)的位置關系，對于運動過程認識不足，不能在腦海里呈現(xiàn)圖形運動的全過程，空間想象力有所缺失。

【對策】

1.理解圖形運動本質，掌握運動全要素。

教師可以設計大量的動態(tài)演示，激勵學生深度參與其中，從而幫助學生掌握圖形運動的三要素，并通過練習與及時小結逐步習得解題方法。

2.有意培養(yǎng)空間觀念，提升空間想象力。

學習圖形運動知識時，不能就題論題，學生需要通過思考、想象、操作、交流等數(shù)學活動，不斷豐富認知，有意識地培養(yǎng)空間觀念，逐步形成在腦中想象圖形運動過程的能力。

【練習】

1.指針按逆時針方向旋轉90°，從指向A 旋轉到指向（ ）；指針按順時針方向旋轉90°，從指向B 旋轉到指向（ ）。

2.把方格紙上的三角形繞O 點按順時針方向旋轉90°。

【錯例3】

每天上午9 時30 分是某校眼保健操時間，此時分針與時針的夾角是（ ）。

A.銳角 B.直角 C.鈍角

錯解：B

正確答案：C

【診斷】

1.缺乏生活經(jīng)驗。

表面看來，學生學習角時經(jīng)歷了從身邊事物中發(fā)現(xiàn)角、抽象角、畫角、角的分類等一系列數(shù)學活動，對角有了充分的認知。但實際上學生在判斷某一個時刻分針與時針的夾角是什么角時，還是有一定的難度，分針和時針是聯(lián)動的，分針在走時針也在走，分針從12 走到6，走了半圈,時針也走了半個大格。

2.知識不夠系統(tǒng)。

教學鐘表時先安排了認識整時，“分針指著12，時針指著幾就是幾時”這一結論給學生留下了深刻印象，致使學生認為時針或者分針總是指著某個數(shù)字的。雖然接著又學習了大約幾時、幾時幾分，但是先入為主，學生心里已有強烈的指向性，習慣性認為時針應該走到表示整時的位置，卻忽略了分針的轉動對時針的影響。例如，9時30 分，分針指著6，學生卻誤以為時針還指著9。

【對策】

1.明晰概念，掌握方法。

學生應清楚角的分類及對應的范圍，會用三角尺的直角去比對驗證。學生用三角尺的直角去比對9 時30 分時針與分針所成的角時，會發(fā)現(xiàn)分針跟一條直角邊重合，時針超過了9，在9 和10 之間，跟另一條直角邊進行比對，在它的外側，自然而然辨別出此時分針與時針成的是鈍角。

2.關注過程，學會想象。

學生需要更多地接觸動態(tài)過程，既要通過動畫演示、模型撥弄等方式，也要通過生活觀察和數(shù)學活動，充分掌握鐘面指針聯(lián)動規(guī)律，能夠準確想象出整個過程。

【練習】

1.給下面的鐘面畫上時針和分針,并說出它們成的是什么角。

2.鐘面上，（ ）時整和（ ）時整的時候，時針與分針的夾角是直角。8 時整，時針與分針的夾角是（ ）角。

3.鐘面上，6 時30 分的時候，時針與分針的夾角是（ ）角；12 時50 分的時候，時針與分針的夾角是（ ）角。

【錯例4】

如下圖，過已知頂點A，畫出圖形的高。

1.經(jīng)驗遷移不恰當。

學生由三角形畫高的經(jīng)驗遷移到平行四邊形畫高，認為過頂點A 只能畫一條高，忽視了還有一條高，這是經(jīng)驗遷移產(chǎn)生了偏差。

2.對應關系不明確。

有些學生認為一個頂點對應一條高，它們是一一對應關系。準確地說，三角形的底和高是一一對應的。但平行四邊形有4 條邊，高有無數(shù)條，過一個頂點可以分別以兩條邊為底畫高，即有2條高，過一個頂點到指定的底畫高只有一條。

【對策】

1.由感性經(jīng)驗向理性思考靠攏。

在給平行四邊形畫高時，要通過大量變式訓練，引導學生從知識的本質出發(fā)理性思考問題。通過反復練習、不斷嘗試，提高學生對平行四邊形底和高的認識。

2.由經(jīng)驗偏離向正向遷移轉變。

通過三角形和平行四邊形畫高的練習與對比，剔除非本質因素，尋找知識的內(nèi)在聯(lián)系，鎖定知識的本質，不論是三角形還是平行四邊形，畫高都是頂點到對邊的垂直線段。不同點在于頂點所對應的對邊數(shù)量不同。學生只有抓住知識核心，才能實現(xiàn)知識的正向遷移。

【練習】

1.畫出下列平行四邊形底邊上的高。

2.如圖所示，已知平行四邊形一條底邊長9厘米，兩條高分別是4 厘米和6 厘米，請問這個平行四邊形另一條底邊長多少厘米？

3.一個平行四邊形相鄰的兩條邊分別是8 厘米和10 厘米，量得一條邊上的高是9 厘米，這個平行四邊形的面積是（ ）平方厘米。

【錯例5】

用分數(shù)表示圖中的涂色部分。

【診斷】

1.實際操作不熟練，想象易偏離。

有的學生以為涂色正方形旋轉過來正好邊長占3 格，實際上旋轉過來會發(fā)現(xiàn)邊長大于3 格。我們也可從局部分析，涂色正方形的邊長在所在的直角三角形中是斜邊，斜邊大于直角邊（兩條直角邊分別是1 格和3 格）。

2.策略運用不靈活，方法太單一。

本題是在《解決問題的策略——轉化》中出現(xiàn)的，學生錯誤率相對較高。學生知道運用轉化策略，只是方法選擇不當且單一。學生沒有想到其他更合理的方法，是因為沒有掌握策略的精髓。

【對策】

1.感受策略優(yōu)勢，掌握多元方法。

策略是解決某一類問題的指導思想，方法是解決某一種題型的具體手段。在教學過程中，需要讓學生逐步感受策略的價值與優(yōu)勢。同時在解題時，學生要通過思考與嘗試最終選擇合適的方法解決。比如本題，可以如圖進行重新拼接，重新拼接前后就是轉化的過程，在此過程中，面積不變，因此拼接前后小正方形個數(shù)不變，為10 格，大正方形一共有16格，陰影部分占整體的。有的學生想到將陰影部分轉變?yōu)椤罢w-空白部分”，輕易數(shù)出空白部分為6 格，則陰影為16-6=10（格），從而也能得到正確答案。

2.自覺運用策略，注重操作對比。

引導學生將自己想象出來的轉化圖與實際轉化后的圖進行對比，在操作對比中判斷自己初步想法的對錯。

學生在對比中明晰錯誤，進一步嘗試優(yōu)化方法，最終習得正確方法達到轉化的目的，得到正確答案。學生初步想法不正確不要緊，關鍵不能停留在初步想法上，要通過操作實踐驗證自己的想法對錯，如有偏差及時調整，這就是試錯和化錯的過程，經(jīng)歷了這一過程，深度學習才會真實發(fā)生。

【練習】

1.用分數(shù)表示下面各圖中的涂色部分。

2.求下面圖形的周長，怎樣計算比較簡便？如果每個小方格的邊長是1 厘米，下面圖形的周長是多少厘米？

3.一塊草坪被4 條1 米寬的小路平均分成了9 小塊。草坪的面積是多少平方米？

【錯例6】

王師傅加工20 段底面半徑是6 厘米、長是5分米的圓柱形鐵皮通風管，至少要用多少平方分米的鐵皮？

錯解：（3.14×6×2×5+3.14×62×2）×20=8289.6（平方分米）

正確答案：6 厘米＝0.6 分米

3.14×0.6×2×5×20＝376.8（平方分米）

【診斷】

1.題目審閱不細，單位未能統(tǒng)一。

學生認真審題的習慣沒有養(yǎng)成，一些細節(jié)不能很好地關注。本題中半徑是以厘米為單位，長是以分米為單位，問題是“至少要用多少平方分米的鐵皮”，很明顯首先需要統(tǒng)一單位，然而不少學生忽視了這一點。

2.生活經(jīng)驗不足，隱藏條件未察。

通風管道作為一個圓柱體是沒有底面的（如果有底面則無法通風）。求制作圓柱鐵皮通風管道需要的鐵皮，實際上就是求圓柱的側面積，而不是求圓柱的表面積。有的學生因為沒有這方面的常識，沒能挖掘出這個隱藏條件。

【對策】

1.養(yǎng)成良好審題習慣，關注細微處。

平時要幫助學生養(yǎng)成良好的審題習慣。審題通常分為這幾步：（1）讀題，初讀時理解題目大意；細讀時在關鍵處作一些標記符號，信息量比較大時還要學會整理信息，便于解答。（2）分析，即厘清數(shù)量關系，找到解題思路。（3）列式解答，根據(jù)數(shù)量關系列式并演算。（4）檢驗，將算出的答案當成條件代入原題，看是否符合題意。學生需在反復訓練中養(yǎng)成規(guī)范的答題習慣，有效提高解題正確率。

2.加強實際應用訓練，積累知識點。

強化相似題型訓練，通過練習幫助學生彌補相關常識不足的缺陷，并形成正向的慣性思維，遇到相似題會習慣性地從生活實際出發(fā)，想一想究竟是求哪幾個面的面積。

【練習】

1.用鐵皮做一個長12 分米、高20 厘米、寬20厘米的無蓋長方體飲水槽。

（1）至少需要多少鐵皮？

（2）這種形狀的飲水槽最多能盛水多少升？（水槽厚度不計。）

2.周山小學大門口有8 節(jié)臺階，每級臺階長8米、寬0.5 米、高0.3 米。藝術節(jié)期間,學校準備給這些臺階鋪紅地毯，至少要買多少平方米的紅地毯？

3.有一個長方體土坑，從里面量長20 米、寬6米、高15 分米。李叔叔已經(jīng)往土坑里填了80 立方米的沙土，還要再運來多少立方米沙土才能把土坑填滿？

4.周山小學準備把教室重新粉刷一遍，已知教室長10 米、寬7 米、高3 米，門窗總面積為20 平方米。請問20 個教室一共刷多少平方米的油漆？

5.王老師家添置了一個長6 分米、寬40 厘米、高30 厘米的玻璃魚缸。

（1）這個玻璃魚缸共需要多少平方分米玻璃？

（2）王老師的女兒童童不小心碰碎了魚缸前面，需要重新配一塊多大的玻璃？

【錯例7】

用一個長30 厘米、寬12 厘米、高8 厘米的長方體魚缸來測量一個鐵塊的體積，容器中水原來有7 厘米深。當鐵塊放入容器中，有部分水溢出，把鐵塊取出后，水面下降2 厘米，求鐵塊的體積。

錯解一：30×12×（8-7）=360（立方厘米）

錯解二：30×12×[8-（7-2）]=1080（立方厘米）

正確答案：30×12×2=720（立方厘米）

【診斷】

1.不會靈活機動。

學生往往關注到放鐵塊前后的變化，這是沒有水溢出的情況，形成了思維定式，不能夠靈活變通。對于錯解二，是因為有的學生對下降2 厘米理解有偏差，2 厘米是指與水滿時比較，而不是與原來7 厘米對比。

2.缺乏深度思考。

“當鐵塊放入容器中，有部分水溢出”，但溢出多少未知，在這樣的情況下，“老方法”已經(jīng)不能夠解決“新問題”，有的學生沒能及時調整思路，從取出前后進行對比。

【對策】

1.充分訓練，促進深度思考。

通過看似相同實則不同的題型訓練，引導學生試錯，在一次次對比辨析中逐步掌握技巧，習得正確方法，以彌補自身思維的局限性，養(yǎng)成深度思考的好習慣。

2.逐步構建，提升思維能力。

不同題型對應不同的數(shù)學模型，引導學生在訓練中逐步歸類總結，在建模和用模的過程中不斷豐富自己的認知，提升思維能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學核心素養(yǎng)。

【練習】

1.在一個長7 分米、寬5 分米、高4 分米的長方體玻璃容器中，水深3.8 分米，把一個實心鐵球浸沒在水中，水溢出了7.5 立方分米。求這個鐵球的體積。

2.長方體玻璃缸長8 分米、寬4 分米、高5 分米，水深4.5 分米。如果投入棱長為3 分米的正方體鐵塊，缸里的水溢出多少升？

3.一個長3 分米、寬2 分米、高3.5 分米的長方體容器，水深3 分米，放進10 個相同的實心球后，溢出2 升水。每個球的體積是多少立方分米？

4.一個長方體玻璃容器長10 分米、寬6 分米、高4 分米，水深3 分米，如果投入一個棱長為6 分米的正方體石塊，玻璃容器的水溢出多少升？

（江蘇省高郵市周山鎮(zhèn)實驗小學 王 鋒）

統(tǒng)計與概率

【錯例1】

如圖，圓盤中有一根指針，上下兩個箭頭。轉動轉盤，將轉盤停止后指針所指區(qū)域內(nèi)兩端的數(shù)相乘，得到的乘積（ ）。

A.偶數(shù)可能性大

B.奇數(shù)可能性大

C.奇數(shù)、偶數(shù)可能性相等

錯解：B

正確答案：A

【診斷】

1.對題目要求理解不透。

學生對自然界和生活情境中的隨機現(xiàn)象比較熟悉，但對抽象出來的隨機現(xiàn)象會感到有些陌生。因為轉盤中奇數(shù)較多，就誤以為從中任意選兩個數(shù)，這兩個數(shù)的積是奇數(shù)的可能性大，實際上本題關注的是指針所指的兩數(shù)之積。

2.對解題策略運用不當。

學生忽視了列舉、推理等策略的運用，導致想問題比較片面，解答時有重復和遺漏。實際上本題需要對指針所指的兩數(shù)之積一一列舉，然后根據(jù)積的奇偶情況進行判斷，也可以用積的奇偶性規(guī)律進行推理。

【對策】

1.創(chuàng)建真實情境，豐富直觀體驗。

可能性對小學生而言比較抽象，教師要注意創(chuàng)建圍繞學生生活的真實情境，讓學生在提出猜想—收集數(shù)據(jù)—整理數(shù)據(jù)—分析結果的過程中，豐富對事物發(fā)生可能性大小的直觀體驗。

2.注重策略訓練，發(fā)展統(tǒng)計觀念。

學生對于現(xiàn)實背景中的真實問題，能根據(jù)數(shù)據(jù)提供的信息，判斷隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性。上例B 選項中，雖然奇數(shù)個數(shù)較多，但是運用列舉策略就可以直觀形象地表示出所有可能的結果。

【練習】

1.小明和小剛同時各拋一枚硬幣。這兩枚硬幣落下后如果朝上的面相同，算小明贏；如果朝上的面不同，算小剛贏。這個游戲的規(guī)則公平嗎？為什么？

2.兩人輪流擲小正方體，約定紅色面朝上甲得1 分，黃色面朝上乙得1 分。所擲正方體六個面上的顏色是（ ），規(guī)則公平。

A.1 紅、3 藍、2 黃

B.3 紅、1 綠、2 黃

C.2 紅、1 藍、1 綠、2 黃

【錯例2】

下面是兩個學校男生和女生人數(shù)統(tǒng)計圖，甲校和乙校的女生人數(shù)相比，下列說法正確的是（ ）。

A.甲校女生人數(shù)多

B.乙校女生人數(shù)多

C.甲、乙兩校女生人數(shù)一樣多D.無法比較

錯解：A

正確答案：D

【診斷】

1.對單位“1”理解不足。

觀察此題，不難發(fā)現(xiàn)兩個扇形統(tǒng)計圖所對應的單位“1”是不同的，那么直接比較百分比的大小沒有意義。由于兩校的總人數(shù)具體是多少題中沒有給出，那么就無法計算出各校的女生人數(shù)具體是多少。

2.對知識體系構建不牢。

學生容易被表象迷惑，根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中扇形面積大小，直接判斷出甲校的女生人數(shù)比乙校的女生人數(shù)多。扇形統(tǒng)計圖反映的是各部分量與總量之間的關系，這個關系通常用百分比表示，學生可能只記住了扇形統(tǒng)計圖跟百分比（百分率）有關，頭腦里沒有形成相關的知識體系，導致選擇錯誤。

【對策】

1.構建系統(tǒng)認知，強化對單位“1”的理解。

教材中扇形統(tǒng)計圖部分內(nèi)容不多，教師在教學時要充分考慮學生的知識現(xiàn)狀，帶領學生由淺入深地認識扇形統(tǒng)計圖。引導學生了解扇形統(tǒng)計圖可以更好地表達和理解百分數(shù)，體會部分與整體的關系，明白在單位“1”不同的情況下比較百分數(shù)大小是沒有意義的。

2.加強對比聯(lián)系，突出部分與整體的關系。

引導學生不僅能從整體上觀察項目信息，了解各部分占總量的百分數(shù)，還能在對比中找出部分與整體的對應關系，從而解決實際問題。另外，教師要有意識地培養(yǎng)學生對文本、圖表信息的獲取與加工能力，進一步發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念。

【練習】

1.六（1）班數(shù)學期末測試情況統(tǒng)計圖如下。已知優(yōu)秀12 人，良好30 人。根據(jù)以上情況將統(tǒng)計圖補充完整，并回答問題。

六（1）班數(shù)學期末測試情況統(tǒng)計圖

（1）六（1）班參加數(shù)學期末考試的有（ ）人。

（2）（ ）的人數(shù)最多，（ ）的人數(shù)最少，兩者相差（ ）人。

（3）本次考試的及格率是（ ）%。

2.根據(jù)統(tǒng)計圖回答問題。

開發(fā)區(qū)小學各學科教師情況統(tǒng)計圖

（1）語文教師占全體教師人數(shù)的百分之幾？

（2）哪兩個學科的教師人數(shù)差不多？

（3）哪個學科的教師人數(shù)最少？

（4）如果該學校有200 名教師，綜合學科的教師有多少名？

【錯例3】

芳芳從家出發(fā)去看電影，當她走了大約一半的路程時，發(fā)現(xiàn)沒帶電影票，于是她立刻跑回家取票，之后又趕緊跑到電影院，看完電影再走回家。下面圖（ ）符合題目中所描述的情況。

錯解：B

正確答案：A

【診斷】

1.關鍵信息獲取錯誤。

部分同學沒有關注到芳芳是“跑”回家取的電影票，選擇了B。這一半路程，去時是走，返回取票是跑，走比跑所用時間要長，而B、C 選項中前一半路程去和返回時間是相同的，所以不對，還有B 選項中返回取票地點超過了路程的一半，也不符合要求。

2.對數(shù)量關系分析錯誤。

有的學生沒有注意到路程和時間的數(shù)量關系，選擇了D。選項D 一開始的速度為0，且不是從家出發(fā)的，而是開始就在一半路程處停留了一段時間，不符合要求。

【對策】

1.設計實際問題，加強識圖訓練。

教師應給予學生足夠的時間觀察了解圖中的信息，并讓他們充分地交流、整理、分析，再進行判斷。教師可以設計一些真實情境中用統(tǒng)計方法處理的現(xiàn)實問題，讓學生自己處理分析數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)，最終解決實際問題。

2.賦予實際背景，注重數(shù)據(jù)分析。

折線統(tǒng)計圖教學中，教師要引導學生理解折線統(tǒng)計圖的主要功能是表達數(shù)據(jù)的變化趨勢。教學中教師要盡可能地為這些數(shù)據(jù)賦予實際背景，比如折線統(tǒng)計圖選用的數(shù)據(jù)都是連續(xù)性的數(shù)據(jù)，可以設計賽跑、氣溫等學生熟悉的真實背景，使學生在應用中自然地掌握統(tǒng)計圖的特征，了解統(tǒng)計圖的意義與價值。

【練習】

1.烏龜和兔子賽跑，兔子開始就超過烏龜很遠，于是驕傲起來，在路旁睡了一覺，而烏龜一直往目的地跑，當兔子醒來后，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，急忙追趕，但為時已晚，烏龜先到達了終點。圖（ ）描述的是這則故事。

小烏龜覺得自己再努力跑步也比不上兔子，決定借助工具，于是苦練滑板，第二次烏龜帶著滑板和兔子比賽，最后烏龜贏了。圖（ ）描述了這樣一則故事。

2.下面是環(huán)球書店、三味書店2019—2022 年銷售情況統(tǒng)計圖：

（1）（ ）年環(huán)球書店銷售情況最好，達（ ）萬元。

（2）（ ）年兩個書店銷售額相差最大，達（ ）萬元。

（3）哪家書店要調整經(jīng)營策略，為什么？

【錯例4】

看圖回答問題：這個班至少有多少人？

五（1）班體育測試合格人數(shù)統(tǒng)計圖

錯解：25+23+17+25+20+15+12+7=144（人）

正確答案：25+25=50（人）

【診斷】

1.對數(shù)據(jù)特征不了解。

學生沒有經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動過程，對數(shù)據(jù)特征缺乏充分了解，沒有進行綜合分析導致出錯。

2.對數(shù)據(jù)分析不深入。

學生沒有仔細審題，就將所有數(shù)據(jù)相加，根本沒有分析每個數(shù)據(jù)背后的含義，沒有厘清數(shù)據(jù)與所求問題間的關系。

【對策】

1.創(chuàng)建現(xiàn)實背景，發(fā)展應用意識。

通過現(xiàn)實背景讓學生理解條形統(tǒng)計圖中橫軸和縱軸的意義，知道條形統(tǒng)計圖可以直觀比較不同類別事物的數(shù)量。設計真實的實踐活動，有利于培養(yǎng)學生從日常生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的能力，發(fā)展應用意識。

2.滲透數(shù)據(jù)意識，培養(yǎng)分析觀念。

學生能根據(jù)問題的需要，從報紙、雜志、電視、互聯(lián)網(wǎng)等媒體上獲取數(shù)據(jù)，能把數(shù)據(jù)整理成統(tǒng)計圖表，知道不同統(tǒng)計圖的不同功能，會解釋統(tǒng)計圖表達的意義，能根據(jù)結果進行簡單的判斷、推理和預測，促進數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)。

【練習】

1.希望小學四至六年級人數(shù)情況如下：

四年級：男生88 人，女生84 人；

五年級：男生106 人，女生75 人；

六年級：男生142 人，女生119 人。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，畫出希望小學四至六年級男、女生人數(shù)的條形統(tǒng)計圖。

2.這學期五年級共98 人參加了2419 次志愿活動，下圖是各班平均每人參加志愿服務次數(shù)的條形統(tǒng)計圖，已知五（3）班有33 人參加了志愿活動，平均每人參加了28 次，五（2）班有多少人參加了志愿活動？

各班平均每人參加志愿服務次數(shù)的條形統(tǒng)計圖

【錯例5】

乒乓球隊8 名隊員平均體重43 千克。趙強體重39 千克，他加入乒乓球隊后，現(xiàn)在乒乓球隊隊員的平均體重與原來相比，（ ）。

A.比原來輕 B.與原來一樣

C.比原來重 D.無法比較

錯解：D

正確答案：A

【診斷】

1.對平均數(shù)理解不透。

本題學生對于“平均體重”理解不深刻。平均數(shù)可以通過刻畫一組數(shù)據(jù)的集中程度表達總體的集中情況，求平均數(shù)可采用“移多補少法”。趙強體重低于原來的平均體重，他加入后，其他人需要拿出體重補給他，那么整體的平均體重就有所減少。

2.對數(shù)據(jù)處理欠缺。

學生在解題時不能結合題目中所有數(shù)據(jù)的特點綜合考慮，沒有厘清其他數(shù)據(jù)和平均數(shù)的關系。比如39比平均數(shù)43小，會拉低整體的平均值。

【對策】

1.借助熟悉的情境，理解平均數(shù)的意義。

平均數(shù)教學中，教師要引導學生在熟悉的情境中理解平均數(shù)所具有的代表性。比如讓學生經(jīng)歷收集體現(xiàn)社會發(fā)展或科技進步數(shù)據(jù)的過程，體會平均數(shù)的統(tǒng)計意義。

2.收集相關的實際問題，形成初步的數(shù)據(jù)意識。

引導學生自主探索平均數(shù)的不同算法，感悟不同數(shù)據(jù)與平均數(shù)的關系，能用平均數(shù)解決有關的實際問題，形成初步的數(shù)據(jù)意識和應用意識。

【練習】

1. 4 名學生的平均體重是35 千克，再加上第5 名學生的體重后，平均體重多了1 千克，第5 名學生的體重是（ ）千克。

2.雙語小學去年用水情況統(tǒng)計如下：

?

去年平均每個月用水多少噸？