用好變式策略，發展核心素養

藍海鵬

【摘? ?要】重復練習、低水平訓練是現實教學中常見的現象。為了解決這個問題，教師可以采用變式的方法，根據教材中的一道習題變化出各種層次的題目，把相關知識串聯起來，讓學生在不同層次的習題練習中，以少練、精練實現減負提質增效。以一道計算平行四邊形面積的習題為例，提出“從復雜變簡單、從直接變間接、從正向到逆向、從封閉到開放、從單一到綜合、從靜態到動態、從數學到生活”七個變式策略，幫助學生有效鞏固基礎知識，形成基本技能，提升數學能力，發展數學核心素養。

【關鍵詞】變式策略；平行四邊形面積計算；核心素養；習題

“雙減”政策頒布以來，作業設計成為專家、學者和一線教師共同關注的焦點。然而，現實教學中仍然存在重復練習、低水平訓練的現象，導致學生只能停留在“了解”“理解”水平，很少達到“掌握”“運用”水平。為了解決這個問題，教師可以采用變式的方法，根據教材中的一道習題變化出各種層次的題目，把相關知識串聯起來，讓學生在不同層次的習題練習中，以少練、精練實現減負，提質增效，幫助學生有效鞏固知識、形成技能，提升數學能力，發展數學核心素養。

那么，怎樣將一道習題變式為具有探索性和綜合性的習題，以促進學生的深度學習，發展數學核心素養呢？具體有哪些習題變式的基本策略呢？下面以一道計算平行四邊形面積的習題為例談談具體做法。

一、原題呈現與價值分析

【原題】如圖1，計算這個平行四邊形的面積。

這是人教版教材五年級上冊“練習十九”第2題中的第（3）小題，屬于平行四邊形面積計算的常規性習題，主要考查學生是否能運用公式求平行四邊形的面積，以發展學生的公式應用意識和運算能力。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在課程內容中指出：“探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式”“在圖形認識與測量的過程中，進一步形成量感、空間觀念和幾何直觀”“會計算平行四邊形、三角形、梯形的面積，能用相應公式解決實際問題”。由此可見，在公式的探索、應用過程中，還應同時發展學生的核心素養。為此，教師可采用七種策略，對這道題進行適當變式，助力學生發展核心素養。

二、變式策略

變式時，應以平行四邊形面積的計算為基礎，融合三角形、正方形、長方形、梯形的面積計算等知識，設計不同層次的習題，從而發展學生的運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、應用意識和創新意識。

（一）從復雜變簡單

當原題給出的條件較多時，可以通過減少條件或改變所求問題，使變式題變得簡單、有針對性。

【變式1】如圖2，已知AB=2 cm，DE=2.4 cm，求平行四邊形ABCD的面積。

【變式2】如圖2，已知DE=2.4 cm，BC=3 cm，DF=1.6 cm，求平行四邊形ABCD的面積；

【變式3】如圖1，求平行四邊形的周長。

變式價值：理解和運用平行四邊形的面積公式、周長公式進行計算。

（二）從直接變間接

把原題中的一些直接條件變為間接條件，增加題目的難度，從而提高學生解決問題的靈活度和綜合能力。

【變式4】如圖2，已知DE=2.4 cm，BC=3 cm，平行四邊形ABCD的周長是10 cm，求平行四邊形ABCD的面積。

變式價值：鞏固平行四邊形的面積公式、周長公式，提高分析和解決問題的能力。

（三）從正向到逆向

平行四邊形面積公式的正向考查：已知平行四邊形的底及對應的高，求面積。逆向考查：已知平行四邊形的面積和一條底（或高），求對應的高（或底）。

【變式5】如圖2，已知平行四邊形ABCD的面積是4.8 cm2，AB=2 cm，求DE。

【變式6】如圖2，已知平行四邊形ABCD的面積是4.8 cm2，DE=2.4 cm，DF=1.6 cm，求AB或BC（或求平行四邊形ABCD的周長）。

變式價值：逆用平行四邊形的面積公式，理解面積與高、底之間的關系，發展逆向思考能力。

（四）從封閉到開放

封閉性數學問題的條件通常指向所求問題，所求問題或結論也是唯一的。而開放性數學問題的條件和問題并不一定對應，具有開放性。

1.條件開放

【變式7】如圖2，已知平行四邊形ABCD的邊長都是整數，面積是4.8 cm2，周長是10 cm，求AB、BC、DE和DF。

解題分析：由“周長是10 cm”可得到兩條鄰邊的和為5 cm。又因為“邊長都是整數”，利用分類討論，可知這兩條邊長AB和BC可能是1 cm與4 cm或2 cm與3 cm。再根據“面積是4.8 cm2”，求出DE和DF。

變式價值：逆用公式，滲透分類討論思想。

【變式8】如圖2，已知平行四邊形ABCD相鄰兩邊的長分別是6 cm和4 cm，一條高是5 cm，求這個平行四邊形的面積。

解題分析：分兩種情況，即這條高分別是兩鄰邊的高。第1種情況，AD=4 cm，高DE=5 cm，結果不成立，排除。第2種情況，AD=6 cm，高DE=5 cm，結果成立，可以求出問題。

變式價值：靈活運用公式解決數學問題，滲透分類討論思想，發展說理能力。

2.綜合性開放

【變式9】已知一個平行四邊形，請按要求完成任務。

（1）畫一條線，把平行四邊形分成面積相等的兩個部分，并說明理由。

（2）畫一條線（可以是曲線），把平行四邊形分成周長相等的兩個部分。

解題分析：問題（1），連接一組對邊的中點或畫兩個對角頂點的連線（對角線），共4種情況（圖略）。

問題（2），學生一般會認為周長相等意味著圖形的形狀和大小都一樣，面積也相等。實際上，周長相等并不一定要圖形面積相等或圖形形狀大小一樣，而是有無數種情況。

變式價值：解決新的問題，培養綜合運用能力和創新意識。

（五）從單一到綜合

從圖形的構成角度思考，幾何類習題包括簡單圖形和復雜圖形。通過把簡單圖形變成復雜圖形，可以形成綜合性探索問題，考查學生運用知識解決問題的能力。

1.由基本圖形串聯相關圖形

【變式10】如圖3，網格中的小正方形邊長都是1 cm，某個圖形只露出它的一條邊和這條邊上的高。已知圖形的邊長和高都是整數，猜一猜，完整的圖形可能是我們學過的哪些幾何圖形呢？請你把想到的圖形畫出來，并求出這個圖形的面積。

變式價值：溝通幾種常見幾何圖形的面積，鞏固畫圖技能，發展逆向思維和分散思維能力。

2.由多個相同圖形組成復雜圖形

【變式11】：如圖4，兩個平行四邊形的形狀和大小完全一樣，通過平移把它們合在一起，可構成一個新的平行四邊形。請在網格上（網格上的小正方形邊長都是1 cm）按要求畫出新的平行四邊形（頂點在網格點上），并回答問題。

（1）新的平行四邊形面積比兩個平行四邊形面積的和少，有哪些拼的方法？你能計算出每種拼法的面積是多少嗎？

（2）新的平行四邊形周長比兩個平行四邊形周長的和少，有哪些拼的方法？你能計算出每種拼法的周長是多少嗎？

【變式12】如圖5，平行四邊形ABCD和BEFC完全相同，BE=2 cm，EF=3 cm，DG=2.4 cm。求DH。

【變式13】如圖6，平行四邊形ABCD、BEFC、EGHF完全相同，DP=2.5 cm，EG=1 cm，GH=3 cm。求DQ。

【變式14】如圖7，平行四邊形ABCD和DCEF完全相同，AB=2 cm，DG=2.4 cm，FH=1.6 cm。求CE。

解題分析：先求組合平行四邊形的面積，再逆用公式求邊長。

變式價值：培養學生分析復雜圖形、借助所學知識解決新問題的能力。

3.由單一圖形衍生復雜圖形

【變式15】如圖8，已知平行四邊形AECF，分別延長CF和AE，使得DF=CF，BE=AE，得到平行四邊形ABCD，其中平行四邊形ABCD的面積是9.6 cm2。求平行四邊形AECF的面積和三角形AFD的面積。

【變式16】如圖9，已知平行四邊形AECF，分別延長CF和AE，得到長方形ABCD。測得AB=6 cm，BC=3 cm，AE是EB的2倍。求平行四邊形AECF的面積和三角形AFD的面積。

【變式17】如圖10，分別以平行四邊形ABCD的BC、AD為邊，向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的面積之和為15 cm2。DG=1.6 cm，EP=2.5 cm。求平行四邊形ABCD的面積。

【變式18】如圖11，平行四邊形ABCD的邊AB=2 cm，高DH=1.6 cm，周長為10 cm，以BC邊向外作正方形BEFC。求正方形BEFC的面積。

4.知識點的綜合

【變式19】如圖12，已知平行四邊形ABCD中，AB=2 cm，AE是EB的3倍，DE=2.4 cm。點G和點H分別是DE和AD的中點，連接HG。

（1）求△AED的面積；（2）求△HGD的面積；（3）求四邊形AEGH的面積。

變式價值：運用轉化思想，靈活運用三角形面積的計算方法，解決三角形和四邊形等積變形問題，發展運算能力和推理意識。

（六）從靜態到動態

用運動的觀點看待靜態中的問題。通過變式，讓原題中靜態的圖形“動”起來，形成新題，深度理解平行四邊形的面積，同時探索得到更多新知。

1.平行四邊形兩鄰邊不變，探索高的變化

【變式20】一個平行四邊形，相鄰兩條邊分別是2 cm和3 cm，以2 cm的邊為底的平行四邊形的高的最大值是多少？

解題分析：畫出圖13，固定AB，DA繞點A往左拉動，高DE不斷變長，直至點E與點A重合，得到長方形ABCD。由于“高要畫在底邊AB上”，所以此時高DE是符合條件的最大值，DE=DA=3 cm。

變式價值：在運動變化中，理解平行四邊形與長方形的關系，發展幾何直觀、空間觀念和推理意識。

2.正方形、長方形利用同底變形成平行四邊形，探索面積的變化

【變式21】如圖14，正方形ABCD的邊長是2 cm，求拉動后形成的平行四邊形ABEF的面積。

【變式22】如圖15，長方形ABCD的寬是2 cm，面積是4.8 cm2。求平行四邊形ABEF的面積。

變式價值：體會同底等高的正方形、長方形和平行四邊形的面積和位置關系，發展幾何直觀和推理意識。

3.長方形的兩鄰邊不變，探索以長方形的長和寬為鄰邊的平行四邊形的面積變化

【變式23】如圖16，一個可活動的長方形ABCD的寬是3 cm，長是4 cm。把它拉成一個平行四邊形ABEF，AF=AD=4 cm，它的周長和面積有什么變化？

解題分析：學生在探索中發現，周長不變，且由于底不變，高變短了，所以所得的平行四邊形的面積變小了。

變式價值：探索兩鄰邊相等的長方形與平行四邊形的周長和面積的關系，發展幾何直觀和推理意識。

（七）從數學到生活

數學習題分為純數學問題和應用性問題。通過改變原題的純數學問題背景，可以將其變成現實應用性問題。平行四邊形的面積在生活中有著廣泛應用，將原題變式為應用問題，考查學生運用知識解決實際問題的能力，培養學生的應用意識和創新意識。

1.挖水池問題

【變式24】一塊平行四邊形菜地兩鄰邊的長分別為4 m和3 m。沿著菜地的一邊挖掉一個長1.5 m、寬1 m的長方形蓄水池，剩下部分的周長是多少？

2.停車位問題

【變式25】圖17是根據實際測量繪制出的某地人行道上的電動摩托車停車位。請結合示意圖說一說，為什么電動摩托車的停車位要畫成平行四邊形？

解題分析：現實中，停車位（包括汽車停車位）一般畫成平行四邊形，主要是為了便于停車、開車。此外，還考慮到了人行道的寬度問題。

變式價值：發展應用意識和推理意識。

三、啟示

（一）怎樣的變式才是好的變式

對一道計算平行四邊形面積的習題進行變式，形成的習題分為兩類：一類是學完這一內容后的變式。有的是基礎的變式，可以作為學生的鞏固練習；有的是綜合性、探索性和挑戰性的變式，可以作為學生的拓展練習。另一類是單元學習后的變式，強調相關數學知識之間的內在聯系，體現知識的遷移應用，具有很強的綜合性和拓展性，對發展學生的核心素養有著重要作用。教學時，可以根據學生的實際情況選擇其中的習題，供不同層次的學生進行練習，從而促進各層學生的學習進階。

（二）怎樣對一道習題進行變式

《促進高階思維發展的習題變式策略探究》［1］一文提出了變式的六個策略，即從直接變間接、從正向到逆向、從封閉到開放、從單一到綜合、從靜態到動態、從數學到生活。《“一次多練”不如“一題多變”——以平行四邊形面積計算的一道習題為例》［2］一文，將這道題進行六個層次的變式，即原題練習、改編數據、逆用公式、改編為文字題、多元變換和自主編題。筆者在借鑒前人研究的基礎上，通過七個策略對一道平行四邊形面積計算的習題進行變式，形成二十五道新的習題。

總之，在進行作業設計時，教師可根據這些策略對教材中的一些基本習題進行變式，讓教材中無序的習題變得系列化、層次化和系統化，幫助學生有效鞏固基礎知識，形成基本技能，提升數學能力，發展數學核心素養。

參考文獻：

［1］唐彩斌，慕振亮.促進高階思維發展的習題變式策略探究［J］.小學教學研究，2019（28）：53-56.

［2］章宏俊.“一次多練”不如“一題多變”：以平行四邊形面積計算的一道習題為例［J］.教學月刊·小學版（數學），2022（3）：45-46.

（廣東省清遠市教師發展中心）