基于有限差分法的填土邊坡復合結構受力特征分析

李漪,柴平穩,李珂,賀修安,王紅偉

(1.湖北省電力勘測設計院有限公司,武漢 430040;2.國網經濟技術研究院有限公司,北京 102209;3.中國地質大學(武漢)工程學院,武漢 430074)

邊坡在天然情況下總是處在一定的應力平衡狀態,這種初始的應力狀態是由巖土體自重應力場與構造應力在長期的相互作用中形成的,但在外界誘發因素作用下,會打破邊坡原始應力狀態,導致邊坡失穩,最后演變成地質災害,影響人類正常的生產生活。

邊坡穩定性問題一直是學者們研究的重點[1-6],擋土墻是一種穩定邊坡的支檔結構,在地質災害治理中扮演著重要角色,在對擋土墻結構設計時需要考慮實際工程地質條件的影響,一般而言,在治理地基承載力較高的失穩邊坡時,單一的擋土墻結構可以滿足安全需求,但是工程實踐中常常會遇到地基軟弱層,若擋土墻修建在這種地基上,難以保證邊坡及整個支檔結構的長期穩定性,而抗滑樁可以穿過軟弱層并深入基巖,可以有效穩定邊坡[7-11]。有設計者提出了樁基托梁擋土墻結構,即當需要修建擋土墻所在場地的地基承載力不足時,在擋土墻下設置樁基礎,此時樁基礎可以有效提高擋土墻整體穩定邊坡的能力。對于此類結構,中外學者給予了高度關注。梁永輝[12]根據上海實際工程中的高填方邊坡可能的失穩破壞特征,提出了樁承式擋土墻支檔結構治理邊坡的設計方案,并對邊坡與防護措施相互作用關鍵問題進行總結。劉國楠等[13-14]為研究衡重式樁板擋墻受力特征,進行了與原型呈一定比例的室內模型試驗,研究了該支檔結構土壓力分布模式,并更細節的探討不同樁板尺寸、位置以及不同外荷載工況下對墻后土壓力的影響。董捷等[15]在對樁板墻加固填方邊坡中的土壓力問題進行試驗研究,得出當樁間采用柔性擋土板時能夠提高整體加固結構的穩定性,研究中還對施工期間樁前樁后土壓力特征進行探討,進一步明確了土壓力隨深度的變化特征。羅強等[16]研究了平動位移下衡重式擋墻背土體破裂面特征及土壓力的分布。

有關擋土墻受荷的研究多是基于試驗或者力學平衡原理求解擋土墻土壓力的大小,這是研究這種新型支檔結構的基礎,在研究托梁和樁基時,理論上將二者視為結構單元,在計算其受力特征時常常將兩者簡化為梁模型,不同的是,托梁常被視為水平地基上的橫梁,樁基被視為縱梁[17-18],理論計算中均是基于Winkler理論進行計算。余文杰[19]將托梁和樁基視為Winkler彈性地基上的梁模型,并采用初參數解法,給出了樁基托梁和樁基不同截面處撓度、轉角、剪力和彎矩的解析解,并用ABAQUS有限元軟件開展了樁基托梁擋土墻的數值研究;吳云峰[20]以某變電站高填土邊坡樁基托梁擋土墻為研究對象,將托梁簡化為連續梁和Winkler彈性地基梁,并將兩種梁模型進行理論對比計算。胡雪[21]也將樁基視為梁模型,采用理論與數值計算相結合研究樁基受力特征。

鑒于以上情況,首先闡述擋土墻所受土壓力基本計算方法,將土壓力水平和豎直荷載分別視為托梁和樁基的輸入荷載,簡化托梁和樁基為梁模型,基于有限差分法分別對托梁和樁基內力進行求解,最后將本文理論應用于實際工程案例研究。研究成果豐富了樁基托梁擋土墻設計理論,可為實際工程邊坡防護提供指導。

1 樁基托梁擋土墻結構

1.1 樁基托梁擋土墻特征

樁基托梁擋土墻是一種由樁基、托梁及擋土墻組成的新支檔結構,其綜合了擋土墻與樁基托梁結構的技術特點,不穩定土體荷載先由擋土墻承擔,隨后由擋土墻傳遞到托梁,再傳遞到樁基上,樁底嵌入穩定巖層內,巖層反力使得樁基托梁擋土墻整體結構穩定,可有效加固邊坡,是一種較優的支檔結構,常用于填土邊坡較高且下方地基承載力較小的情況,其常見的支護形式如圖1所示。

圖1 樁基托梁擋土墻結構圖Fig.1 Structure drawing of pile joist retaining wall

1.2 擋土墻土壓力計算理論

作用在擋土墻上的荷載主要為土壓力,如何計算土壓力對擋土墻的尺寸設計具有重要的指導意義。目前,關于擋土墻土壓力的計算模式較為系統和成熟,一般采用庫倫土壓力理論和朗肯土壓力理論進行計算,土壓力大小與擋土墻類型、場地地形以及土體性質等有關。對于扶壁式擋土墻而言,其三維結構如圖2所示。

圖2 扶壁式擋土墻結構示意圖Fig.2 Structural schematic diagram of buttress retaining wall

有關扶壁式擋土墻的土壓力計算問題,較為認可的計算方法是參照《建筑邊坡工程技術規范》(GB 50330—2013),如圖3所示,擋土墻向后延伸較長,形成L形擋土墻,并假定AB為墻背,且發生第二破裂面,此時墻背摩擦角與土體內摩擦角相等[19]。

α為第二破裂面與豎直線的夾角;H為墻身高度;θ為第一破裂面與豎直線的夾角;γ為墻背與豎直線的夾角;H為擋土墻高度圖3 扶壁式擋土墻土壓力計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of earth pressure on buttress retaining wall

根據圖3可以確定墻后土體可能的第一破裂角及第二破裂角,其表達式分別為

(1)

式(1)中:φ為土體內摩擦角;β為墻后填土表面與水平線的夾角;ε為破裂面夾角,其表達式為

(2)

當γ>α,表示第二破裂面與填土夾角位于AC之間,此時破裂面自由出現;當γ≤α時,此時可假定墻背作為第二破裂面,則土壓力計算表達式為

(3)

式(3)中:Ex為墻后水平主動土壓力;Ey為墻后豎向主動土壓力;δ為墻后土體容重;Ea為作用于破裂面上的土壓力,可表示為

(4)

式(4)中:W為破裂土體自重。

2 基于有限差分法的理論計算

2.1 基于有限差分法的托梁內力計算理論

托梁處于擋土墻和下方基樁的中間,主要起連接作用,可將作用于擋土墻的荷載傳遞到樁體上,在分析托梁受力特征時,分為連續梁和彈性地基梁兩種計算方法對托梁內力進行計算,托梁及樁基三維示意圖及二維平面圖如圖4和圖5所示[19]。

q為托架上覆勻部荷載圖4 樁基托梁結構圖Fig.4 Structure diagram of pile foundation joist

L為計算跨度圖5 托梁樁基簡化受力簡化圖Fig.5 Simplified load diagram of joist pile foundation

2.1.1 托梁連續梁理論

連續梁理論忽略地基土的支撐作用,將樁基支撐作用視為主要的支撐荷載,這種計算方法簡化了地基對托梁的作用效果,根據連續梁內力計算假定,可以得到梁內力的計算公式,如式(5)～式(7)所示。

支座彎矩的計算公式為

(5)

跨中彎矩的計算公式為

(6)

支座剪力的計算公式為

(7)

2.1.2 托梁彈性地基梁理論

彈性地基梁理論考慮地基對托梁的支撐作用,則樁基對托梁的作用可看作是邊界條件,任意兩樁基之間的托梁可用彈性地基梁理論進行計算,則土體對托梁作用可視為具有一定剛度的彈簧,計算力學模型如圖6所示。

d為托梁寬度圖6 托梁計算模型Fig.6 Calculation model of joist

根據Winkler彈性地基梁理論,梁的變形和地基的變形同等變化,地基變形只與該點受力相關,則地基對托梁的反力可表示為

P(x)=Ku(x)

(8)

式(8)中:K為地基的基床系數;u為梁截面的變形;x為橫坐標;P為地基反力。

根據力學平衡條件,則可以推出均布荷載下Winkler彈性地基梁的擾曲微分方程為

(9)

式(9)中:E為托梁的彈性模量;I為托梁的慣性矩。

根據梁基本變形理論,梁截面的彎矩和剪力與變形量之間的關系為

(10)

式(10)中:M為托梁的彎矩;Q為托梁的剪力。

式(10)為4階偏微分方程,難以求得函數表達式,為了簡化計算,可根據差分原理將微分方程轉化為代數方程進行求解,對于4階差分,需要5個節點參與,可在此虛擬節點對托梁受力特征進行分析,對于長為L的托梁,可離散如圖7所示。

圖7 托梁離散示意圖Fig.7 Discrete diagram of joist

則式(9)微分方程可表示為

(11)

式(11)中:ui為任意差分節點處的變形;l為差分節點寬度;qi為任意差分節點處的荷載。

剪力和彎矩同樣可寫為差分形式如式(12)所示。

(12)

托梁是被看作是兩端固定支撐的梁模型,其邊界條件視為固定端,則兩端位移和轉角均為0,有如式(13)、式(14)所示的關系成立。

兩端位移為0,有

(13)

式(13)中:u0和un分別為差分節點0和n處的變形。

兩端轉角為0,有

(14)

令式(13)中i=0,再結合式(15)、式(16)可以得到虛擬節點u-1、u-2、un+1和un+2的表達式。

將式(13)寫為矩陣的形式有

(Ka+Kb)u=q

(15)

式(15)中:Ka為托梁位移剛度矩陣;u為托梁位移矩陣;q為托梁受荷載矩陣;Kb為托梁抗彎剛度矩陣。

(16)

(17)

q=d[q1,q2,…,qn-1]T

(18)

式(18)中:勻部荷載作用下qn=q。

求解式(15),則可以得到托梁變形結果,再根據式(14)進一步可計算得到托梁的彎矩及剪力。

2.2 基于有限差分法的樁的內力計算理論

在填土邊坡工程當中,填土層區域采用擋土墻支護,填土區域下方巖層巖性一般為軟弱層,擋土墻修建在該地基上存在地基承載力不足使得擋土墻存在失穩可能,采用樁基托梁擋土墻結構可讓擋土墻所受荷載通過托梁及樁基最后傳遞到下方最穩定基巖層中,若采用單排抗滑樁結構,其支護結構模型可簡化為圖8。

H′為抗滑樁深度;hi為抗滑樁樁后各巖層深度,i=1,2,…,n;D為抗滑樁寬度;K為抗滑樁地基系數圖8 樁基計算力學模型Fig.8 Computational mechanical model of pile foundation

假設在樁頂受到擋土墻傳遞的水平力作用,對于位于土層中樁受到土的抗力作用,其抗力可表示為

P(x,z)=K(z)Dw(x)

(19)

式(19)中:x為水平坐標點;z為深度坐標點;P(x,z)為樁周土的抗力;K(z)為土層地基系數;ω(x)為樁的水平位移;D為樁身寬度。

根據歐拉梁微段平衡方程,可建立在外載作用下樁身變形控制微分方程如式(20)所示。

(20)

式(20)中:G(x)為抗滑樁所受水平荷載。

地基的基床系數K(y)隨深度z線性增加,則K(y)=mz,其中m為土層的基床比例系數。

則式(20)可進一步寫為

(21)

假設樁基位于均勻埋地巖層中,樁頂和樁底分別滿足式(22)所示的邊界條件。

樁頂處邊界條件為

(22)

樁底視為固定邊界,位移和轉角均為0,有

(23)

同樣基于有限差分原理,將樁基離散為多個差分節點,考慮到一個節點的計算需要多個節點參與,分別在樁頂和樁頂多給出2個節點,樁基離散化及虛擬節點如圖9所示。

n為差分節點個數圖9 抗滑樁離散化Fig.9 Anti-slide pile discretization

用差分格式可表示為

imilDwi=DGi

(24)

式(24)中:ωi為抗滑樁任意差分節點處的變形;mi為抗滑樁差分第i節點處地基系數;Gi為任意差分節點處的水平荷載。

樁頂邊界條件用差分格式可寫為

(25)

根據式(25)可以得到虛擬節點的表達式為

(26)

根據樁底邊界條件,樁底虛擬節點的表達式為

(27)

令式(24)中i=0,再結合式(26)可以得到樁頂和樁底虛擬節點ω-1、ω-2、ωn+1和ωn+2的表達式。

將式(26)寫為矩陣的形式有

(Kza+Kzb)w=G

(28)

式(28)中:Kza為樁基位移剛度矩陣;Kzb為樁基抗彎剛度矩陣;w為樁基位移矩陣;G為荷載矩陣。

(29)

(30)

G=D[g0,g1,G2,…,Gn-3,Gn-2,Gn-1]T

(31)

求解式(28)～式(31)所示的矩陣方程,則可以得到抗滑樁變形計算結果,再根據式(12)進一步可計算得到抗滑樁的彎矩及剪力。

3 工程實例

某變電站站址原始地貌屬于丘陵地貌,地勢起伏較大,站址范圍原為水泥有限責任公司場地,現已廢棄。現地形為原場地開山堆填而成。整個站址東高西低,呈三級臺階狀,第一級臺階坡腳自然標高約374 m,變電站場平標高364.5 m。場平后,變電站南側將形成最大高度約25 m的填方邊坡,該邊坡整體表現為東高西低;坡腳高程約364.5 m,后緣高程約395 m,地表坡度從邊坡后緣至前緣近似呈兩段直線,邊坡坡度在20°～45°,邊坡后緣為擬修變電站,邊坡所在場地如圖10所示。

圖10 邊坡所在場地圖Fig.10 Site map of the slope

由于填土堆積時間過短,在其自重和外力作用下,如雨水滲入浸泡,會產生沉降變形及不均勻下沉,導致地坪開裂,使埋置于填土內的基礎設施產生破壞或變形。設計采用“扶壁式擋墻+支護樁”進行支護。墻高10 m,墻寬0.8 m,底板高1.2 m,擋墻下接長3 m,高為0.6 m的托梁,托梁下支護樁采用“雙排樁”型式,方樁樁徑1 m,樁排距3 m,樁長12 m,扶壁式擋墻斷面及土層分布如圖11所示,計算參數如表1所示。

表1 計算參數Table 1 Calculation parameters

圖11 支護結構所在地質斷面圖Fig.11 Geological section diagram of the supporting structure

最終計算得到墻背第一破裂角為32.5°,無第二破裂面存在,墻背主動土壓力Ea=442.301 kN,水平方向和豎直方向土壓力分別可計算為Ex=314.4 kN和Ey=311.1 kN,墻身截面積13.25 m2,重量為331.2 kN,整個墻踵上的土重214.9 kN,則可求解得到豎直方向總荷載為Nm=860 kN,計算中地基系數K取4 000 kN/m4,假定豎直方向的荷載全部由托梁承擔,則可以根據連續梁法和彈性地基梁法求解得到梁彎矩和剪力的計算結果如圖11、圖12所示。

圖12 托梁彎矩圖和剪力圖Fig.12 Bending moment diagram and shear force diagram of joist

從圖11、圖12(a)可以看出,彈性地基梁法和傳統地基梁法在彎矩結果近似,不同的是,彈性地基梁法在跨中彎矩和支座彎矩處數值均小于傳統地基梁法,這是源于連續梁法不考慮地基反力作用,過小的評價了托梁的承載能力,而彈性地基梁法考慮地基反力作用,將支座處視為固定端,可有效降低托梁在兩端的承受力;分析兩種方法計算求解得到的剪力結果可以得到類似彎矩計算結果的結論,傳統連續梁剪力圖(圖13)為一條直線,即托梁上部荷載全部由托梁承受,導致托梁兩端受到最大的剪力作用,若以傳統連續梁法作為邊坡防護設計依據,這是一種最保守的設計方法,會造成托梁材料的過多浪費。

圖13 樁基位移圖、彎矩圖和剪力圖Fig.13 Displacement diagram,bending moment diagram and shear force diagram of pile foundation

假設水平方向的荷載全部由樁基承擔,前后排兩根樁承受荷載近似看作100%、75%、50%和25%的分擔比,則單根樁基受力特征可視為在樁頂受到剪力作用,樁基地基系數m取4 000 kN/m4,此時采用所提出的彈性地基梁法和傳統地基梁法計算結果如圖13所示。

從圖13可以看出,不同分擔比下,彈性地基梁理論結果顯示在受到樁頂橫向作用力下,樁基彎矩隨樁基埋深的增加而減小,彈性地基梁法顯示樁基在樁頂位置處具有最大彎矩,隨后彎矩很快趨于0,剪力出現在樁頂附近,隨后在地基作用下,剪力逐漸減小為0,不同分擔比下,樁的位移、彎矩和剪力存在不同,表現在,當全部荷載均有樁基承擔時,樁基位移最大,無論是正彎矩還是負彎矩均最大,剪力也最大,此時樁基具有較大的變形。

4 結論

在具有軟弱地基的邊坡治理工程當中,傳統的單一支護結構難以保證邊坡的安全穩定,托梁樁基擋土墻支護結構作為一種新型支檔結構在該地基中具有較好的工程實用價值,現今缺乏有效的理論算法對整個結構進行計算,以某變電站填土邊坡為研究對象,以有限差分原理為核心理論基礎,對該種結構進行理論求解,得出以下結論。

(1)根據扶壁式擋土墻墻后土壓力平衡條件,采用朗肯土壓力模型,求解得到墻后土壓力大小,將土壓力分為水平荷載和豎直荷載,考慮墻體及土體自重,并分別作為托梁和樁基受力特征計算的輸入荷載。

(2)將托梁及樁基分別視為水平方向及豎直方向彈性地基上的梁模型,基于有限差分理論,推導得到托梁及樁基在受力條件下的變形求解方法。

(3)進一步將理論應用于實際工程案例,并對比傳統連續梁模型,結果表明,在計算托梁彎矩和剪力時,有限差分解均略小于連續梁解,這是因為連續梁解未考慮地基的支撐作用;在計算樁基受力特征時,后排樁靠近滑坡,承受較大的荷載,將后排樁與前排樁承受荷載的比例分為100%、75%、50%和25%進行特征量計算討論,結果發現后排樁位移、彎矩和剪力隨承受荷載的增大而增大,總體上,樁基形變量較小,邊坡總體處于安全狀態。