經歷表征過程 關注意義理解

黃琴 史貝貝

【摘? ?要】數與運算是數學教學中的重要內容之一。數概念與數運算的核心是計數單位和十進制計數法。其中，計數單位是數建構的基礎，十進制計數法是計數的規則。教學“小數意義”時，用計數單位和十進制計數法統領教學，不僅能解釋數的意義，打通整數與小數、分數之間的“隔斷墻”，還能打通數概念與數運算的藩籬，讓碎片化的知識系統化、結構化，助力學生類比遷移、互融共通等能力的提升。

【關鍵詞】核心概念；計數單位；類比；遷移；一致性

數與運算是數學教學中的重要內容之一。《義務教育數學課程標準（2022年版）》對“數與運算”的學習提出要求：“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。”數概念與數運算的核心是計數單位和十進制計數法。其中，計數單位是數建構的基礎，十進制計數法是計數的規則。在“小數意義”的教學中，用計數單位和十進制計數法統領教學，可幫助學生實現數的認識與數的運算的互融互通、共生共長。

一、探尋認知基礎，確定教學目標

學生對小數的意義有怎樣的認知基礎呢？筆者對某校四年級200名學生進行了前測，請他們畫圖表示1.3、0.23、0.354。前測發現，能用圖將三個小數意義表示得清晰準確的學生分別占被測學生總數的64%、40%和7.5%。可見，有了三年級一位小數的學習基礎，多數學生能夠畫圖表征一位小數，但表征三位小數仍存在困難。因此，把學生原有的對一位小數的認知經驗進行遷移和擴展，得到更多、更小的計數單位，并在此基礎上引導他們理解計數單位之間的關系，是教學的重點所在。

基于學生的認知基礎，結合用計數單位與十進制計數法統領教學的教學思路，確定本課的教學目標有以下三點。

1.從整數的表征切入，關聯小數的意義，學習小數的表征方式。

2.結合畫圖，體驗小數計數單位的產生過程，在數位討論中，體驗“十進制”擴展的必然性。

3.結合在數位順序表上擺方塊圖的活動，溝通整數與小數，理解計數規則。

二、聚焦意義理解，展開教學實踐

學生是學習的主體。教師要結合學生的原有認知展開教學活動，引導學生進行意義上的自主遷移。本節課中，學生要經歷畫圖表征的過程，在對比中發現整數、小數的聯系，厘清十進制計數法中計數單位產生的原理，體會數意義上的一致性。教學時還可以通過鏈接運算，引導學生結合計數單位與十進制計數法，感受數意義的一致性在計算過程中的體現。

（一）自主遷移，初步理解小數的意義

1.經驗喚醒，說整數的意義。

師：122這個數表示什么意義？

生：1個百、2個十、2個一。

生：122個一。

生：12個十、2個一。

師：他們在說意義的時候，有什么相同點？

教師根據學生的說法小結：描述整數的意義時，要說清楚計數單位和單位的個數。

2.自主遷移，說小數的意義。

師：1.22又表示什么意義呢？你能像說整數意義一樣說說它的意義嗎？

生：122個0.01。

生：1個1、2個0.1、2個0.01。

教師根據學生表述把1、0.1和0.01圈出并板書“計數單位”和“個數”。

（二）畫圖表征，體驗小數計數單位的產生

1.教師出示學習任務，請學生畫圖表示1.22的意義。

學生獨立完成后，教師呈現部分學生的作品。（如圖1）

2.教師引導學生進行交流反饋，理解兩位小數的意義。

（1）明確計數單位的作用。

師：幾號作品讓人一眼就能看出1.22的意義？

生：①號和③號都能看出1.22表示1個1、2個0.1、2個0.01。

生：②號沒有標計數單位，這幅圖也可以看成122。

師：要表示清楚數的意義，一定要先確定計數單位。

（2）借助“方格圖”體會計數單位0.01是怎么來的。

師：0.01這個計數單位是怎么來的呢？

生：把1平均分成10份，1份是0.1；把0.1再平均分成10份，1份就是0.01。

生：比如表示1.22，如果用1個正方形表示1，那么把1平均分成十份，每份是1個小長方形，其中2個小長方形就是0.2。把每個小長方形再平均分成10份，每份是1個小正方形，那么2個小正方形就是0.02。1、0.2和0.02合起來就是1.22。

學生一邊說，教師一邊結合作品③，用課件展示計數單位細分的過程。（如圖2）

3.結合對比、交流，引導學生感悟整數與小數意義表征的一致性。

教師先引導學生討論：整數與小數在表示數意義的時候有什么相同點？然后歸納小結：1.22還可以表示122個0.01或者12個0.1和2個0.01，同樣一個小數，用不同的計數單位表示，計數單位的個數也會不同。同整數一樣，小數也可以用“個數+計數單位”來表示。

（三）關聯求同，厘清計數單位產生的原理

1.借助計數器，推算更小的計數單位。

教師呈現計數器，請學生借助計數器，說一說0.1、0.01在計數器上分別在哪里，是怎么來的，并思考，還有更小的計數單位嗎？

生：十分位上的一顆珠子表示0.1，它可以看作是將個位上的1平均分成10份得來的。

教師引導學生繼續結合計數器說0.01（百分位）、0.001（千分位）……的意義。

2.厘清、感知計數單位產生原理的一致性。

師：小數的計數單位也是按照“十進制”的規則產生的嗎？

生：整數里相鄰兩個計數單位之間有滿十進一、退一作十的關系，小數里面也有這樣的關系。

生：一個計數器不能有兩套計數規則，所以小數肯定也和整數一樣，是按“十進制”的規則來計數的。

教師結合學生的描述，利用課件和板書進行梳理。（如圖3）

（四）鏈接運算，感受數意義在計算中的體現

教師出示學習任務，請學生嘗試獨立計算1.22與7.8的和。學生嘗試計算后出現了三種答案：9.02、2、8.3。

師：上面三種答案哪種是正確的？第二個加數中的8應該跟第一個加數中的幾相加？為什么？

生：因為8表示8個0.1，所以第二個加數中的8應該跟第一個加數中十分位上的2相加。

師：為什么不與百分位上的2相加？

生：因為計數單位不一樣。

教師用課件演示十分位上的“8”累加的過程。（如圖4）

教師小結：小數的加減法計算就是將小數中相同計數單位上的數進行加減，小數加減法同樣滿足滿十進一、退一作十的規則。

三、回顧與反思

當前教材中，整數、小數、分數的意義在呈現時各具特色，而以“計數單位”這一核心觀念統領，可以鏈接所有數的意義教學，并以此形成運算教學的支架。在“小數意義”的教學實踐中，教師設計學習活動，引導學生將表征整數122意義的經驗自主遷移至表征小數1.22的意義上來。學生在獨立思考、自主探索的過程中發現，表征整數與小數時都是用“數字+計數單位”的方式，產生的新的計數單位都與十進制有關（或者是十倍十倍地擴大，或者是十分之一十分之一地縮小）。他們的學習遷移能力應運而生，認知結構不斷得到優化與完善。

小數雖然與十進分數息息相關，但其所蘊含的分數意義卻是非常弱的。在理解小數意義時，十進、十分是教學的重點。從“計數單位”入手，借助形的直觀性和計數規則的一致性，能夠幫助學生實現對抽象的數的理解。如本課中，學生在認識小數1.22時，教師借助兩大直觀模型幫助他們厘清小數的意義。一是用面積模型表示1.22，通過把正方形“1”平均分成10份，每份是0.1，再把0.1平均分成10份，每份是0.01，直觀感受小數計數單位產生的過程。二是在用計數器模型表示1.22時，通過兩個核心問題“繼續細分下去，會產生怎樣的小數單位？”“為什么還是以‘十進制的規則細分？”，讓學生在“不斷累加、不斷細分”的體驗中，深刻感悟小數和整數在計數規則上的一致性。

所有數運算的算理，都離不開數意義的支撐。在加減法中，無論是整數、小數還是分數，都是將相同計數單位的數進行累加或消減。所以在教學“數的運算”之前，首先得弄清楚一個數分別是由怎樣的計數單位組成的，然后才能做到把兩個或多個相同計數單位上的數進行相加或相減。計數單位這個“承重墻”能夠讓學生真正感受到數意義與數運算本身所具有的“一致性”，幫助學生完善數概念和數運算的認知體系，促進學生思維的進階。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］馬云鵬.聚焦核心概念? ?落實核心素養：《義務教育數學課程標準（2022年版）》內容結構化分析［J］.課程·教材·教法，2022，42（6）：35-44.

［3］吳正憲，張秋爽.整體把握教材? ?突出數概念本質：“小數的意義與性質”單元教學思考［J］.小學教學（數學版），2020（5）：25-27.

［4］鞏子坤，劉萍.論數的概念與運算的一致性之三：整數運算整理、算法的一致性［J］.小學數學教師，2022（10）：77-81.

［5］孟范舉，李永勝.核心概念統領下的小學數學單元整體教學改進策略研究［J］.吉林省教育學院學報，2021，37（23）：29-33.

（1.浙江省湖州市安吉縣教育科學研究中心

2.浙江省湖州市安吉縣紫梅小學）